Классическая теория металлов друде лоренца

Обновлено: 19.05.2024

Классическая теория проводимости металлов предложена П. Друде и Х. Лоренцем и обоснована классическими опытами по изучению проводимости металлов.

Исследование природа носителей тока в металлах началось после открытия в 1897 г. Томсоном электрона.

В 1901 г. К. Рикке провел опыт по длительному пропусканию тока через три последовательно соединенных цилиндра медный-алюминиевый-медный, которые были перед опытом взвешены. За год через систему прошел заряд порядка 3,5 МКл, но масса цилиндров не изменилась, а в области тщательно отполированных торцов не было обнаружено переноса вещества.

Следовательно, атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе зарядов при токе, а ток обеспечивается движением общих для всех металлов частиц, т. е. электронами.

Прямые доказательства того, что ток в металлах обусловлен движением электронов были получены Р. Толменом и Б. Стюартом, которые в 1916 г. определили удельный заряд носителей тока, усовершенствовав методику опытов, проведенных С. Л.Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1913г.

Опыт заключался в том, что соленоид, вращающийся вокруг своей оси, резко останавливали (рис.195). Концы обмотки соленоида, с помощью скользящих контактов, были замкнуты на гальванометр, который при торможении регистрировал импульс тока. При длине обмотки порядка 500 м и линейной скорости вращения порядка 300 м/с удалось с достаточно большой точностью определить удельный заряд носителей тока:



Согласно представлениям классической теории Друде-Лоренца при образовании кристаллической решетки металлов освобождаются слабо связанные с атомами валентные электроны. Хаотическое движение электронов по всему объему проводника, столкновение с узлами кристаллической решетки соответствует тепловому равновесию между электронным газом и решеткой.

Энергия теплового движения электронов может быть оценена при использовании выводов молекулярно-кинетической теории и рассмотрении электронов как одноатомного газа.

В этом случае средняя скорость хаотического движения: При создании в проводнике электрического поля возникает упорядоченное движение всего электронного газа, средняя скорость которого может быть оценена из формулы:

Например, для медного провода при концентрации электронов проводимости М/с.

Высокая скорость распространения электрического тока по цепи обусловлена не скоростью направленного движения электронов, а скоростью распространения электромагнитного поля, индуцирующего направленное движение электронов по всей цепи.

Теоретические расчеты на основании этой теории хорошо согласовывались с экспериментальными законами Ома и Джоуля — Ленца и позволяли объяснить природу проводимости металлов.

Например, средняя скорость направленного движения электрона при свободном движении между столкновениями с ионами равна:

Тогда плотность тока: — среднее расстояние между узлами кристаллической решетки проводника.

В полученной формуле выражение перед вектором напряженности электрического поля соответствует удельной проводимости и, таким образом, обосновывает природу проводимости металлов.

Теория Друде-Лоренца позволила также объяснить эффект Холла, обнаруженный в 1879 г., который заключался в том, что при пропускании тока по проводящей пластине, помещенной в магнитное поле, между гранями пластины возникает разность потенциалов (рис.196). Экспериментальный закон для разности потенциалов:

Возникновение разности потенциалов можно объяснить повышением концентрации электронов возле верхней грани пластины под действием силы Лоренца. Смещение электронов продолжается до тех пор, пока сила со стороны возникшего электрического поле не уравновесит силу Лоренца: .

Так как .

Следовательно, постоянная Холла

Эффект Холла позволял экспериментально определять концентрацию носителей тока и их знак основных носителей в случае примесной проводимости полупроводников и т. п.

На основе классической теории Друде-Доренца не удалось объяснить следующие экспериментальные факты:

1)линейную зависимость сопротивления от температуры; согласно электронной теории

3)закон Дюлонга-Пти: молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова, не зависит от температуры и равна 3R. Этот закон достаточно хорошо выполняется и для диэлектриков и для металлов, что непонятно с точки зрения электронной теории.

В диэлектриках нет свободных электронов и теплоемкость определяется числом степеней свободы кристаллической решетки. В металлах, с точки зрения электронной теории, теплоемкость должна складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа и, следовательно, быть около 4,5R.

Классическая электронная теория проводимости Друде-Лоренца

Теория Друде была разработана в 1900 году, через три года после открытия электрона. Затем теория была доработана Лоренцом, и сейчас она является классической и актуальной теорией проводимости металлов.

Электронная теория Друде-Лоренца

Согласно теории, носителями тока в металлах являются свободные электроны.

Друде предположил, что электроны в металле подчиняются и могут быть описаны уравнениями молекулярно-кинетической теории. Другими словами, свободные электроны в металле подчиняются законам МКТ и образуют "электронный газ".

Двигаясь в металле, электроны соударяются между собой и с кристаллической решеткой (это и есть проявление электрического сопротивления проводника). Между соударениями электроны, по аналогии с длиной свободного пробега молекул идеального газа, успевают преодолеть средний путь λ .

Без действия электрического поля, ускоряющего электроны, кристаллическая решетка и электронный газ стремятся к состоянию теплового равновесия.

Приведем основные положения теории Друде:

  1. Взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывается между столкновениями.
  2. Столкновения являются мгновенными событиями, внезапно меняющими скорость электрона.
  3. Вероятность для электрона испытать столкновение за единицу времени равна 1 τ .
  4. Состояние термодинамического равновесия достигается благодаря столкновениям.

Несмотря на множество допущений, теория Друде-Лорецна хорошо объясняет эффект Холла, явление удельной проводимости и теплопроводность металлов. Именно поэтому она актуальна по сей день, хотя ответы на многие вопросы (например, почему в металле существуют свободные ионы и электроны) смогла дать только квантовая теория твердого тела.

В рамках теории Друде объясняется сопротивление металлов. Оно обусловлено соударениями электронов с узлами кристаллической решетки.

Выделение тепла, согласно закону Джоуля-Ленца, также происходит по причине соударения электронов с ионами решетки.

Теплопередача в металлах также осуществляется электронами, а не кристаллической решеткой.

Терия Друде не объясняет многих явлений, как например сверхпроводимость, и не применима в сильных магнитных полях, в слабых магнитных полях может терять применимость из-за квантовых явлений.

Среднюю скорость электронов можно вычислить по формуле для идеального газа:

Здесь k - постоянная Больцмана, T - температура металла, m - масса электрона.

При включении внешнего электрического поля, на хаотичное движение частиц "электронного газа" накладывается упорядоченное движение электронов под действием сил поля, когда электроны начинают упорядоченно двигаться со средней скоростью u . Величину этой скорости можно оценить из соотношения:

где j - плотность тока, n - концентрация свободных электронов, q - заряд электрона.

При больших плотностях тока рассчеты дают следующий результат: средняя скорость хаотичного движения электронов во много раз ( ≈ 10 8 ) больше скорости упорядоченного движения под действием поля. При вычислении суммарной скорости полагают, что

Формула Друде

Формула Друде выводится из кинетического уравнения Больцмана и имеет вид:

Здесь m * - эффективная масса электрона, τ - время релаксации, то есть время, за которое электрон "забывает" о том, в какую сторону двигался после соударения.

Друде вывел закон Ома для токов в металле:

Опыт Толмена и Стюарта

В 1916 году опыт Толмена и Стюарта дал прямое доказательство тому, что носителями тока в металлах являются электроны.

Суть опыта была в следующем.

Опыт Толмена и Стюарта

Проводящая катушка с проводом длиной L вращалась вокруг своей оси с большой скоростью, а ее концы были замкнуты на гальванометр. Когда катушку резко тормозили, свободные электроны в металле продолжали двигаться по инерции, и гальванометр регистрировал импульс тока.

Считая, что свободные электроны подчиняются законам механики Ньютона, можно записать, что при остановке проводника электрон приобретает ускорение v ' (в катушке направлено вдоль проводов). При этом на электрон действует сила, направленная противоположно ускорению.

Под воздействием этой силы электрон ведет себя так, как если бы на него действовало поле E = - m v ' q . Эдс, возникающую в катушке при торможении можно записать, как:

ε = ∫ L E d l = - m v ' q ∫ L d l = - m v ' q L

Считая, что ускорение одинаково в каждом витке, можно записать закон Ома для катушки, а затем вычислить заряд, проходящий в ней за время d t :

d q = I d t = - m L d v q R d t d t = - m L d v q R

Заряд, прошедший от момента начала торможения до остановки:

q = - m L q R ∫ v 0 0 d v = - m L v 0 q R

Опыт Толмена и Стюарта получил хорошее согласование с теорией, полученное экспериментально отношение q m соответствовало отношению заряда электрона к его массе.

При T = 300 К вычислите среднюю скорость теплового движения свободных электронов.

Теория Друде-Лоренца. Электронная теория проводимости металлов

Созданием классической электронной тео­рии проводимости металлов наука обязана прежде всего Джозефу Джону Томсону, ко­торый в 1897 г. открыл электрон, а в 1898 г. определил его заряд. Исследуя прохождение электрического тока в разреженных газах, он установил, что это поток отрицательно заряженных частиц, масса которых прибли­зительно в 1837 раз меньше массы атома обычного водорода. Пауль Друде в 1900 г. по­ложил начало классической теории прово­димости металлов, которую развил в 1904 г. Гендрик Лоренц.

В основу теории Друде-Лоренца поло­жена кинетическая теория газов, законо­мерности поведения идеального газа. Счита­ется, что свободные электроны (электроны, потерявшие связь со «своими» атомами) в металлах подчиняются законам идеального газа.

Скорость хаотического движения свобод­ных электронов в металлах можно опреде­лить, если воспользоваться представлением о свободных электронах, как об одноатом­ном электронном газе. В самом деле, сред­няя кинетическая энергия одноатомной мо­лекулы идеального газа согласно молеку­лярно-кинетической теории

где k — постоянная Больцмана; T — тем­пература по шкале Кельвина; m — масса электрона, а u̅ — средняя квадратическая скорость движения свободных электронов.

Для комнатной температуры (300 К) ско­рость хаотического движения электронов около 110 км/с. Тем не менее, хаотическое движение электронов не обусловливает воз­никновения тока в проводнике — направ­ленного перемещения заряженных частиц.

Если же теперь в проводнике площадью поперечного сечения S и длиной l образо­вать однородное электрическое поле с нап­ряженностью E̅, то на каждый свободный электрон будет действовать сила F = eE, где e — заряд электрона (рис.7.1). Под действием таких сил на хаотическое движение свобод­ных электронов будет накладываться направ­ленное их перемещение, что и образует ток в проводнике (так движется рой пчел или мошек под действием ветра).

Средняя скорость направленного движе­ния электронов v̅, образующих ток, крайне мала по сравнению со средней скоростью u̅ их хаотического движения, поскольку элект­роны часто сталкиваются с ионами кристаллической решетки, отдавая им прак­тически всю энергию, которую приобрели вследствие направленного движения (при столкновениях теряется скорость направ­ленного движения электронов, а скорость их хаотического движения сохраняется).

Поскольку электронное поле в проводнике распространяется со скоростью света (около 3 • 10 8 м/с), то свободные электроны в про­воднике направленно начина­ют двигаться практически од­новременно, не прекращая сво­его хаотического движения.

Рис. 7.1. Образование тока в проводнике

Средняя длина свободного пробега электрона λ̅ (расстояние, которое проходит электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами кристаллической решетки) имеет такой же порядок, как и постоянная кристаллической решетки (при­близительно 10 -8 см).

Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. Эту теорию создал Друде, а доработал Лоренц. Он исходил из того, что электроны в металле ведут себя как молекулы идеального газа. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики.

В этой теории считают, что взаимодействие электронов между собой несущественно, а взаимодействие ионов и электронов осуществляется только как соударения.

В промежутках между соударениями электроны движутся свободно, проходя в среднем путь $\lambda $. Взаимодействия электронов и ионов (их соударения) ведут к тому, что кристаллическая решетка и электронный газ приходят в состояние теплового равновесия. На электронный газ Друде распространил результаты кинетической теории газов.

Так, например, среднюю скорость движения электронов делают в соответствии с формулой:

где $k$ -- постоянная Больцмана, $m_e$ -- масса электрона.

В том случае, если проводник находится во внешнем электрическом поле, то на тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение с некоторой скоростью $\left\langle u\right\rangle .$ Размер этой скорости можно оценить из формулы:

\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2\right),\]

где $n$ -- концентрация свободных электронов, $q_e$ -- величина заряда электрона, $j$ -- плотность тока. Расчеты показывают, что $\left\langle u\right\rangle \approx ^\frac$, тогда как $\left\langle v\right\rangle \approx ^5\frac$ . Получается, что при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов в $^8$ раз меньше, чем их средняя скорость хаотического движения. Следовательно, если требуется вычислить модуль суммарной скорости, то полагают, что:

Определим, насколько внешнее электрическое поле изменяет среднее значение кинетической энергии электронов. Средний квадрат суммарной скорости равен:

\[\left\langle <\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)>^2\right\rangle =\left\langle v^2+2\overrightarrow\cdot \overrightarrow+u^2\right\rangle =\left\langle v^2\right\rangle +\left\langle 2\overrightarrow\cdot \overrightarrow\right\rangle +\left\langle u^2\right\rangle \left(4\right),\]

То, что электроны будут иметь скорость теплового движения равную $\left\langle v\right\rangle ,\ $а скорость упорядоченного движения составит $\left\langle u\right\rangle $ -- независимые события, следовательно, из теоремы об умножении вероятностей можно записать, что:

\[\left\langle \overrightarrow\cdot \overrightarrow\right\rangle =\left\langle \overrightarrow\right\rangle \cdot \left\langle \overrightarrow\right\rangle \left(5\right).\]

Но мы знаем, что $\left\langle \overrightarrow\right\rangle =0$, значит выражение (4) примет вид:

\[\left\langle <\left(\overrightarrow+\overrightarrow\right)>^2\right\rangle =\left\langle v^2\right\rangle +\left\langle u^2\right\rangle \left(6\right).\]

Можно сделать вывод о том, что наложение внешнего поля увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на величину, равную:

Друде считал, что при соударении электрона с ионом, энергия, представленная в выражении (7) передается от электрона иону, при этом скорость электрона после удара становится равной нулю. Исходя из этой предпосылки Друде получал закон Ома в виде:

где величина, которая стоит перед напряженностью электрического поля (E), есть не что иное, как коэффициент удельной проводимости ($\sigma $), равный:

Поучилось, что по классической электронной теории электросопротивление металлов вызвано соударениями электронов об ионы, в узлах кристаллической решетки.

Также, классическая теория объяснила закон Джоуля -- Ленца. Опять - таки, соударениями электронов с ионами решетки, и выделением тепла в их результате.

Эта теория дала качественное толкование закона Видемана -- Франца исходя из посыла о том, что теплопередача осуществляется в металле не кристаллической решеткой, а свободными электронами и рассматривая эти электроны как одноатомный газ. При этом было использовано выражение для коэффициента теплопроводности из кинетической теории газов.

Однако эта теория не смогла объяснить все явления связанные с поведением металлов в электрических полях. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени. Следующая серьезная проблема, с которой столкнулась классическая теория электронной проводимости, было объяснение того, что теплоемкость металлов несущественно отличается от теплоемкости неметаллических кристаллов (тогда как согласно классической теории получалось, что молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков).

Опыты Толмена и Стюарта

Прямое доказательство того, что электрический ток в металлах вызван движением электронов было сделано в опытах Толмена и Стюарта (1916 г.). Идея этих опытов была выдвинута Мандельштамом и Папалески еще в 1913 г.

Проводящая катушка может вращаться вокруг своей оси. Концы катушки замыкают на гальванометр посредством скользящих контактов. Катушку, вращающуюся с высокой скоростью, резко тормозят. При этом свободные электроны продолжают по инерции двигаться. Гальванометр регистрирует импульс тока.

Если через $\dot$ обозначить линейное ускорение катушки в момент торможения (оно направлено по касательной к поверхности катушки, а при плотной намотке и тонких проводах можно положить, что ускорение направлено вдоль проводов), при торможении каждому свободному электрону приложена сила инерции ($F_i$), направленная противоположно ускорению, равная:

где $m_e$ -- масса электрона. Под воздействием силы $F_i$ электрон ведет себя так, как на него действовало бы поле ($E_$):

Следовательно, ЭДС в катушке может быть записана как:

где $L$ -- длина провода на катушке. Считаем, что все токи провода тормозятся с одним ускорением. Закон Ома для нашей цепи можно записать в виде:

где $I$ -- сила тока в цепи, $R$ -- полное сопротивление цепи. Заряд, который протекает по цепи за время dt, будет равен:

В таком случае за время торможения от скорости $v\left(t=0\right)=v_0$ до остановки, через гальванометр пройдет заряд, равный:

В опыте величину $q$ находили по показаниям гальванометра, $L,\ R$, $v_0$ были известны. Следовательно, можно найти знак и величину $\frac$. Опыты показали, что найденное отношение соответствует отношению заряда электрона к его массе. Так, доказано, что ток, который проходит через гальванометр, вызван движением электронов.

Задание: Вычислите среднюю скорость теплового движения электронов при T=300K.

Так как электронный газ подчиняется тем же законам, что идеальный газ, то среднюю скорость вычислим используя формулу:

Ответ: $\left\langle v\right\rangle \approx ^5\frac.$

Задание: Вычислите скорость упорядоченного движения электронов, если металл находится в электрическом поле. Сравните ее со средней скоростью теплового движения электронов в медных проводах, если предельная допустимая плотность тока для них равна $^7\frac$, концентрация электронов меди n=$^м^.$

Используем формулу для вычисления плотности тока:

\[j=nq_e\left\langle u\right\rangle \left(2.1\right).\]

Скорость упорядоченного движения электронов выразим как:

\[\left\langle u\right\rangle =\frac\left(2.2\right),\]

Используем результат, полученный в примере 1, получим, что отношение ($\frac<\left\langle v\right\rangle ><\left\langle u\right\rangle >$)=$^8$.

Читайте также: