Глубина проникновения света в металл
Обновлено: 04.10.2024
Для металлов характерно отражение света от поверхности, что связано с тем, что металлы имеют большое «свободных» электронов. Вынужденные колебания таких электронов порождают вторичные волны, они вызывают интенсивную отраженную волну (до $95\%$ от интенсивности падающей волны) и относительно слабую волну, которая идет внутрь металла. В связи с тем, что плотность свободных электронов высока, то даже тонкие слои металла отражают большую часть падающего света и почти непрозрачны. Энергия световой волны, которая попадает внутрь металла, поглощается им. При этом световая волна вызывает колебания свободных электронов. Они взаимодействуют с ионами кристаллической решетки, как следствие, энергия, полученная от волны света, переходит в тепловую энергию. При этом электромагнитная волна быстро затухает в металле.
Доли света, отражаемые металлом и поглощаемые, зависят от его проводимости. Если мы имеем дело с идеальным проводником, в котором потери на джоулево тепло отсутствуют, поглощение равно нулю, при этом падающая волна света полностью отражается. Так, отражательная способность натрия достигает $99,8\%$.
Чем больше коэффициент электропроводности, тем выше отражательная способность металлов.
При не высоких частотах оптические свойства металлов определяет поведение свободных электронов. При увеличении частоты световой волны повышается роль связанных электронов, которые характеризуются собственной частотой, находящейся в области относительно коротких длин волн. Участие данных электронов определяет неметаллические оптические свойства металлов. Например, серебро, которое в видимой части спектра волн света имеет большой коэффициент отражения (около $95\%$) и заметное поглощение, что можно отнести к типичным оптическим свойствам металлов, в области ультрафиолетового излучения характеризуется плохим отражением и высокой прозрачностью. Так при длине волн порядка $316$ нм отражательная способность серебра становится равной $4,2\%$, что равно отражению от стекла.
Готовые работы на аналогичную тему
Оптические постоянные металлов
Допустим, что в слое металла толщиной $dz$ поглощается часть падающего света, равная:
Интенсивность волны света при проникновении ее внутрь металла при этом убывает в соответствии с законом:
где $\alpha $ -- коэффициент поглощения. Введем величину \varkappa$, которая равна:, которая равна:
где $\lambda $ -- длина волны света в среде. Если через $<\lambda >_0$ обозначить длину света в вакууме, $n$ -- показатель преломления вещества, то:
В таком случае можно записать, что:
По предложению Планка поглощение считается металлическим, если $n\varkappa >1.$ В видимой части спектра большинство металлов значение $n\varkappa $ находится между $1,5$ и $5$. При увеличении длины волны падающего света $n\varkappa $ возрастает.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды волны, значит, в результате поглощения изменение амплитуды происходит в соответствии с законом:
Из чего следует, что волна света в металле имеет вид:
Выражение (7) можно преобразовать к виду:
При применении комплексной формы записи (8) волну в металле можно представить в обычном виде, только вместо привычного показателя преломления $n$ в формуле используется комплексный показатель преломления ($n'$), равный:
Мнимая часть показателя $n'$ относится к поглощению волны.
Параметры $n\$ и $\varkappa$ -- постоянные, которые характеризуют оптические свойства металла. Соотношение между ними можно представить как:
при этом $n$ называют главным показателем преломления металла, $\varkappa$ -- называют главным показателем затухания (затухание может проходить без поглощения).
Можно связать оптические характеристики металлов с электрическими постоянными выражением вида:
где $\nu $ -- частота света, $\sigma $ -- электропроводность металла. Следует заметить, что $\sigma $ измерить легко для постоянного поля (или поля низкой частоты). Непосредственно измерить $\varepsilon $ невозможно. Значит, вычисление оптических постоянных для видимого или ультрафиолетового света на основе выражений (10), (11) не представляется возможным. Один из экспериментальных методов измерения оптических постоянных металлов предложили Кундт, другой Друде.
Задание: Опишите идею Друде по экспериментальному нахождению оптических постоянных металлов.
Решение:
Способ, который предложил Друде для определения $n\ и\ \varkappa $ основывается на свойствах света, отраженного от металла. Оптические особенности металла учитывает выражение:
При этом в формулах Френеля для металлов амплитуды отраженной и преломленной волн становятся комплексными (появляется разность фаз между составляющими отраженной (преломленной) и падающей волнами). Данное отличие в фазах отличается для компонент вектора напряженности электрического поля волны для плоскости падения и перпендикулярной к ней плоскости. Между взаимно перпендикулярными составляющими в отраженном (и преломленном) свете $E_$ и $E_$ появляется разность фаз. Что означает, если на поверхность металла падает плоско поляризованный свет, то отраженный свет будет эллиптически поляризован. При этом эксцентриситет и положение эллипса зависит от оптических свойств металла ($n\ и\ \varkappa $).
Метод Друде связал данные величины с данными об эллиптической поляризации и дает возможность определить оптические постоянные металла.
Задание: Пусть световая волна падает на металл перпендикулярно его поверхности. Найдите выражение для определения коэффициента отражения световой волны (r) (по интенсивности) от поверхности металла.
Для решения задачи используем соотношение:
Заменим показатель преломления $n$ на $n'=n\left(1-i\varkappa \right)$, то есть имеем:
Из выражения (2.2) имеем:
Из выражения (2.2), умножая это выражение на комплексно сопряженную величину $\left|r\right|e^_r>$получим:
7.7. Отражение света от поверхности металлов
Особенности отражения света от металлической поверхности связаны с наличием в металле свободных электронов, ответственных за его электропроводность. Вынужденные колебания свободных электронов под действием поля падающей на границу металла Электромагнитной волны, происходящие в примыкающем к этой границе тонком слое, создают сильную отраженную волну. Её интенсивность может приближаться к интенсивности падающей волны. Вследствие большой плотности свободных электронов (около 1022 см-3) даже сравнительно тонкие слои металла отражают большую часть падающего на них света и поэтому практически непрозрачны в оптическом диапазоне. Благодаря высокой отражательной способности металлы играют важную роль в оптике: поверхности некоторых металлов служат прекрасными зеркалами.
Частичное проникновение света в металл создает токи проводимости. С ними связано выделение джоулевой теплоты, т. е. поглощение света — необратимое превращение электромагнитной энергии в энергию хаотического теплового движения. Чем выше проводимость металла, тем меньшая доля падающего света проникает в металл и поглощается там. В идеальном проводнике, которому формально соответствует бесконечно большая проводимость, потери на джоулеву теплоту вообще отсутствуют, так что падающий свет полностью отражается.
Отражение монохроматического света от поверхности металла, как и его распространение в поглощающей среде, можно рассмотреть на основе макроскопических уравнений Максвелла и материальных уравнений, в которых диэлектрическая проницаемость e(w) комплексна. Ее мнимая часть ответственна за поглощение света, т. е. описывает джоулевы потери. При использовании комплексной диэлектрической проницаемости уравнения Максвелла и вытекающие из них граничные условия для векторов электромагнитного поля формально принимают такой же вид, как и в прозрачной среде. Поэтому полученные выше законы отражения и преломления остаются в силе и для поглощающих сред, включая металлы, если входящий в них показатель преломления N считать комплексным: N(w) и c(w) полностью характеризуют оптические свойства поглощающей среды. Экспериментальные методы их определения основаны на изучении отраженного света. Измерение характеристик отраженного света позволяет как бы "заглянуть" внутрь металла и получить сведения о значениях N и c для массивного образца, несмотря на малую глубину проникновения зондирующего света.
Рассмотрим падающую (из вакуума или воздуха) на поверхность металла плоскую монохроматическую волну, волновой вектор которой и неоднородная волна, прошедшая в металл. Её волновой вектор комплексный:Отсюда прежде всего следует, что геометрический закон отражения от металлов такой же, как и для границы прозрачных сред. Для волны в металле из (1) получаем, что составляющая вектора направленная вдоль границы, вещественна: K2X = (w/C)sinj1. Поэтому вектор K2» (мнимая часть) перпендикулярен поверхности металла. Это значит, что плоскости равных амплитуд прошедшей волны параллельны границе. Вектор перпендикулярен плоскостям постоянных фаз и характеризует направление прошедшей волны. Угол j2, который он образует с нормалью к границе, называется вещественным углом преломления. Отношение синусов угла падения и вещественного угла преломления sinj1/sinj2 зависит от угла падения в отличие от преломления на границе прозрачной среды, где sinj1/sinj2 = Const.
Формулы Френеля остаются в силе и для волн, отраженных от поверхности металла, если в них рассматривать cosj2, как комплексную величину, определяемую законом преломленияВ случае комплексного показателя преломления отношения амплитуд отраженных волн к амплитудам падающих вычисляемые по формулам Френеля для каждой из двух поляризаций, также комплексные:
В общем случае d^ ¹ d||, Поэтому при линейной поляризации падающего света между двумя компонентами отраженной волны появляется сдвиг фаз, приводящий к эллиптической поляризации отраженного света. Отраженный свет остается линейно поляризованным, если падающий поляризован в плоскости падения или в перпендикулярном направлении. При произвольном направлении линейной поляризации падающего света отраженный остается линейно поляризованным при нормальном (j1 = 0) и при скользящем (j1 = p/2) падении. В этих случаях направление поляризации в пространстве остается неизменным.
Измерение эллиптической поляризации света, отраженного от поверхности металла при наклонном падении линейно поляризованного света, лежит в основе предложенного Друде экспериментального метода определения оптических характеристик N и c металла. Теория связывает N и c с эксцентриситетом и положением осей эллипса колебаний. По данным измерений этих величин можно рассчитать N и c. Наибольшая чувствительность метода (и одновременное упрощение расчетных формул) достигается при определенном угле падения (главном угле падения, играющем при отражении от поглощающих сред ту же роль, что и угол Брюстера при отражении от прозрачных сред). В большинстве случаев он лежит вблизи 70°. Для этого угла отраженный свет имеет круговую поляризацию, если соответствующим образом подобрать направление поляризации падающего света.
Информацию об оптических характеристиках металла можно получить не только из измерений состояния поляризации отраженного света, но и из сравнения интенсивностей отраженного и падающего света. Рассмотрим нормальное падение света на поверхность металла. В этом случае для амплитуды отраженной волны можно воспользоваться формулой
E10 = E00(N1 – N2)/(N1 + N2) (2)
Подставив в нее N1 = 1, N2 = N + IC получим
Отсюда, умножая (3) на комплексно-сопряженную величинуУ металлов слагаемое c2 в числителе и знаменателе этой формулы часто значительно больше другого слагаемого. Тогда значение R близко к единице, т. е. почти вся энергия падающего света отражается. В видимой области натрий отражает свыше 97%, серебро – 95%, света, падающего на чистую поверхность.
Волновой вектор прошедшей в металл волны при нормальном падении имеет только Z-составляющую, которая находится как
В этом случае поверхности равных фаз и равных амплитуд параллельны границе. Амплитуда волны на границе находится по формуле: E20 = 2E00/(1+N+IC). Таким образом, для напряженности электрического поля волны в металле получаем
Амплитуда волны уменьшается вглубь металла по закону L–Z/E, где L = C/(cw) = l0/2NC характеризует глубину проникновения (толщину скин-слоя); l0 – длина волны падающего излучения в вакууме. При c = 1, в слое толщиной в одну длину волны амплитуда уменьшается в E2p раз, а интенсивность уменьшается в e4p » 3×105 раз. Для большинства металлов при измерениях в видимой области значение c лежит между 2 и 5. В инфракрасной области значение еще больше: у серебра c = 40 при l = 6 мкм. Эти цифры дают представление о том, насколько мала глубина проникновения света в металл.
Определяемые экспериментально значения оптических характеристик металлов не отличаются высокой точностью. Воспроизводимость измеряемых значений N и c в пределах нескольких процентов считается удовлетворительной. Причина этого связана с тем, что в случае сильно поглощающих сред, таких, как металлы, все процессы происходят в тонких слоях (~10–4 мм) вблизи поверхности. Поверхностные слои не защищены от внешних воздействий, их свойства изменяются со временем и зависят от способа обработки поверхности. Образование переходных слоев на поверхности при ее обработке может внести заметные искажения в результаты измерений, когда толщина их сравнима с глубиной P проникновения.
Последовательный теоретический расчет оптических характеристик металлов N(w) и c(w) возможен только в рамках квантовой теории дисперсии. Основанная на упрощенных модельных представлениях классическая теория дисперсии в металлах, сводится к следующему.
7.4. Дисперсия в металлах
В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом; это "свободные" электроны, ответственные за электрическую проводимость металла. В отличие от рассмотренных выше оптических электронов в атомах диэлектрика на свободные электроны не действует "квазиупругая" сила, привязывающая их к какому-то отдельному атому, но сила "трения" характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Поэтому уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту w0 равной нулю.
Электроны проводимости участвуют в тепловом движении и все время изменяют свое положение. В результате оказывается, что действующее на них электрическое поле в среднем как раз равно макроскопическому полюКонстанта wP зависит от концентрации N свободных электронов и называется в данном случае плазменной частотой. Постоянную затухания g в (6) можно оценить, выразив ее через удельную проводимость металла для постоянного тока.
Формула (6) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в областях низких и высоких частот. При Низких частотах, когда со w N = c >> 1. Такие волны проникают в глубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны в вакууме (скин-эффект). Коэффициент отражения R для них близок к единице, т. е. они практически полностью отражаются от поверхности.
В противоположном случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству w >> g в формуле (6) можно пренебречь мнимым слагаемым 2IG по сравнению с wи для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение.
При высоких частотах характер дисперсионных явлений в металлах обусловлен инерцией свободных электронов: за промежуток времени между двумя актами рассеяния, который в среднем равен t = 1/2g электрон успевает совершить много вынужденных колебаний, так как при w >> g их период Т
Из формулы (7) видно, что плазменная частота wP имеет смысл своего рода критической частоты. При w < wP диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с w < wP (но w >> g) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затухание не связано с поглощением (т. е. диссипацией) энергии. В самом деле, диэлектрическая проницаемость вещественна (а истинное поглощение происходит только при ImE ¹ 0) , да и выражение (7) для e(w) получается при пренебрежении диссипативным членом в уравнении движения электрона. Фактически при w < wP происходит полное отражение падающей волны от среды. При чисто мнимом показателе преломления коэффициент отражения равен единице.
При w > wP показатель преломления становится вещественным, а металл — прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте wP составляет 210 нм, что хорошо согласуется с теоретической оценкой. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена на опыте Вудом в 1943 г.
Для промежуточных частот (w » g) нужно пользоваться полным выражением (6), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части. Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света. Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное излучение. Экспериментальные методы определения оптических констант металлов основаны на исследовании поляризации отраженного света.
Уравнения (6) или (7), описывающие дисперсию электромагнитных волн в среде со свободными электронами, в равной мере применимы к электронам проводимости в металлах и к свободным электронам в плазме, например, в ионосферной плазме. Полученные выше выражения (при надлежащих значениях N и g) можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство открывает возможность радиолокации Луны и планет и жизненно важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы, в частности определения N по критической частоте.
В случае очень высоких частот w ® ¥ диэлектрическая проницаемость e(w) любого вещества стремится к единице: при очень быстрых изменениях напряженности поля процессы поляризации не успевают происходить. Предельный вид функции e(w) при больших частотах, справедливый для любых тел (безразлично – металлов или диэлектриков), можно установить, рассматривая электроны вещества как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов. Для этого частота w поля должна быть велика по сравнению с собственными частотами w электронов в атомах данного вещества. Пренебрегая w0 по сравнению с w, для e(w) получаем такое же выражение (7), как и в металлах:
С той разницей, что в N нужно понимать не концентрацию электронов проводимости, а полное число электронов в единице объема вещества. Область применимости этой формулы начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов и от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.
При частотах, соответствующих рентгеновскому излучению, перестает выполняться условие l >> A (A – среднее расстояние между атомами среды). Поэтому, строго говоря, макроскопическое описание поля здесь неприменимо и среду нельзя рассматривать как непрерывную. Нужно исходить из рассеяния рентгеновского излучения на отдельных электронах, распределенных в пространстве с некоторой плотностью N(X, Y, Z)). В кристаллах эта функция координат будет трехмерно периодической, отражая упорядоченное расположение атомов в узлах кристаллической решетки. Когда длина волны меньше пространственного периода решетки, при определенных условиях возможно появление волн, распространяющихся в направлениях, сильно отличающихся от направления падающей волны. Это явление подобно образованию дифракционных максимумов при попадании света на оптическую дифракционную решетку. Однако если интересоваться распространением рентгеновского излучения в веществе в направлении, близком к направлению падающей волны, то зависимость плотности числа электронов N(X, Y, Z) от координат становится несущественной и вместо нее можно рассматривать усредненную по объему величину N – полную концентрацию электронов. Поэтому для преломления на малые углы, несмотря на нарушение условия l >> A диэлектрическая проницаемость e(w) и показатель преломления N(w) сохраняют свой обычный смысл и для рентгеновского излучения.
Из приведенной формулы видно, что показатель преломления рентгеновских лучей меньше единицы, хотя и очень мало отличается от нее. Его можно измерить, наблюдая предельный угол полного отражения рентгеновских лучей при переходе из воздуха в среду. Для l = 0,1 нм в стекле N = 1 – 5×10–6.
Широкое применение рентгеновских лучей в медицине и в технике основано именно на том, что показатель преломления для них практически не отличается от единицы. Глубина проникновения рентгеновских лучей в металлах больше, чем для видимого света, но во многих других веществах она даже отдаленно не приближается к тем громадным глубинам проникновения, которых можно достичь в видимой или инфракрасной области. Прозрачная для видимого света атмосфера Земли полностью поглощает приходящее из космоса рентгеновское излучение (рентгеновская астрономия стала возможной только при выведении телескопов на спутниках за пределы атмосферы). Аналогично обстоит дело и в таких средах, как вода и стекло. Но видимый свет, для которого показатели преломления этих сред имеют значения около 1,5, чрезвычайно чувствителен к внутренним граничным поверхностям. В таких неоднородных средах, как, например, мышцы и другие ткани организма, происходит диффузное отражение света на многочисленных граничных поверхностях, разделяющих отдельные области, что делает эти среды непрозрачными для видимого света. Рентгеновские лучи, для которых во всех средах N » 1, как бы не замечают этих граничных поверхностей. Поэтому шапка мыльной пены совершенно не прозрачна для видимого света (дает на экране черную тень) и полностью прозрачна для рентгеновских лучей.
Глубина проникновения света в металл
До сих пор мы рассматривали распространение света в непроводящих изотропных средах. Теперь обратимся к оптике проводящих сред, главным образом металлов. Обычный кусок металла состоит из небольших кристаллов, ориентированных случайным образом. Монокристаллы заметных размеров встречаются редко, но их можно приготовить в лаборатории. Оптические свойства кристаллов рассматриваются в гл. 14. Очевидно, что совокупность случайным образом ориентированных кристаллов ведет себя как изотропное тело, а поскольку в проводящей изотропной среде теория распространения света значительно проще, чем в кристалле, мы довольно подробно рассмотрим ее здесь.
Согласно § 1.1 проводимость связана с выделением джоулева тепла. Это — необратимое явление, при котором электромагнитная энергия исчезает или, точнее, превращается в тепло, в результате чего электромагнитная волна в проводнике затухает. Вследствие чрезвычайно высокой проводимости металлов этот эффект в них сюль велик, что они практически непрозрачны. Указанное свойство позволяет металлам играть важную роль в оптике. Сильное поглощение сопровождается высокой отражательной способностью, так что металлические поверхности служат прекрасными зеркалами. Частичное проникновение света в металл (хотя глубина проникновения и мала) дает возможность получать информацию о константах металлов и механизме поглощения да наблюдений отраженного света.
Вначале мы чисто формально рассмотрим результаты, вытекающие из наличия проводимости, а затем кратко обсудим простую, до некоторой степени идеализированную физическую модель этого явления, основанную на классической электронной теории. Такая модель дает лишь грубое объяснение некоторым из наблюдающихся эффектов; более точную модель можно создать лишь с помощью квантовой механики, однако это выходит за рамки настоящей книги. Формальную теорию мы применим к двум проблемам, представляющим практический интерес: к оптике слоистых сред, содержащих поглощающий элемент, и к дифракции света на металлической сфере.
Чрезвычайно привлекательной математической особенностью теории является то, что наличие проводимости можно учесть, просто вводя вместо вещественной диэлектрической проницаемости комплексную (или комплексный показатель преломления). В металлах преобладает мнимая ее часть.
§ 13.1. Распространение волн в проводнике
Рассмотрим однородную изотропную среду с диэлектрической проницаемостью , магнитной проницаемостью и проводимостью а. Используя материальные уравнения (1.1.9) - (1.1.11), а именно
запишем уравнения Максвелла в виде
Легко видеть, что для электромагнитного возмущения, падающего извне на проводник, мы можем заменить (3) уравнением . Действительно, если мы применим операцию дивергенции к уравнению (1) и используем (3), то получим
Дифференцируя уравнение (3) по времени, найдем
Исключая из двух последних уравнений, получим
или после интегрирования
Таким образом, видно, что любая плотность электрического заряда экспоненциально уменьшается со временем. Время релаксации чрезвычайно мало для любой среды, обладающей заметной проводимостью. Для мегаллов это время значительно меньше периода колебаний волны; например, для света в оранжевой области видимого спектра период колебаний равен сек, тогда как для меди порядка сек. Для любого разумного значения , которого можно ожидать, так мало по сравнению с периодом световой волны, что в металле всегда практически равно нулю. Тогда уравнение (3) можна переписать в виде
Из (1) и (2) после исключения Н и использования (7) следует, что Е удовлетворяет волновому уравнению
Наличие члена с означает затухание волны, т. е. при распространении через, среду волна постепенно ослабевает.
Если поле строго монохроматично и обладает циклической частотой т. е. если Е и Н имеют вид то производная и уравнения (1) и можно переписать следующим обрйзом:
Тогда уравнение (8) примет вид
Если в эти уравнения ввести величину
то они формально станут идентичными с соответствующими уравнениями для непроводящих сред, где фигурирует вещественная диэлектрическая проницаемость .
Аналогия с непроводящими средами станет еще ближе, если, кроме комплексного волнового числа и комплексной диэлектрической проницаемости ввести также комплексную фазовую скорость и комплексный показатель преломления которые по аналогии с (1.2.8), (1.2.12) и (1.3.21) определяются как
где пик вещественны, и назовем к показателем затухания. Величины пик легко выразить через материальные постоянные . Возводя в квадрат обе части (15), получим
Кроме того, и (13) имеем
Приравнивая вещественные и мнимые части в этих двух выражениях для получим
Отсюда следует, что
Здесь выбран положительный квадратный корень, так как вещественны, а следовательно, должны быть положительными.
Уравнение (11) формально идентично волновому уравнению для непроводящей среды, но теперь волновое число комплексно. Простейшим решением (11) служит плоская гармоническая во времени волна
Если в соответствии с (14) и (15) подставить значение из соотношения примет вид
Вещественная часть этого выражения, а именно
представляющая собой электрический вектор, является плоской волной длиной затухание которой определяется экспоненциальным членом. Так как. плотность энергии волны пропорциональна среднему по времени от то ясно, что будет уменьшаться в соответствии с законом
Здесь — длина волны в вакууме, X — длина волны в среде. Постоянная называется коэффициентом поглощения.
Плотность энергии падает в раз на расстоянии , где
Обычно эта величина составляет очень малую долю длины волны (см. табл. 13.1).
Таблица 13.1. «Глубина проникновения» излучения с различными длинами волн для меди
Возвращаясь к уравнениям (17), мы видим, что когда первое уравнение точно переходит в соотношение Максвелла а второе дает Для металлов и фактически так велико, что в (17) можно пренебречь величиной а по сравнению с . Чтобы оценить порядок рассматриваемых величин, заметим, что для большинства металлов и поэтому для (что соответствует частоте . Диэлектрическую проницаемость металла невозможно измерить прямо, по как мы покажем, ее легко получить из оптических экспериментов. Однако меланизмы электрической поляризации в металлах и диэлектриках не могут Фундаментально отличаться друг от друга, и поэтому мы вправе предположить, что в обоих типах сред одинаково по порядку величины. Следовательно, для не слишком коротких длин волн можно считать, что
Уравнения (17) и (22) переходят при этом в
Идеальный проводник характеризуется бесконечной проводимостью . Так как, согласно (16), то в этом предельном случае
или на основании Такой проводник вообще не позволял бы электромагнитной волне проникать на какую-либо глубину и отражал бы весь падающий свет (см. ниже, § 13.2).
Если показатель преломления прозрачных веществ можно легко измерить по углу преломления, то такие измерения для металлов исключительно трудны, так как металлический образец, пропускающий заметную долю падающего света, должен быть чрезвычайно тонким. Тем не менее Кундту [1] удалось изготовить металлические призмы и провести прямые измерения вещественной и мнимой частей комплексного показателя преломления. Однако обычно оптические постоянные металлов определяются посредством катоптрических, а не диоптрических экспериментов, т. е. путем изучения тех изменении, которые возникают при отражении света от металла, а не при прохождении через него.
1. В диэлектриках электромагнитные волны распространяются без затухания, в хороших же проводниках — металлах — электромагнитные волны затухают настолько быстро, что даже тонкие слои металлов оказываются непрозрачными для волн. Объясняется это, конечно, тем, что энергия волны переходит по мере ее распространения в джоулево тепло, выделяемое возбуждаемыми полем волны токами проводимости.
Покажем, прежде всего, что распространение волн в однородном проводнике не связано с возникновением в нем свободных электрических зарядов. Внося в уравнение непрерывности выражение (V) для плотности тока и предполагая, что сторонние электродвижущие силы в проводнике отсутствуют, получаем
Решение этого дифференциального уравнения есть
где произвольная постоянная.
Следовательно, если даже каким-либо образом внести в проводник свободные объемные заряды, то плотность этих зарядов спадет с течением времени по экспоненциальному закону до нуля; чем больше электропроводность тем быстрее произойдет это рассасывание зарядов. Электромагнитное поле вообще не может создать в проводнике объемных свободных зарядов, ибо если в момент то, согласно (102.1), оно останется равным нулю и во все последующее время.
2. Рассмотрим монохроматическую волну частоты в металле, т. е. положим
Внося эти выражения в уравнения Максвелла воспользовавшись уравнениями (V) и полагая, согласно (102.1), получаем после сокращения на
Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений в диэлектриках только тем, что в первом из них множитель заменяется множителем Иными словами, эти уравнения совпадут с уравнениями волны в диэлектрике, если в последних заменить на
Таким образом, в отношении распространения монохроматических волн проводник эквивалентен диэлектрику с комплексной диэлектрической проницаемостью Поэтому при рассмотрении волн в металле мы можем непосредственно воспользоваться результатами, полученными в § 100 и 101 для волн в диэлектриках, произведя в формулах этих параграфов замену на
Так, например, волновое (комплексное) число к определится в соответствии с (100.4) формулой
Целесообразно разложить к на действительную и мнимую части:
Мы условимся брать для положительные корни этих уравнений. В соответствии с (102.4) и (100.5) поле плоской монохроматической волны в проводнике, распространяющейся вдоль оси z, выражается формулами
Таким образом, комплексность волнового числа к соответствует наличию поглощения: амплитуда волны экспоненциально спадает по мере ее распространения. При мнимая часть волнового числа к обращается в нуль, и затухание волн прекращается.
В соответствии с (100.9) векторы волны в проводнике взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему; однако векторы обладают в проводнике различными фазами, а не одинаковыми, как в диэлектрике. Действительно, заменив в формуле на получим
Так как множитель комплексен, то фаза вектора отлична от фазы Подробнее об этом см. в § 103.
3. В § 90, посвященном скин-эффекту, мы тоже изучали периодическое поле в проводнике с тем единственным отличием от нашего теперешнего рассмотрения, что в § 90 мы пренебрегали токами смещения в проводнике по сравнению с токами проводимости. Так как, согласно § 88, токи смещения в металлах малы по сравнению с токами проводимости вплоть до частот, соответствующих инфракрасной части спектра
то результаты настоящего параграфа должны при меньших частотах лишь незначительно отличаться от результатов § 90.
Действительно, разрешая уравнения (102.4) относительно получаем
Как указывалось в § 88, в металлах т. е. вплоть до поэтому даже в случае световых волн можно в (102.6) пренебречь единицей по сравнению с Таким образом, с достаточной степенью точности
что совпадает с выражением (90.5) для . Таким образом, (102.5) практически совпадает с ранее найденным выражением (90.6) для электрического вектора волны в металле.
Как отмечалось в § 90, глубина проникновения волны в металл определяется величиной
ибо амплитуда волны спадает на этой глубине в раз по сравнению с амплитудой на поверхности. Так как, согласно (100.7), длина волны, которую мы на этот раз для отличия от проводимости А обозначим через I, равна и так как то
Таким образом, на отрезке 5 откладывается только 1/6 часть длины волны, т. е. никакой пространственной периодичности поля волны в металле нет. В качестве иллюстрации приведем следующую табличку глубины проникновения в медь полей различной частоты в этой табличке означает длину соответствующей волны в вакууме:
4. Явления отражения света от металлической поверхности гораздо сложнее, чем отражение на границе диэлектриков; так, например, линейно поляризованная волна при отражении от металла становится эллиптически поляризованной (если угол падения не равен 90°). Мы ограничимся рассмотрением простейшего
случая нормального падения плоской монохроматической волны из вакуума на поверхность металла.
При решении этой задачи мы можем воспользоваться результатами § 101. Полагая, как и в § 101, что проницаемость среды равна единице и, кроме того, что металл граничит с вакуумом, мы должны будем в формулах § 101 заменить на 1, а на В частности, показатель преломления металла относительно вакуума, согласно (101.9), окажется равным
т. е. будет иметь комплексное значение. Амплитуды электрического вектора отраженной и преломленной волн при нормальном падении волны на металл определяется формулой (101.10):
Полагая в формулах § 101 и получим
Действительная часть этих комплексных выражений равна
где углы должны быть определены из соотношений
причем, например, означает модуль комплексной величины Таким образом, ввиду комплексности фазы отраженной и преломленной волн не будут, как это имеет место в диэлектриках, совпадать на границе раздела с фазой падающей волны, а будут сдвинуты относительно нее соответственно на углы
В соответствии с (101.11) и (101.13) средние за период плотности потока энергии в падающей и отраженной волне и коэффициент отражения будут равны
Так как А для металлов порядка то вплоть до частот видимого света; стало быть, согласно (102.2) и (102.9), модуль также гораздо больше единицы.
Поэтому коэффициент отражения металлических поверхностей близок к единице. Так, например, даже для желтой линии натрия равно 0,95 для и т. д.
Читайте также: