Элементарная теория электропроводности металлов

Обновлено: 16.05.2024

§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристалличе­ской решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах осно­вывается на электронной теории проводи­мости металлов, созданной немецким фи­зиком П. Друде (1863—1906) и разрабо­танной впоследствии нидерландским фи­зиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов — опыт Рикке (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндров (Сu, Аl, Сu) одинакового ради­уса. Несмотря на то что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (3,5•10 6 Кл), ни­каких, даже микроскопических, следов пе­реноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательст­вом того, что ионы в металлах не участву­ют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется части­цами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856—1940) электроны. Для доказательства этого предполо­жения необходимо было определить знак и величину удельного заряда но­сителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов за­ключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы дол­жны по инерции смещаться вперед, как

смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно опреде­лить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вы­числить удельный заряд носителей. Идея этих опытов (1913) и их качественное воплощение принадлежат советским физи­кам С. Л. Мандельштаму (1879—1944) и Н. Д. Папалекси (1880—1947). Эти опыты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены американским физиком Р. Толменом (1881 —1948) и ранее шотландским физиком Б. Стюартом (1828—1887). Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах заряжены отрицательно, а их удельный заряд приблизительно оди­наков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удель­ного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, со­впадали. Таким образом, было оконча­тельно доказано, что носителями электри­ческого тока в металлах являются свобод­ные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристалличе­ской решетки металла (в результате сбли­жения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от ато­мов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решет­ки, в результате чего устанавливается тер-

модинамическое равновесие между элек­тронным газом и решеткой. По теории Друде — Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и мо­лекулы одноатомного газа. Поэтому, при­меняя выводы молекулярно-кинетической теории (см. (44.3)), можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

которая для T=300 К равна 1,1•10 5 м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возник­новению тока.

При наложении внешнего электриче­ского поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Сред­нюю скорость упорядоченного движе­ния электронов можно оценить согласно формуле (96.1) для плотности тока: j=ne. Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 10 7 А/м 2 , получим, что при концентрации носителей тока n=8•10 28 м -3 средняя скорость (v) упорядоченного движения электронов равна 7,8•10 -4 м/с. Следова­тельно, , т. е. даже при очень больших плотностях тока средняя ско­рость упорядоченного движения электро­нов, обусловливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплово­го движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость ( +) можно заменять скоростью теплового дви­жения .

Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновен­ной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоростью с (с=3•10 8 м/с). Через время t=l/c (l — длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электри­ческое поле и в ней начнется упорядо­ченное движение электронов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыка­нием.

Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.

Электронная теория Друде-Лоренца

Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.

Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют "электронный газ".

Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ .

Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.

Приведем основные положения теории Друде:

  1. Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
  2. Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
  3. Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1 τ .
  4. Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.

Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.

В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.

Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.

Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.

Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.

Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:

Здесь k - постоянная Больцмана, T - температура металла, m - масса электрона.

При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц "электронного газа" накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u . Величину этой скорости можно оценить из соотношения:

где j - плотность тока, n - концентрация свободных электронов, q - заряд электрона.

При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз ( ≈ 10 8 ) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что

Формула Друде

Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:

Здесь m * - эффективная масса электрона, τ - время релаксации, то есть время, за которое электрон "забывает" о том, в какую сторону двигался после соударения.

Друде вывел закон Ома для токов в металле:

Опыт Толмена и Стюарта

В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.

Суть опыта была в следующем.

Опыт Толмена и Стюарта

Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.

Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v ' (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.

Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E = - m v ' q . Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:

ε = ∫ L E d l = - m v ' q ∫ L d l = - m v ' q L

Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время d t :

d q = I d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R

Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:

q = - m L q R ∫ v 0 0 d v = - m L v 0 q R

Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение q m соответствовало отношению заряда электрона к его массе.

При T = 300 К вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде и разработанной впоследствии нидерландским физиком Х. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов - опыт Рикке (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндров (Cu, Al, Cu) одинакового радиуса. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения ( Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытие в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном электроны.

Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Эти опыты в 1916 г. были проведены американским физиком Р. Толменом и шотландским физиком Б. Стюартом. Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах заряжены отрицательно, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока в металлах и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся "свободными" и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде-Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа.

Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток.

Даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуславливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость можно заменять скоростью теплового движения .

1. Закон Ома.Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е=const. Со стороны поля заряд e испытывает действие силы F=eE и приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега < >и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной + ( - средняя скорость теплового движения электронов). Так как << ,

Подставив значение в формулу (9.5.1.), получим

Плотность тока в металлическом проводнике

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т.е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость материала

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

Закон Джоуля - Ленца.

К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем столкновений:

Если n - концентрация электронов, то в единицу времени происходит n столкновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника. Подставив (9.5.3.) и (9.5.4.) в (9.5.5.), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

Величина w называется удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и по (9.5.2.) есть удельная проводимость ; следовательно, выражение (9.5.6.) - закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля - Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана - Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана - Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опытных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления.Из формулы удельной проводимости (9.5.2.) следует, что сопротивление металлов, т.е. величина, обратно пропорциональная , должна возрастать пропорционально (в (9.5.2.) n и < >от температуры не зависят, а ~ ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T.

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах.Чтобы по формуле (9.5.2.) получить , совпадающие с опытными значениями, надо принимать < >значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде-Лоренца.

Теплоемкость металлов.Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т.е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти, теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна . Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т.е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла - Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной теории электропроводности металлов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.

Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас.

Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям .

Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной.

Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние.



Глава 13

Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию электропроводности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем.

Согласно этой теории в металлах кроме отрицательных зарядов должны существовать и положительные заряды.

Эти положительные заряды металла представляют собой ионы, образующие кристаллическую решетку металла.

Электроны проводимости, вследствие теплового движения, хаотически перемещаясь, испытывают соударения с ионами решетки. При наложении внешнего поля электроны совершают упорядоченное движение, противоположное внешнему полю. Это и есть электрический ток.

В теории Друде-Лоренца предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона. Взаимодействием электронов между собой в этой теории пренебрегают, а взаимодействие электронов с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости в металлах рассматриваются как «электронный газ», подобный идеальному газу, подчиняющемуся законам статистики Максвелла – Больцмана.

Согласно закону распределения энергии по степеням свободы, средняя энергия хаотического движения электронов в металле равна

где - средняя квадратическая скорость электронов;

Обозначив через среднюю длину свободного пробега электронов в металле, можно найти время свободного пробега электронов :

где - средняя скорость движения электронов в металле (величина ее близка к .

При включении поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается их упорядоченное движение с некоторой средней скоростью .

Величину этой скорости можно найти из формулы, связывающей плотность тока с числом носителей в единице объема , их зарядом и средней скоростью : .

Скорость упорядоченного движения зарядов во много раз меньше средней скорости теплового движения, поэтому в дальнейших расчетах модуль результирующей скорости можно заменить модулем скорости теплового движения .

Закон Ома в электронной теории металлов

Чтобы объяснить закон Ома с точки зрения электронной теории металлов и упростить расчеты, предположим, что при каждом соударении электрон передает решетке накопленную энергию полностью и поэтому, после соударения начинает движение без начальной скорости. Предположим так же, что при прохождении тока через проводник напряженность поля, создаваемого этим током, не изменяется.

На каждый электрон при движении действует сила . Под действием этой силы электрон приобретает ускорение .

Скорость электрона к концу свободного пробега равна

Так как электрон между соударениями движется равноускоренно, то среднее значение его скорости равно половине максимального значения

Подставив в эту формулу вместо его выражение, получим

И, наконец, подставив найденное значение скорости в формулу для плотности тока, получим .

Как следует из этой формулы, плотность тока пропорциональна напряженности поля, а это, как знаем, выражается законом Ома

- удельная проводимость материала проводника или коэффициент электропроводности.

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость проводников, были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла.

Закон Джоуля-Ленца в электронной теории металлов

К концу свободного пробега электронов их кинетическая энергия равна

Подставим вместо ее значение. Тогда

Заменив его выражением, получим

Столкнувшись с ионом, электрон полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т.е. передает свою энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющейся в его нагревании.

Каждый электрон при своем движении претерпевает за секунду в среднем число соударений .

В единице объема за 1 секунду выделяется тепло

- число электронов в единице объема проводника.

Т.к. - удельная мощность тока, а в нашем случае и , то в формуле можно заменить на . Тогда

Обозначим через , тогда .

Это и есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца

Из опыта известно, что металлы, обладающие более высокой электропроводностью, имеют и лучшую теплопроводность. Видеман и Франц в 1853г. становил закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов одинаково и увеличивается пропорционально абсолютной температуре.

Электроны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электрический заряд, но и присущую им энергию беспорядочного теплового движения, т.е. осуществляют теплопередачу.

Рассматривая электроны как одноатомный газ, выражение для коэффициента теплопроводности можно записать как

(см. тему «Механика: явления переноса»),

здесь - плотность газа;

- число электронов в единице объема;

- удельная теплоемкость при постоянном объеме;

- средняя скорость теплового движения электронов;

- длина свободного пробега электронов.

Как нам известно, удельная теплоемкость одноатомного газа равна

Величина универсальной газовой постоянной связана с постоянной Больцмана соотношением .

С учетом этого , а .

Разделив на выражение , полученное нами при выводе закона Ома, имеем

Средняя энергия хаотического теплового движения электронов, как мы отмечали выше, равна .

Заменив через получим - закон Видемана-Франца.

Недостатки классической электронной теории проводимости металлов

Классическая электронная теория металлов смогла объяснить законы Ома, Джоуля-Ленца и дать качественное объяснение закона Видемана-Франца.

І. Вместе с тем согласие экспериментальных данных и теоретических расчетов для закона Видемана – Франца оказалось не очень хорошим. Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, и для отношения получил значение , которое согласуется с экспериментальными данными еще хуже. Это указывало на недостатки теории Друде-Лоренца.

ІІ. Второе затруднение теории Друде-Лоренца возникло при сопоставлении с опытом килограмм-атомной теплоемкости одновалентного металла. Согласно теории, килограмм-атомная теплоемкость металла должна складываться из теплоемкости ионной кристаллической решетки, равной , и теплоемкости электронного газа, равной .

У одновалентного металла , следовательно . Однако, опыт показывает, что килограмм- атомная теплоемкость металлов, как и других твердых тел, одинакова и равна (закон Дюлонга и Пти).

ІІІ. Третье затруднение классической электронной теории проводимости металлов заключается в невозможности правильно объяснить температурную зависимость электрического сопротивления.

Как мы уже знаем, электрическое сопротивление - это величина обратная коэффициенту электропроводности , т.е. . В формуле для в знаменателе стоит величина средней скорости теплового движения электронов . Следовательно, для это значение будет в числителе, а так как прямо пропорционально , то ~ .

Однако, как показывает опыт, ~ . Объяснение этим несоответствиям смогла дать лишь квантовая теория.

Несмотря на неспособность классической теории дать объяснение ряду явлений, она сохранила свое значение и до настоящего времени, потому что в случае малых концентраций свободных электронов (что имеет место в полупроводниках) она дает вполне удовлетворительные результаты. Вместе с тем, по сравнению с квантовой теорией, классическая теория обладает значительной простотой и наглядностью.

Читайте также: