Электропроводность металлов и ее зависимость от температуры
Обновлено: 21.09.2024
Электрический ток в металлах. Электронная проводимость металлов. Зависимость сопротивления металлов от температуры. Сверхпроводимость.
Электрический ток в растворах и расплавах электролитов. Законы электролиза. Применение электролиза.
Электрический ток в газах. Несамостоятельный и самостоятельный разряды. Понятие о плазме.
Электрический ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Диод. Электронно-лучевая трубка.
Электрический ток в полупроводниках. Собственная и примесная электропроводность полупроводников. Зависимость сопротивления полупроводников от температуры. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод. Транзистор.
Электрический ток в металлах. Электронная проводимость металлов. Зависимость сопротивления металлов от температуры.
Валентные электроны в атомах металлов связаны с ядрами очень слабо. Поэтому при образовании кристаллической решетки они легко отрываются от атомов и хаотично движутся в промежутках между ионами, а сами ионы совершают колебания в узлах кристаллической решетки. Естественно допустить, что эти электроны являются свободными носителями заряда в металлах. Их обычно называют электронами проводимости.
Ток в металлах представляет собой упорядоченное движение электронов.
Концентрация электронов проводимости в металле п (то есть их число в единице объема) очень большая: она равна числу атомов в единице объема металла, то есть порядка 10 2 м 3 . Этим объясняется хорошая электропроводность металлов.
Электроны проводимости в металлах находятся в непрерывном движении. Их хаотичное движение напоминает движение молекул идеального газа. Это дало основание считать, что электроны проводимости в металлах образуют своеобразный густой электронный газ. Однако скорость неупорядоченного движения электронов проводимости в металлах значительно превышает скорости молекул в газе (она составляет приблизительно 10 5 м/с).
Для характеристики зависимости сопротивления проводника от температуры вводится температурный коэффициент сопротивления α – число, показывающее, на сколько изменяется каждая единица удельного сопротивления вещества при изменении температуры на один кельвин.
где ρ0 – удельное сопротивление при начальной температуре (обычно 20 °C или 293 К – табличная величина).
Зная, что , получим: .
Температурные коэффициенты сопротивления чистых металлов сравнительно мало отличаются между собой и приблизительно равны 0,004 К -1 . Как правило, с повышением температуры температурные коэффициенты сопротивления металлов возрастают. Это означает, что при более высоких температурах (около точки плавления) уже не наблюдается линейная зависимость сопротивления от температуры.
Электронная проводимость металлов. Зависимость сопротивления от температуры
На этом уроке мы рассмотрим опыты, доказывающие, что электрический ток в металлах обусловлен движением электронов. Также мы убедимся, что электрическое сопротивление проводников зависит от температуры.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Электронная проводимость металлов. Зависимость сопротивления от температуры"
Как вы знаете, электрический ток могут проводить и твердые, и жидкие, и газообразные тела. На практике, чаще всего применяются металлические проводники. Можно привести много примеров: линии электропередач, обеспечивающие передачу энергии от различных источников тока к потребителям.
Генераторы, электронагревательные приборы и так далее. Как мы уже говорили ранее, хорошими проводниками являются некоторые растворы. Наиболее распространенный пример — это батарейка, в которой используется электролит. Примеров использования батарей и аккумуляторов тоже достаточно: они используются в автомобилях, ноутбуках, мобильных телефонах, планшетах и так далее.
Напомним, что помимо проводников, существуют такие тела, как полупроводники и диэлектрики. Как вы знаете, диэлектрики используются для изоляции проводки или электроприборов. Полупроводники представляют довольно большой интерес, поскольку их проводимостью достаточно легко управлять, а это открывает большие возможности.
Со всем выше перечисленным мы познакомимся по окончании курса физики десятого класса, и начнем с проводимости металлов.
Мы уже много раз говорили, что электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц, и всегда утверждали, что в металлах носителями свободных зарядов являются электроны. Дело в том, что за этим утверждением стоят многочисленные опыты разных ученых. Мы рассмотрим несколько таких опытов.
В 1901 году, Эдуард Рикке провел следующий эксперимент: он подключил к электрической цепи металлические цилиндры, плотно прилегающие друг к другу. В центре находился алюминиевый цилиндр, а по краям — медные.
В течение приблизительно одного года через эти цилиндры протекал электрический ток. После окончания эксперимента, все три цилиндра были исследованы на предмет изменения химического состава. Выяснилось, что никаких изменений не произошло, за исключением очень незначительной диффузии. Это послужило доказательством того, что ток в металлах обусловлен именно движением электронов. Если бы в движении участвовали какие-то другие частицы (например, ионы кристаллической решетки), то это, неизбежно привело бы к изменению химического состава.
Другой опыт, был проведен в 1912 году учеными Леонидом Мандельштамом и Николаем Папалекси. К катушке, которая могла вращаться вокруг своей оси, был подключен гальванометр при помощи скользящих контактов.
При резкой остановке катушки, гальванометр регистрировал кратковременные токи. Дело в том, что при резкой остановке заряженные частицы какое-то время могли двигаться по инерции относительно проводника (то есть проволоки катушки). Поскольку сила тока характеризуется зарядом, а инерция — массой частиц, переносимый при торможении заряд пропорционален отношению заряда частиц к их массе. Из этого эксперимента было определено это соотношение, которое совпало с найденным до этого из других опытов отношением модуля заряда электрона к его массе:
Таким образом, эксперимент Мандельштама и Папалекси еще раз подтвердил, что ток в металлах обусловлен движением электронов. Поэтому, проводимость металлов называют электронной проводимостью.
Вы уже знаете, что электроны в металлах двигаются с постоянной скоростью из-за того, что взаимодействуют с ионами кристаллической решетки. Это приводит к тому, что скорость движения электронов пропорциональна напряженности электрического поля:
В свою очередь, напряженность пропорциональна напряжению. Из чего мы можем заключить, что скорость электронов в проводнике пропорциональна напряжению на концах этого проводника:
Напомним, что не так давно мы выяснили, что скорость также пропорциональна и силе тока:
Из этого мы можем сделать вывод, что 𝐼 ~ 𝑈, а это подтверждает закон Ома.
Теперь, когда мы выяснили, что электрический ток в металлах действительно обусловлен движением электронов, следует обратить внимание на одно из следствий этого явления. Электроны взаимодействуют с ионами кристаллической решетки и, тем самым нагревают проводник. Но, чем больше проводник нагревается, тем более интенсивными становятся колебания частиц проводника и тем больше они мешают движению электронов. Следовательно, в металлах существует определенная зависимость их электрического сопротивления от температуры.
Экспериментально была установлена зависимость сопротивления от температуры:
В формуле мы видим коэффициент пропорциональности α, который называется температурным коэффициентом сопротивления. Мы можем немного преобразовать выражение, описывающее зависимость сопротивления от температуры, чтобы дать определение температурному коэффициенту сопротивления:
Итак, температурный коэффициент сопротивления численно равен относительному изменению сопротивления при нагревании на 1 о С. Под относительным изменением сопротивления понимается отношение изменения сопротивления к конечному сопротивлению. Поскольку мы выяснили, что у металлов сопротивление увеличивается с увеличением температуры, можно сделать вывод, что для всех металлов коэффициент α > 0.
Вспомним, что сопротивление проводника зависит от трех величин: удельное сопротивление материала, из которого сделан проводник, площадь поперечного сечения проводника и его длина:
Поскольку геометрические размеры проводника при нагревании меняются ничтожно мало, можно сделать вывод, что изменяется удельное сопротивление:
Из полученной формулы можно сделать вывод, что удельное сопротивление металлов линейно зависит от температуры.
Эта зависимость используется в так называемых термометрах сопротивления. Термометр сопротивления представляет собой проводник, зависимость сопротивления которого от температуры хорошо известна. Чаще всего используют платиновую проволоку. Измеряя ее сопротивление можно судить о температуре. Преимущество подобного термометра заключается в том, что он пригоден для измерения температур в значительно более широком диапазоне, чем это возможно, используя жидкостные термометры.
Возникает вопрос: а что будет происходить при очень низких температурах? Этим вопросом еще в 1911 году задался Хейке Камерлинг-Оннес. В качестве опыта, он поместил ртуть в жидкий гелий и наблюдал, как постепенно уменьшается удельное сопротивление с падением температуры. Однако, когда температура опустилась до четырех целых одной десятой кельвина, сопротивление резко упало до нуля. Такое явление получило название сверхпроводимости, а температура, при которой наступает это состояние, была названа критической температурой.
Явление сверхпроводимости возникает во многих металлах при достаточно низких температурах (около 25 К). Это явление можно объяснить тем, что при таких низких температурах беспорядочное движение электронов становится очень незначительным. Иными словами, они двигаются, не соударяясь с ионами кристаллической решетки, таким образом, не замедляя своего движения и не нагревая проводник. Конечно, это объяснение существенно упрощено, но оно дает общее представление о том, как возникает явление сверхпроводимости. Тот факт, что в состоянии сверхпроводимости проводники не нагреваются, открывает большие перспективы. Если найти способ создать явление сверхпроводимости при обычных (комнатных) температурах, то можно было бы передавать электроэнергию по проводам без всяких потерь.
Сверхпроводимость используется для создания электромагнитов, которые могут создавать магнитное поле в течение длительного времени без всяких потерь энергии. Также, сверхпроводящие магниты используются в ускорителях элементарных частиц (таких как Большой Адронный Коллайдер). В 1986 году удалось создать некоторые соединения, переходящие в состояние сверхпроводимости при температурах около 100 К. На сегодняшний день, нет известных соединений, в которых бы наблюдалась сверхпроводимость при температуре выше 138 К (при нормальном давлении).
Рассмотрим еще один интереснейший эффект явления сверхпроводимости, который получил название эффекта Мейснера. Поместим два керамических цилиндра в специальную емкость и зафиксируем их.
При температуре 93 К эти цилиндры становятся сверхпроводящими. Для охлаждения можно использовать жидкий азот. Если теперь поднести к цилиндрам достаточно сильный магнит, то он зависнет над ними. Как вы знаете из курса физики девятого класса, при изменении магнитного потока через контур, возникает индукционный ток. В обычных условиях, этот ток был бы незначительным и кратковременным. Однако, в состоянии сверхпроводимости, сопротивление равно нулю, поэтому, ток продолжает течь по цилиндрам. Этот ток создает магнитное поле, которое и вызывает силы отталкивания между цилиндрами и магнитом. Если же теперь мы поместим над цилиндрами магнит в виде колесика и раскрутим его, то он будет продолжать крутиться до тех пор, пока цилиндры находятся в состоянии сверхпроводимости. Заметим, что магнит крутится, не касаясь цилиндров и не нагреваясь, то есть никаких потерь энергии не происходит. Тем не менее, нет возможности получить сколь угодно большой ток в сверхпроводниках, поскольку определенное критическое значение силы тока разрушает состояние сверхпроводимости. Однако, конструкции, основанные на подобном принципе, могли бы существенно усовершенствовать электродвигатели и генераторы, значительно упростить устройства для аккумулирования энергии и многое другое. Поэтому, сегодня получение сверхпроводимости при комнатных температурах является одной из очень важных задач в физике.
Зависимость электропроводности металлов от температуры и примеры
В чистых металлах единственной причиной ограничивающей (длину свободного пробега электронов) является тепловые колебания атомов в узлах кристаллической решетки. С ростом температуры растёт амплитуда тепловых колебаний атомов. Это усиливает рассеяние электронов и повышает электрическое сопротивление металла .
где - коэффициент упругой связи, которая стремится вернуть атом в положение равновесия. При низких температурах это соотношение не выполняется, т.к. понижается ещё и частота колебаний атомов.
На температурной зависимости сопротивления металлов можно выделить несколько участков:
I – в пределах нескольких градусов К в зависимости от вида металла
1 – до 0 для металлов с совершенной структурой,
2 – несовершенная структура металла,
II – температурный интервал действия закона Блоха – Грюнайзена , граничной температурой при которой называют температурой Дебая. Для большинства металлов =400÷450К.
III – линейная зависимость от Т (практически до ), исключение - ферромагнетики
IV – отступление от линейности у ряда металлов
V – для температуры плавления повышается в 1,5 – 2 раза у большинства металлов. Для Bi, Ga наоборот из-за их сложной кристаллической структуры.
Основное влияние на оказывает упорядоченность структуры.
Относительное изменение при изменении Т на 1°К называют температурным коэффициентом удельного сопротивления ( ).
Для большинства металлов при комнатной температуре = 0,004 К -1 .
Согласно правила Матиссена об аддитивности
где - вклад за счет рассеяния электронов на тепловых колебаниях решетки, - остаточное сопротивление.
определяет вклад за счет рассеяния электронов на статистических дефектах структуры. Основной вклад в вносят примеси. Любая примесь , даже если она более проводящая, чем основной металл. Так примесь серебра в меди повышает ее сопротивление.
Для одновалентных металлов известно правило Линде, согласно которому , где, а, в – const, зависящие от природы металла и положения примесного металла в Периодической системе Менделеева, - разность валентностей основного и примесного атомов.
Для Cu при содержании 1 атм % примеси теллура сопротивление может возрасти в 10 раз.
Пластические деформации на несколько %. Термическая закалка также , т.к. при такой обработке искажается кристаллическая решётка. Рекристаллизация (отжиг) до исходного уровня.
Электрические свойства металлических сплавов
В электронной технике широко применяются металлические сплавы, имеющие структуру как упорядоченных, так и неупорядоченных твердых растворов. При образовании твердых растворов замещения изменяется период кристаллической решетки.
В твердых растворах может в несколько раз превышать тепловую составляющую сопротивления.
Для многих двухкомпонентных сплавов известен закон Нордгейма (не для переходных металлов),
где С – const, зависящая от природы сплава,
Х – атомные доли металлов.
Для сплава Cu-Au зависимость сопротивления от состава имеет вид симметричной параболы после закалки. После отжига зависимость более сложная, т.к. образуется ряд упорядоченных структур - и др.
Для сплавов, образованных переходными металлами (Cu – Ni) из-за перехода d-электронов на внутренние незаполненные d-оболочки парабола не симметрична, максимум не соответствует 50% составу.
В случае, если компоненты бинарной системы не обладают взаимной растворимостью, то образующаяся смесь двух фаз имеет, как правило, сопротивление линейно соответствующее содержанию металла, имеющего наибольшее значение сопротивления.
5.2.Электропроводность металлов. Зависимость электропроводности металлов от температуры
В металлах валентная зона заполнена электронами либо частично, либо целиком, но при этом перекрывается со следующей разрешенной зоной.
Заполненные состояния от незаполненных отделяются уровнем Ферми.
Таким образом, уровень Ферми в металлах расположен в разрешенной зоне.
Э , в этом случае
концентрация электронов от температуры практически не зависит,
и температурная зависимость электропроводности целиком определяется температурной зависимостью подвижности.
В области высоких температур
-в металлах, так же как и в полупроводниках, доминирует рассеяние электронов на фононах,
-и подвижность обратно пропорциональна температуре.
- Тогда удельное сопротивление линейно растет с температурой.
При низких температурах
- концентрация фононов становится малой,
-подвижность определяется рассеянием на примесях и не зависит от температуры.
- Сопротивление остается постоянным (рис.5.10).
5.3. Эффект холла
АПоэтому, как и следовало ожидать .
Когда пластина с током была помещена в однородное магнитное поле , перпендикулярное ее ее боковым граням, то потенциалы точек А и С стали разными. Это явление получило название ЭФФЕКТ ХОЛЛА.
Рис.5.11. Рассмотрим образец прямоугольной формы, по которому течет ток с плотностью .
Образец помещен в магнитное поле с индукцией , перпендикулярное вектору
Под действием электрического поля электроны в проводнике приобретают дрейфовую скорость .
Параметр, связывающий дрейфовую скорость носителей заряда с напряженностью электрического поля, называют подвижностью носителей .
Тогда и - подвижность численно равна скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности.
На частицу, движущуюся с этой скоростью в магнитном поле действует сила Лоренца , направленная перпендикулярно векторам и .
Под действием сил и электрон перемешается вдоль образца, одновременно вращаясь (под действием магнитного поля).
Траекторией такого движения является циклоида.
Магнитное поле, при котором радиус кривизны траектории много больше длины свободного пробега электрона, называют слабым.
Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к боковой поверхности образца, и на ней создается избыток отрицательного заряда.
На противоположной стороне возникает недостаток отрицательного заряда, т.е. избыток положительного.
Разделение зарядов происходит до тех пор, пока сила, действующая на электроны со стороны возникшего электрического поля , направленного от одной боковой поверхности к другой, не скомпенсирует силу Лоренца. Это поле называют полем Холла, а само явление возникновения в образце с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля было названо эффектом Холла.
Разделение зарядов прекратится при условии .
Тогда разность потенциалов между боковыми гранями, называемая ЭДС Холла или холловская разность потенциалов, равна
где - ширина образца.
Плотность тока ,
где n- концентрация носителей заряда.
выразив скорость и подставив в (5.1), получаем
- постоянная Холла.
Числовое значение постоянной Холла зависит от материала пластинки, причем для одних веществ он положителен, а для других отрицателен.
Знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда частиц , обуславливающих проводимость данного материала.
Поэтому на основании измерения постоянной Холла для полупроводника можно
судить о природе его проводимости :
Если - проводимость электронная;
Если - проводимость дырочная;
Если в проводнике осуществляются оба типа проводимости то по знаку постоянной Холла можно судить том, какой из них был преобладающим.
2.определить концентрацию носителей заряда, если характер проводимости и их заряды известны (например, для металлов. Для одновалентных металлов концентрация электронов проводимости совпадает с концентрацией атомов).
оценить для электронного проводника значение средней длины свободного пробега электронов.
Зависимость электропроводимости от температуры, явление сверхпроводимости
Сопротивление многих металлов (и их сплавов) при очень низких температурах, называемых критическими, характерных для каждого вещества, скачкообразно уменьшаются до 0, т.е. металл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено в 1911 году Г.Камрлинг-Оннесом для ртути.
Различные опыты приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменяется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оптические свойства, однако при таком переходе качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствии магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоемкости, а при переходе в сверхпроводящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность, и теплоемкость. Достаточно сильное магнитное поле (а следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) разрушает сверхпроводящее состояние.
Как показала немецкий физик Мейсснер, в сверхпроводящем состоянии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры магнитное поле из него вытесняется. (эффект Мейсснера).
Для металлической проволоки или однородного проводника цилиндрической формы сопротивление может быть рассчитано по формуле: , где l и S длина и сечение проволоки соответственно, - удельное сопротивление, - удельная проводимость.
Удельное сопротивление и соответственно удельная проводимость зависят от концентрации и заряда носителей тока, структуры вещества (параметров кристаллической решетки для твердых тел), температуры. 1 Ом×м
Установлено, что для многих металлов и сплавов удельное сопротивление линейно зависит от температуры (при не слишком низких температурах): , где - удельное сопротивление при 0 0 С, -температурный коэффициент сопротивления.
Основной причиной увеличения удельного сопротивления с ростом температуры
является возрастание интенсивности хаотического движения ионов кристаллической решетки. Экспериментально установлено, впервые для ртути, а затем для многих металлов и сплавов, что при температурах близких к абсолютному нулю (0,14 – 20 К) удельное сопротивление скачкообразно уменьшается до нуля.
Это явление, названное сверхпроводимостью, невозможно объяснить в рамках классической физики и поэтому рассматривается лишь на основе квантовой теории.
РИС.57 РИС.58 РИС.59
Емкость уединенного проводника. Система проводников. Конденсаторы и их емкость. Общая задача электростатики. Понятие о методе изображений для решения некоторых электростатических задач.
Уединенным называется проводник, расположенный так далеко от других проводников, что их влиянием на распределение зарядов по его поверхности можно пренебречь.
Чтобы зарядить этот проводник, например, удалить с него некоторое количество электронов на бесконечно большое расстояние от проводника, необходимо совершить работу.
Как уже обсуждалось, это приводит к перераспределению электронов, в результате которого поля внутри проводника нет, полученный заряд располагается на поверхности, которая, как и объем, эквипотенциальна.
Опыт показывает, что величина потенциала проводника всегда пропорциональна полученному заряду, т.е. во сколько раз изменяется заряд, во столько же раз изменяется и потенциал проводника.
Этот коэффициент пропорциональности называется электрической емкостью уединенного проводника и численно равен заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на 1 В.
[С]=1 Кл/В=1Ф (Фарада)
Электрическая емкость – термин, исторически возникший из-за неправильного представления, что получение заряда проводником эквивалентно заполнению его некоторой заряженной жидкостью.
Рассчитаем емкость уединенного шарика радиусом R.
Пусть заряд шарика q и если поблизости нет других проводников, то этот заряд равномерно распределен по поверхности. В этом случае напряженность поля вблизи поверхности:
Поскольку поле потенциальное, то интегрируем вдоль радиуса-вектора:
Следовательно, емкость сферического проводника зависит только от его радиуса и не зависит от того сплошной он или полый, а также от того из какого проводник вещества.
Емкость - однозначная «геометрическая» характеристика проводника, так как зависит только от его формы, размеров, а также от среды, в которой находится проводник.
Емкость системы двух или нескольких проводников называется взаимной так как при перенесении заряда с одного проводника на другой изменяется потенциал каждого проводника и между ними возникает разность потенциалов и электрическое поле.
Взаимной емкостью двух проводников называется величина, численно равная заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой, чтобы разность потенциалов между ними изменилась на 1В. ,
где U – напряжение равное при отсутствии движения зарядов разности потенциалов между проводниками.
Конденсатором называют систему двух или нескольких проводников, электроемкость которой не зависит от наличия других проводников, находящихся вне этой системы.
По форме проводников, образующих конденсатор, их называют плоскими, сферическими, цилиндрическими.
Плоский конденсатор – это две параллельные металлические пластины (обкладки), расположенные на расстоянии значительно меньшем, чем линейные размеры пластин.
Если считать пластины плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда, то напряженности поля каждой пластины равны по модулю. Тогда вне конденсатора результирующее поле равно нулю, а между обкладками поле однородное и его напряженность равна Ер=2Е (рис.33).
В реальном конденсаторе поле имеет такой характер лишь в средней области, а у краев конденсатора картина поля меняется, т.е. возникают так называемые краевые эффекты (рис.34).
РИС.33 РИС.34
Если расстояние между пластинами существенно меньше размеров пластин, то краевыми эффектами можно пренебречь.
Разность потенциалов между пластинами равна:
На практике используется последовательное и параллельное соединение конденсаторов. В первом случае конденсаторы включаются в цепь друг за другом и соединяются разноименно заряженные обкладки (рис.35).
Напряжение (разность потенциалов) на всей батарее равно сумме напряжений на каждом конденсаторе, а заряды всех конденсаторов равны.
Емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов - это емкость такого конденсатора, которым, при этих же напряжении и заряде, можно заменить всю батарею.
При параллельном подключении конденсаторов (рис.36) соединяются между собой одноименно заряженные обкладки.
В этом случае суммарный заряд батареи равен сумме зарядов каждого конденсатора, а напряжение для всех одинаково:
В этом случае емкость всей батареи можно заменить конденсатором с емкостью:
Метод изображения состоит в определенном (угадывании) поля, создаваемого зарядами в присутствии проводников, путем введения вместо этих проводников фиктивных зарядов qi ’ (Рис. 61).
 Рис. 61 |
Результирующее поле оставш. Истинных и фиктивных. зар. должно быть таким, чтобы его эквипотенциальные поверхности совпадали с поверхностями проводников jповi , действие которых заменено фиктивными зарядами.
Можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается весьма эффективным.
1) Точечный заряд и проводящая плоскость
Когда точечный заряд q находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 62, а) действие индуцированных зарядов на плоскости заменяем фиктивным зарядом q ’ = -q. Поле этой системы известно (его линии вектора Е показаны на рис. 62, б).
Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал = 0) проводящую плоскость и уберем заряд -q. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности = 0, точечный же заряд q можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится: к нулю, а потенциал — к бесконечности. Таким образом, в верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же осталось и поле в этой области (рис. 62, в). Рис.62
а) б) в)
Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение q' = -q, противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд q создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд q. В другом полупространстве поле отсутствует.
Сила взаимод. между q и зарядом на плоскости будет равна силе взаимодействия q и q’ (Рис. 63)
Читайте также: