Металлическая пластина между обкладками конденсатора

Обновлено: 07.05.2024

ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков, параллельными пластинам. Первый слой – фарфор толщиной d₁ = 2 мм, второй – эбонит толщиной
d₂ = 1,5 мм. Определить емкость C такого конденсатора, если площадь пластин S = 100 см 2 .

ДАНО: d₁ = 0,002 м d₂= 0,0015 м S = 0,01 м 2

С – ?

АНАЛИЗ. Для решения задачи представим конденсатор с диэлектриками как два последовательно соединенных конденсатора. Напряжение на конденсаторе равно U = U₁+U₂, где U₁ и U₂ – напряженияна слоях диэлектрика. Чтобы найти емкость конденсатора С, необходимо знать U₁ и U₂. Для этого следует воспользоваться связью напряженности и потенциала и условиями на границе раздела двух диэлектриков, а также учесть, что нормальная составляющая вектора смещения при переходе через границу не меняется.

РЕШЕНИЕ. Емкость конденсатора равна C = q/U = q/(U₁+U₂ ), (2.3.1)

где q – заряд пластины (рис. 2.3.1).

Поле внутри конденсатора однородно, поэтому связь напряженности и потенциала дает

Вектор напряженности связан с вектором электрического смещения соотношением или .

где – поверхностная плотность заряда, получаем

Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ: С = 98,3 пФ.

ЗАДАЧА 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости (C₁ = C₂) соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой . Как изменится разность потенциалов U₁ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 7 (рис. 2.3.2)?

ДАНО: C₁ = C₂; U₁ = const ; e = 7

После заполнения источник тока не отключался, поэтому общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. Учитывая, что емкость второго конденсатора увеличилась в e раз, можно найти новую разность потенциалов на первом конденсаторе .

РЕШЕНИЕ. После заполнения диэлектриком разности потенциалов на конденсаторах стали равны

где q – заряд обкладки конденсатора,q¹q₀ , электроемкость первого конденсатора не изменилась, C₁¢ = C₁ = C.

Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то , где

Подставив (2.3.3) в (2.3.2), получим

Искомое отношение равно

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

ЗАДАЧА 3. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

ДАНО: м м U = 2300 В r = 0,020 м

Е – ?

АНАЛИЗ. Кабель можно уподобить цилиндрическому конденсатору. Электрическое поле создается только центральной жилой. Напряженность этого поля следует определять как напряженность поля бесконечной заряженной нити.

РЕШЕНИЕ. Напряженность поля кабеля равна

Кабель заряжен равномерно, поэтому t= q/ .

Заряд можно определить, если известна емкость конденсатора C, q = CU_0, тогда t= CU₀/ . (2.3.5)

Известно, что емкость цилиндрического конденсатора определяется по формуле: (2.3.6)

Используя выражения (2.3.5) и (2.3.6) получаем . (2.3.7)

Подставим (2.3.7) в равенство (2.3.4):

ЗАДАЧА 4. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины S = 500 см 2 , подключен к источнику тока, ЭДС которогоξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстоянияd₁ = 1 см доd₂ = 3 см в двух случаях: а) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; б) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

ДАНО: ξ = 300 В d₁ = 0,01 м d₂ = 0,03 м S = 0,05 м 2

А – ?

АНАЛИЗ. В первом случае систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы , где W₂ – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (с расстоянием между пластинамиd₂), W₁ – энергия поля конденсатора в начальном состоянии(d = d₁).

Во втором случае пластины остаются подключенными к источнику тока, и система двух пластин уже не является изолированной (заряд пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Разность потенциалов при раздвижении пластин остается неизменной U = ξ. В этом случае причем U = const,а C меняется. Емкость плоского конденсатора C = e₀S/d будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться заряд на пластинах, q = CU, и напряженность поля конденсатора E = U/d.

В этом случае работу вычислим как интеграл , (2.3.8)

где E₁ – напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины.

РЕШЕНИЕ. В первом случае заряд q каждой из пластин, отключенных от источника, при их раздвижении не меняется, q = C₁x .

Энергия электрического поля конденсатора равна

Электроемкости равны соответственно (2.3.10)

Подставив (2.3.10) в (2.3.9), получаем

Подставив значения, получаем

Рассмотрим второй случай.

Выразим напряженность E₁ поля и заряд q через расстояние х между пластинами (рис. 2.3.3).

Подставив выражения (2.3.11) и (2.3.12) в формулу(2.3.8), получаем

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем

ЗАДАЧА 5. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциаловU = 1 кВ. Расстояние между пластинамиd = 1 см, диэлектрик – стекло. Определить объемную плотность энергии конденсатора.

ДАНО: U = 1000 В d = 0,01 м ε = 7

w – ?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ.

Объемная плотность энергии конденсатора вычисляется по формуле

причем напряженность поля плоского конденсатора E = U/d поэтому

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем:

ЗАДАЧА 6. Металлический шар радиусом R = 3 см несет заряд нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d = 2 см. Определить энергию W электрического поля, заключенного в слое диэлектрика.

ДАНО: R = 0,03 м ε = 2 d = 0,02 м

W – ?

АНАЛИЗ. Поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, поэтому энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, т. к. поле заряженного шара обладает сферической симметрией (рис. 2.3.4). Энергия в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV равна , гдеw – объемная плотность энергии.

Полная энергия равна интегралу .

РЕШЕНИЕ. Учитывая, что dV = 4p r 2 d r, где r – радиус элементарного сферического слоя толщиной , получаем

Объемная плотность энергии определяется выражением ,

причем напряженность поля E в сферическом слое диэлектрика радиусом r равна .

Пример 14

В некоторой цепи имеется участок, изображенный на рис. 15. Потенциалы точек А, В, D равны соответственно j_А, j_В и j_D, а емкости конденсаторов С₁, С₂и С₃. Найти потенциал j₀ точки 0.

Для решения этой задачи нужно знать следующее правило, являющееся следствием закона сохранения заряда: если обкладки нескольких конденсаторов соединены в одной точке, то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю (напоминаем, что слова «алгебраическая сумма» означают, что при сложении зарядов нужно учитывать их знак. Если знак заряда на обкладке не указан и из условия задачи нельзя сделать вывод о знаке заряда, то его можно считать положительным, как в нашем случае).

Пусть заряд на обкладке конденсатора C_1, соединенной с точкой 0, равен q₁, заряд на обкладке конденсатора С₂, соединенной с той же точкой, равен q₂
и заряд на соответствующей обкладке конденсатора С₃ равен q₃. Тогда из сказанного выше следует равенство

Согласно определению емкости конденсатора

Отсюда, выполнив необходимые алгебраические преобразования, найдем искомый потенциал j₀ точки 0:

Пример 15.

На пластине Мподдерживается потенциал j₁, = +80 В, а на пластине N– j₂ = – 80 В (рис. 16, а). Расстояние между пластинами d = 10 см. На расстоянии d₁= 4 см от пластины Мпомещают заземленную пластину Р (рис. 16, б). Найти изменение напряженности DE₁ поля на участке МРи изменение напряженности поля DЕ₂ на участке PNпри этом. Построить графики зависимостей напряженностей E = Е (х) и потенциала j = j (х) от расстояния между точками поля и пластинами.

Напряженность однородного поля Е между пластинами M и N до помещения пластины Р между ними

После того, как пластину Р расположили параллельно пластине М на расстоянии d₁ от нее, напряженность поля между пластинами М и Р , где j = 0 – потенциал заземленной пластины Р, поэтому

Изменение напряженности электрического поля на участке МР

Напряженность поля на участке РN после помещения пластины Р

Тогда изменение напряженности на этом участке

Знак «минус» означает, что напряженность поля на участке PN уменьшилась.

График Е = Е(r) показан на рис. 17.

График j = j (r) показан на рис. 18.

Пример 16.

Между обкладками плоского воздушного конденсатора параллельно его пластинам помещается металлическая пластинка толщиной а. Размеры пластинки совпадают с размерами обкладок, площадь которых равна S, а расстояние между ними – d. Определить емкость получившегося конденсатора.

Для определения емкости получившегося конденсатора поместим на его обкладки равные по величине разноименные заряды q и (–q), как показано на рис. 19, и емкость определим по формуле где Dj = j₂ – j₁ – разность
потенциалов между обкладками. Рис. 19

Заряды на обкладках конденсатора будут индуцировать на сторонах незаряженной металлической пластинки заряды Q и Q', противоположные по знаку и равные по величине.

Пусть пластинка помещена на произвольном расстоянии х от одной из обкладок, тогда расстояние до другой обкладки будет равно [d –(a + x)].

Напряженность электрического поля в воздушном зазоре шириной х будет равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами q и (–q), и полей, создаваемых индуцированными зарядами Q и Q':

Так как Q = – Q / , то

Векторы напряженностей и между обкладками конденсатора направлены в одну сторону. Следовательно,

Так как электрическое поле внутри конденсатора однородно, то разность потенциалов между обкладкой с зарядом q и пластиной

где j – потенциал пластины.

Аналогично, для воздушного зазора шириной d – (a + x):

Разность потенциалов между обкладкой с зарядом (– q) и пластиной

Складывая выражения (1) и (2), найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора:

Следовательно, емкость получившегося конденсатора

Как видим, емкость получившегося конденсатора не зависит от места расположения внесенной пластины и поэтому для определения емкости системы пластину можно располагать на каком угодно расстоянии х. Если ее расположить непосредственно на одной из обкладок, то получим новый конденсатор с расстоянием между обкладками равном (d – a) и емкостью (3).

Рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных конденсаторов с одинаковыми пластинами площадью S и расстояниями между обкладками х и [d – (a + x)] соответственно. Их емкости, очевидно, равны

а емкость системы

Следовательно, можно сделать еще один вывод: если между обкладками конденсатора поместить металлическую пластину, то образовавшуюся систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Это, очевидно, справедливо также для случаев, когда внутри конденсатора находится несколько пластин.

Пример 17.

Найти емкость батареи конденсаторов, представленной на рис. 20, а, между точками А и В.

Соединение конденсаторов в батарею, предложенную для расчета, называют мостом емкостей. Такое соединение никакими перестроениями упростить нельзя.

При решении задачи воспользуемся законом сохранения электрического заряда (заряд изолированного участка цепи неизменен). В рассматриваемой задаче участки цепи, заключенные в прямоугольники, нарисованные тонкими линиями (рис. 20, б), являются изолированными, Рис. 20

поэтому при любых процессах, происходящих в остальной цепи, суммарные заряды здесь остаются равными нулю.

Для определения емкости батареи конденсаторов присоединим
к точкам А и В источник, поддерживающий разность потенциалов Dj.

В схеме четыре участка цепи имеют разные потенциалы: j_А,j_В,j_М, j_N. Если потенциал точки А условно принять равным нулю, то потенциал точки В будет равен j_B = Dj Обозначим потенциалы точек М и N через х и у соответственно, т.е. j_M = x, j_N = y. Используя закон сохранения заряда, можно утверждать, что суммарные заряды конденсаторов С₁, С₂ и С₃ на обкладках, соединенных с точкой М, равны нулю. Пусть потенциал j_М > j_N, т.е. на обкладке конденсатора С₅, присоединенной к точке М, будет находиться положительный заряд. Тогда

Аналогично, для зарядов на обкладках конденсаторов С₂, С₄ и С₅, присоединенных к точке N:

где q₁, q₂, q₃, q₄, q₅ – заряды на соответствующих конденсаторах.

Используя связь между зарядом на обкладках конденсатора и разностью потенциалов между ними

заряды q₁, q₂, q₃, q₄, q₅можно представить в виде

Теперь выражения (1) – (2) можно записать по-другому:

Решив систему уравнений (3) относительно x и y, получим

Легко заметить, что в случаях, если С₁С₄ = С₂С₃, потенциалы j_M = j_N_, т.е. заряд конденсатора емкостью С₅ будет равен нулю. Это означает, что конденсатор С₅ в накоплении зарядов участия не принимает и его можно
не учитывать при вычислении емкости такой схемы. В этом случае говорят, что мост емкостей сбалансирован. Емкость такой схемы (рис. 20, в)

Вернемся к нашей задаче.

Если известны потенциалы в точках M и N, то полный заряд q на батарее конденсаторов (он равен суммарному заряду на обкладках конденсаторов С₁
и С₂, присоединенных к точке А, или заряду на обкладках конденсаторов С₃ и С₄, присоединенных к точке В) может быть найден как

Следовательно, емкость схемы между точками А и В

Используя значения емкостей конденсаторов (С₁ = С₄ = С₅ = С,
С₂ = С₃ = С₀), после преобразований получаем

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мкКл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке О, находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке А, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов (рис. 4).

Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: Е=Е₁+Е₂ (1). Напряженность электрического поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется по формуле .

О, надо сначала построить векторы напряженностей. Так как заряды Q₁ и Q₂ положительные, векторы E₁ и Е₂ направлены от точки О в сторону от зарядов, создающих это поле (см. рис. 4). Кроме того, по условию задачи заряды равны и расположены на одинаковом расстоянии от точки О Поэтому с учетом направления векторов из формулы (1) получаем E₀=E_1,0-E_2,0 но так E_1,0=E_2,0, то Е₀=0.

В точке А напряженность поля вычисляется по формуле (1); построение векторов проводится аналогично. Результирующий вектор напряженности Е_А является диагональю параллелограмма (см. рис. 4), следовательно, Е_А=E₁+Е₂ или Е_А=2Е₁сosα, так как Е₁=Е₂. Из рис. 4 имеем . Напряженность поля в точке А определяем по формуле

Подставив в (3) числовые значения, получим

2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С=1 нФ, расстояние между обкладками 4 мм. На помещенный между обкладками конденсатора Q=4,9 нКл действует сила F=98 мкН. Площадь обкладки 100 см 2 . Определить: напряженность поля и разность потенциалов между обкладками, энергию поля конденсаторов и объемную плотность энергии.

F=9,8 . 10 -5 H, Q=4,9 . 10 -9 Кл, C=10 -9 Ф, S=10 -2 м 2 , d=4 . 10 -3 м, ε=1, ε₀=8,85 . 10 -12 Ф/м

Найти: E, U, WЭ,ω.

Решение. Поле между обкладками конденсатора считаем однородным. Напряженность поля конденсатора определяется из выражения'. E=F/Q, где F - сила, с которой поле действует на заряд Q, помещенный между обкладками конденсатора.

Подставив числовые значения, найдём

Е=9,8 . 10 -5 Н/4,9 . 10 -9 Кл=2 . 10 4 В/м=20кВ/м

Разность потенциалов между обкладками U=Ed. Подставив числовые значения, получим

U=2 . 10 -4 В/м . 4 . 10 -3 м=80В

Энергии поля конденсатора

Подставив в числовые значения, получим

Плотность энергии - объем поля конденсатора; находи

Ответ: , U=80В, Е=20кВ/м,

3. Найти, как изменятся электроемкость и энергия плоского воздушного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конденсатора и пластины 150 см 2 , расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

Дано: ε=1, d₀=10 -3 м, S=150см 2 =15 . 10 -3 м 2 , d=6 . 10 -3 м

Решение. Емкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесении металлической пластины уменьшается расстояние между пластинами от d до (d-do) (рис. 5). Используем формулу электроёмкости плоского конденсатора

(1), где S —площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. В данном случае получим, что изменение электроемкости конденсатора равно

Подставив числовые значения, получим

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна , (2) где Е — напряженность поля между обкладками конденсатора. При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на Следовательно, изменение энергии (конечное значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора:

Напряженность поля Е определяется через градиент потенциала: E=-U/d, (4) где U — разность потенциалов; d — расстояние между обкладками. Формула (3) с учетом (4) принимает вид:

Подставляя числовые значения в формулу (5), получаем

4. Сила тока в резисторе линейно нарастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3c.

Решение. По закону Джоуля—Ленца dQ=I 2 Rdt (1) Так как сила тока является функцией времени, то I=kt, (2) где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени:

Следовательно, . За первые три секунды выделиться количество теплоты

Подставляя числовые значения в формулу (3), получим

Q=4A 2 /c 2. 10Ом . 27с 3 /3=360Дж

Ответ: Q=360 Дж.

5. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи:

Найти: I, P_{п мах}

Решение: Полезная мощность батареи P_п=I₂R, (1) где R – сопротивление внешней цепи, I- сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону

Здесь n,ε_i- ЭДС, а nr_i,- — внутреннее сопротивление n последовательно соединенных элементов.

Выразим R из (1): R=Pп/I 2 и, подставив это выражение в (2), получим

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

Решая квадратное уравнение, найдем

Подставляя числовые значения, получим

Для того чтобы определить наибольшую полезную мощность батареи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах и , мощность является функцией одной переменной - внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если dP_п/dR=0, следовательно, имеем

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует R=nr_i. Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем

Производя вычисления, найдем

6. Определить концентрацию дырок в полупроводнике германия при такой температуре, когда его удельное сопротивление равно 0,5 Oм·м если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0.40 и 0,20 м 2 /(В·с).

Дано: ρ=0,5 Oм·м, b_n=0,4м 2. В -1. с -1 , b_p=0,2 м 2. В -1. с -1

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников равна

где b_n и b_р — подвижности электронов и дырок соответственно; е — заряд электрона; n — концентрация свободных электронов, т. е. число их в единице объема. В собственном полупроводнике концентрация дырок равна концентрации свободных электронов.

Учитывая, что удельная проводимость и удельное сопротивление связаны между собой зависимостью (2) имеем 1/ρ =еn(b_n+b_р). (3) Определим концентрацию дырок

Подставив числовые значения величин, найдем

7. Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при напряженности поля 30 В/м плотность тока j=1,6 . 10 -6 А/м 2 ? Подвижности ионов b₊=1,4 . 10 -4 м 2 /(В . с), b_-=1,2 . 10 -4 м 2 /(В . с)

Дано:E=30В/м, j=1,6 . 10 -6 А/м 2 , b₊=1,4 . 10 -4 м 2 /(В . с), b_-=1,2 . 10 -4 м 2 /(В . с)

Решение. Плотность тока в газе при отсутствии насыщения

где n - концентрация ионов, т. е. число ионов одного знака в единице объема; b_+, b_- - подвижности положительных и отрицательных ионов; Е- напряженность электрического поля в Газе; Q - абсолютное значение заряда каждого иона. По условию задачи следует определить концентрацию одновалентных ионов, находящихся в воздухе, т. е. Q = e (е — заряд электрона), тогда

Металлическая пластина между обкладками конденсатора

Тип 16 № 6898

Плоский конденсатор с воздушным зазором между обкладками подключён к источнику постоянного напряжения. Как изменятся величина заряда конденсатора и разность потенциалов между его обкладками при увеличении зазора между ними?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Электроемкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его пластинами: Таким образом, при увеличении расстояния между обкладками емкость конденсатора уменьшится.

Также Так как конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, разность потенциалов остается неизменной. А между емкостью конденсатора и величиной заряда прямая пропорциональность, значит, заряд конденсатора уменьшится.

Тип 16 № 3109

Обкладки плоского воздушного конденсатора подсоединили к полюсам источника тока, а затем отсоединили от него. Что произойдет с зарядом на обкладках конденсатора, электроемкостью конденсатора и разностью потенциалов между его обкладками, если между обкладками вставить пластину из органического стекла? Краевыми эффектами пренебречь, считая обкладки бесконечно длинными. Диэлектрическая проницаемость воздуха равна 1, диэлектрическая проницаемость органического стекла равна 5.

А) Заряд конденсатора

Б) Электроемкость конденсатора

В) Разность потенциалов между обкладками

Поскольку конденсатор отключен от источника, при введении между его обкладками пластины из органического стекла заряд конденсатора никак не изменяется (А — 3). Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна величине диэлектрической проницаемости диэлектрика, находящегося между обкладками: Следовательно, добавление пластины из оргстекла приводит к увеличению его электроемкости (Б — 1). Наконец, напряжение на обкладках связано с зарядом конденсатора и его емкостью соотношением Таким образом, напряжение уменьшается (В — 2).

Тип 16 № 3130

Плоский конденсатор отключили от источника тока, а затем уменьшили расстояние между его пластинами. Как изменили при этом заряд на обкладках конденсатора, электроемкость конденсатора и напряжение на его обкладках? (Краевыми эффектами пренебречь, считая пластины конденсатора большими. Диэлектрическую проницаемость воздуха принять равной 1.)

Заряд конденсатора

Электроёмкость

Напряжение на обкладках

Поскольку конденсатор отключен от источника, при изменении расстояния между пластинами заряд конденсатора никак не изменяется. Электроемкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между пластинами: Следовательно, уменьшение расстояния между обкладками конденсатора приводит к увеличению его электроемкости. Наконец, напряжение на обкладках связано с зарядом конденсатора и его емкостью соотношением Таким образом, напряжение уменьшается.

Тип 24 № 29127

Обкладки плоского воздушного конденсатора изготовлены из двух тонких квадратных металлических пластин со стороной a (на рисунке показан вид сбоку). Расстояние между обкладками d

В соответствии с формулой для ёмкости параллельно соединенных конденсаторов, ёмкость рассматриваемого конденсатора в данный момент равна

3. Заряд конденсатора в данный момент равен

Поскольку пластина движется равномерно, то x = Vt и

Следовательно, сила тока, текущего через источник, равна

Этот постоянный ток источника заряжает конденсатор, поскольку его ёмкость возрастает при вдвигании пластины в пространство между обкладками.

4. Полученный результат справедлив при

В момент времени пластина займет всё пространство между обкладками конденсатора, после чего начнёт выходить наружу. Из соображений симметрии ясно, что при

через источник будет протекать точно такой же по модулю, но противоположный по знаку ток −I₀, поскольку ёмкость, а значит, и заряд конденсатора будут уменьшаться.

5. График зависимости силы электрического тока I, протекающего через источник напряжения, от времени t изображён на рисунке. Отметим, что в рамках рассматриваемой модели в определённые моменты времени сила тока изменяется скачкообразно: в момент t = 0 — от 0 до I₀; в момент от I₀ до −I₀; в момент — от –I₀ до 0.

Тип 25 № 7713

В плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого равно 3 см, вставили плоскопараллельную металлическую пластину толщиной 2,5 см. Плоскости пластины параллельны обкладкам конденсатора, расстояние между обкладками намного меньше их поперечных размеров, пластина не касается обкладок. Во сколько раз в результате этого увеличилась электроёмкость конденсатора?

Емкость плоского конденсатора пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика внутри него:

При любом положении параллельной пластины новая ёмкость будет одной и той же, соответствующей обычному конденсатору с расстоянием между пластинами, равному где d — расстояние между обкладками, а b — толщина металлической пластины.

Так как то Емкость конденсатора увеличится в 6 раз.

Тип 16 № 7148

Плоский воздушный конденсатор с диэлектриком между пластинами подключён к аккумулятору. Не отключая конденсатор от аккумулятора, диэлектрик удаляют из конденсатора. Как изменятся при этом ёмкость конденсатора и разность потенциалов между его обкладками?

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины.

Цифры в ответе могут повторяться.

Ёмкость конденсатора

Разность потенциалов между
обкладками конденсатора

Ёмкость плоского воздушного конденсатора рассчитывается по формуле: следовательно, при удалении диэлектрика уменьшится диэлектрическая постоянная а значит ёмкость уменьшается. Конденсатор не отключают от аккумулятора, значит, разность потенциалов между обкладками конденсатора сохраняется.

Тип 16 № 10189

Плоский конденсатор заполнен непроводящим веществом с диэлектрической проницаемостью, равной 3, и подключён к источнику постоянного напряжения. Это вещество удаляют из конденсатора и взамен помещают между пластинами другой изолирующий материал с диэлектрической проницаемостью, равной 5. Как меняются в результате замены диэлектрика электрическая ёмкость конденсатора и заряд на его пластинах? Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

3) не изменяется.

Электрическая ёмкость конденсатора

Заряд на пластинах конденсатора

Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна величине диэлектрической проницаемости диэлектрика, находящегося между обкладками

Следовательно, добавление пластины с большей диэлектрической проницаемостью приведет к увеличению его электроемкости. Наконец, заряд конденсатора связан с напряжением на обкладках и его емкостью соотношением Таким образом, при неизменном напряжении и увеличении емкости конденсатора, заряд на его обкладках увеличится.

Тип 28 № 6434

Два плоских конденсатора ёмкостью С и 2С соединили параллельно и зарядили до напряжения U. Затем ключ К разомкнули, отключив конденсаторы от источника (см. рис.). Пространство между их обкладками заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из левого конденсатора диэлектрик вытечет?

В соответствии с определением понятия «ёмкость» для суммарного заряда конденсаторов имеем:

где 3С — суммарная ёмкость конденсаторов, когда оба они заполнены жидким диэлектриком. После вытекания диэлектрика из левого конденсатора суммарный заряд останется прежним. Емкость плоского конденсатора пропорциональна диэлектрической проницаемости C ~ ε, поэтому суммарная ёмкость станет равна (С/ε + 2С), а напряжение будет равно U₁, так что

Решая систему уравнений (1) и (2), получим ответ:

Тип 28 № 6469

Два плоских конденсатора ёмкостью С и 2С соединили параллельно и зарядили до напряжения U. Затем ключ К разомкнули, отключив конденсаторы от источника (см. рис.). Пространство между их обкладками заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Какой будет разность потенциалов между обкладками, если из правого конденсатора диэлектрик вытечет?

где 3С — суммарная ёмкость конденсаторов, когда оба они заполнены жидким диэлектриком. После вытекания диэлектрика из правого конденсатора суммарный заряд останется прежним. Так как для плоского конденсатора C~ε, то суммарная ёмкость станет равной (С + 2С/ε), а напряжение будет равно U₁, так что

Тип 17 № 4105

Школьник проводит эксперименты с плоским конденсатором, между пластинами которого имеется диэлектрик. Установите соответствие между физическими экспериментами и сопровождающими их физическими явлениями. Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А) Подсоединение обкладок заряженного конденсатора к выводам катушки индуктивности

Б) Подсоединение обкладок незаряженного конденсатора к полюсам источника постоянного напряжения

1) Возникновение постоянного однородного электрического поля

2) Возникновение постоянного гравитационного поля

3) Возникновение постоянного магнитного поля

4) Возникновение электромагнитных колебаний

Краевыми эффектами пренебречь.

Если подсоединить заряженный конденсатор к выводам катушки индуктивности, получится колебательный контур, в котором возникнут электромагнитные колебания (А — 4).

Ежели подсоединить обкладки незаряженного конденсатора к полюсам источника постоянного напряжения, то в течение некоторого времени конденсатор будет заряжаться, а затем течение тока в цепи прекратится. Между обкладками конденсатора в результате возникнет постоянное однородное электрическое поле (Б — 1).

Тип 23 № 9067

Необходимо экспериментально изучить зависимость ёмкости плоского конденсатора от свойств диэлектрика, помещённого между его пластинами. На всех представленных ниже рисунках S — площадь пластины конденсатора, d – расстояние между пластинами. Какие две установки следует использовать для проведения такого исследования?

Емкость конденсатора прямо пропорциональна площади его пластин, диэлектрической проницаемости и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками:

Для экспериментального изучения емкости конденсатора в зависимости от свойств диэлектрика необходимо выбрать два конденсатора с разными диэлектриками между обкладками, но с одинаковыми остальными параметрами. Для этого подходят конденсаторы под номерами 1 и 3.

Тип 17 № 3191

Емкость плоского воздушного конденсатора равна С, напряжение между его обкладками U, расстояние между обкладками d. Чему равны заряд конденсатора и модуль напряженности электрического поля между его обкладками? Установите соответствие между физическими величинами и выражениями для них.

Б) Модуль напряжённости поля

Заряд конденсатора связан с его емкостью и напряжением между его обкладками соотношением (А — 3). Электрическое поле внутри плоского воздушного конденсатора однородное, и модуль его напряженности связан с напряжением на конденсаторе и расстоянием между пластинами соотношением (Б — 4).

Тип 28 № 7644

Плоский конденсатор имеет между своими обкладками пластину из твёрдого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε = 7, полностью заполняющую зазор между ними. Ёмкость конденсатора при этом равна C = 100 пФ. Конденсатор подсоединён к источнику с напряжением U = 50 В. Какую работу A надо совершить для того, чтобы медленно вытянуть диэлектрическую пластину из конденсатора? Трения нет.

При вытягивании диэлектрической пластины из конденсатора, подсоединенного к источнику, его ёмкость, заряд q и энергия W уменьшаются:

Поскольку заряды стекают из конденсатора в источник, то, его работа

По условию трения нет и процесс медленный, поэтому выделением теплоты в цепи можно пренебречь, и закон сохранения энергии имеет следующий вид: то есть совершаемая внешними силами работа A по вытягиванию пластины равна изменению энергии конденсатора минус работа источника. Отсюда

Тип 28 № 7686

Плоский конденсатор имеет между своими обкладками пластину из твёрдого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ℰ = 4, полностью заполняющую зазор между ними. Ёмкость конденсатора при этом равна C = 50 пФ. Конденсатор подсоединён к источнику с напряжением U = 240 В. Какую работу A надо совершить для того, чтобы медленно вытянуть диэлектрическую пластину из конденсатора? Трения нет.

Поскольку заряды стекают против ЭДС источника, его работа

Аналоги к заданию № 7644: 7686 Все

Тип 15 № 8866

Плоский воздушный конденсатор, электроёмкость которого равна 17,7 пФ, заряжают до напряжения 5 В и отключают от источника напряжения. Затем одну пластину начинают медленно удалять от другой. Зависимость расстояния d между пластинами от времени t изображена на рисунке. Электрическая постоянная равна ε₀ = 8,85 · 10 −12 Ф/м.

На основании заданных параметров и приведённого графика, выберите все верные утверждения.

1) Площадь поперечного сечения пластин конденсатора равна 20 см 2 .

2) Заряд на обкладках конденсатора уменьшается обратно пропорционально времени.

3) В момент времени t = 25 с электроёмкость конденсатора станет равна 11,8 пФ.

4) В момент времени t = 10 с напряжённость электрического поля в конденсаторе равна 5 кВ/м.

5) В момент времени t = 20 с напряжение между пластинами конденсатора равно 5 В.

Ёмкость плоского конденсатора находится по формуле:

из чего следует, что утверждение 1 верно.

Так как конденсатор отключили от источника тока, то заряд на его обкладках не меняется с течением времени (утверждение 2 неверно) и равен

В момент времени t = 25 с расстояние между обкладками равно тогда ёмкость конденсатора равна:

а значит, утверждение 3 верно.

Электрическое поле внутри конденсатора может быть найдено по формуле:

ёмкость конденсатора обратно пропорционально зависит от d, а значит, поле внутри конденсатора, отключенного от источника при изменении расстояния между пластинами не изменяется и равно:

а значит, утверждение 4 верно.

В момент времени t = 20 с расстояние между обкладками равно тогда напряжение между пластинами конденсатора равно:

а значит, утверждение 5 неверно.

в четвертом вопросе t = 10 с, на графике это d = 1.2 мм , а в ответе используется 1 мм, следовательно будет не 5 кВ/м, а 4166 В/м

Напряжённость поля в конденсаторе остаётся постоянной, поэтому подставляются значения для начального момента времени: 17,7 пФ и 1 мм. Если же подставлять 1,2 мм, то нужно рассчитать ёмкость в этот момент времени, она уже не будет 17,7 пФ. Ответ от этого не поменяется.

В разборе утверждения 4 E=q/Cd

Но ниже при подсчетах подставлено вместо q 88,5*10^-12, что в условии эл. постоянная. Ведь заряд нам неизвестен

Заряд был посчитан при проверке утверждения 2.

Тип 16 № 25371

Плоский воздушный конденсатор подключён к аккумулятору. Не отключая конденсатор от аккумулятора, вставили диэлектрик между пластинами конденсатора. Как изменятся при этом ёмкость конденсатора и величина заряда на его обкладках?

Так как конденсатор не отключали от источника тока, то напряжение на нем не изменяется. Емкость плоского конденсатора определяется по формуле Откуда следует, что при вставке диэлектрика емкость конденсатора увеличится (1). Из формулы электроемкости конденсатора заряд на его обкладках q = CU. Следовательно, заряд также увеличится (1).

Тип 17 № 3761

Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S несут заряды +q и -q . Расстояние между пластинами d. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А) Напряженность поля между пластинами конденсатора

Б) Энергия, запасенная в конденсаторе

Емкость плоского конденсатора определяется соотношением Напряжение между пластинами конденсатора связано с его емкостью и зарядом на обкладках формулой Наконец, напряженность поля между пластинами конденсатора дается выражением Таким образом, для описания напряженности поля между пластинами конденсатора подходит первая формула (А — 1).

Энергию, запасенную в конденсаторе, можно выразить следующим образом: Следовательно, подходит последняя формула (Б — 4).

Тип 26 № 6662

В плоский воздушный конденсатор ёмкостью 16 мкФ вводят пластину с диэлектрической проницаемостью, равной 4, после чего заряжают конденсатор, подключив его к клеммам источника с напряжением 6 В. На сколько уменьшится энергия этого конденсатора, если, не отсоединяя конденсатор от источника, извлечь пластину из конденсатора? Ответ приведите в микроджоулях.

Ёмкость плоского конденсатора вычисляется по формуле: где — электрическая постоянная, — диэлектрическая проницаемость материала внутри конденсатора, S — площадь конденсатора, d — расстояние между пластинами конденсатора. Диэлектрическая проницаемость воздуха равна единице. Значит, при введении пластины с диэлектрической проницаемостью 4 ёмкость конденсатора увеличится в четыре раза, то есть станет равной 64 мкФ.

Энергия конденсатора в этом случае будет равна: Конденсатор не отключают от источника, поэтому при извлечении пластины из конденсатора напряжение на обкладках конденсатора остаётся прежним. Тогда энергия конденсатора будет равна:

1.4.1. Примеры решения задач

1.4.1.1. Задача. Конденсатор емкостью 3×10 -6 Ф был заряжен до разности потенциалов 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим конденсатором емкостью 5×10 -6 Ф. Какое количество энергии первого конденсатора израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Количество энергии DW, израсходованное на образование искры, равно разности энергий: W₁-энергии, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго, и W₂- энергии, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов, т.е.

Как известно, энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

(2)

где C-емкость конденсатора или батареи конденсаторов;

U-разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

Выразив в (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:

(3)

где C₁ и C₂-емкости первого и второго конденсаторов;

U₁ – разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;

U₂ – разность потенциалов на пластинах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

Подставив это выражение U₂ в формулу (3), получим:

После простых преобразований найдем:

Подставив числовые значения, будем иметь:

1.4.1.2. Задача. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см 2 , диэлектрик-воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью E₁, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

где σ-поверхностная плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом выражения (2) примет вид

Подставив численные значения величин в формулу (3), получим

F=5,65×10 -4 (Н)=565 (мкН).

1.4.1.3. Задача. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка (e=6) толщиной ℓ=2 мм, заряжен до напряжения U=200 В. Пренебрегая величиной зазора между пластинкой и обкладками, найти поверхностную плотность σ свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также поверхностную плотность σ' связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле.

Решение. Величину σ выразим через напряженность электрического поля E внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает напряженность в e раз, величины поверхностной плотности зарядов и напряженности связаны соотношением E=σ/e₀e, а напряженности и разности потенциалов E=U/ℓ. Следовательно, для однородного поля конденсатора справедлива формула

Чтобы определить поверхностную плотность связанных зарядов σ', воспользуемся формулой

где P_n-проекция вектора поляризации на направление положительной нормали к поверхности пластинки.

Так как вектор поляризации P параллелен вектору напряженности E поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхности, то

Выразив входящие в формулы (1) и (2) величины в единицах системы СИ, подставив эти значения и выполнив вычисление, найдем

σ=5,3×10 -6 (Кл/м 2 ); б'=4,4×10 -6 (Кл/м 2 ).

1.4.1.4. Задача. Пространство внутри плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков, расположенными параллельно его обкладкам. Толщина слоев и диэлектрическая проницаемость материалов, из которых сделаны слои, соответственно равны ℓ₁, ℓ₂, e₁, e₂. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Определить напряженности E₁, E₂ электрического поля в каждом из диэлектриков, а также напряженность E ₀ поля в зазоре между обкладками и диэлектриками.

Решение. Чтобы найти величины E₁, E₂ и E₀, выясним связь, существующую между ними и разностью потенциалов U. Для этого воспользуемся соотношением, которое связывает напряженность электрического поля и разность потенциалов

Разбив весь путь интегрирования на две части, соответствующие толщинам двух слоев диэлектриков (толщиной зазора пренебрегаем), и учитывая, что в пределах каждого слоя поле однородно, получим

Так как электрическое смещение D и в зазоре (e=1), и в обоих слоях диэлектриков имеет одно и то же значение, то на основании формулы

запишем (сокращая на e₀):

Решая совместно уравнения (1) и (2), получим:

1.4.1.5. Задача. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им введена металлическая пластина толщиной a=8 мм. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой из обкладок S=100 см 2 , а расстояние между ними ℓ=10 мм.

Решение. Емкость конденсатора найдем из определяющей формулы C=q/U, если предварительно выразим напряжение на обкладках конденсатора как функцию заряда его обкладок.

В результате явления электростатической индукции свободные заряды в металлической пластинке, введенной в конденсатор, перераспределятся так, что напряженность электрического поля внутри конденсатора станет равной нулю:

С другой стороны, индуцированные заряды распределятся по поверхностям пластинки так, что она станет подобной плоскому конденсатору, вставленному в данный конденсатор. Известно, что напряженность поля в пространстве вне плоского конденсатора равна нулю. Поэтому введение пластинки в конденсатор не изменит напряженности однородного поля вне пластинки. Пусть эта напряженность равна E.

С учетом формул (1) и (2) напряжение на обкладках конденсатора:

Подставив в формулу для определения емкости конденсатора вместо напряжения его значение по (3), получим

где ℓ-расстояние между обкладками конденсатора;

a-толщина введенной пластинки.

Выразив входящие в (4) величины в единицах СИ, выполнив вычисление, найдем

C=4,4×10 -11 (Ф)=44 (пФ).

1.4.1.6. Задача. Как изменится энергия заряженного плоского конденсатора при уменьшении расстояния между его пластинами? Рассмотреть два случая: 1) конденсатор отключен от источника напряжения; 2) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения.

Решение. 1. Если конденсатор отключен от источника напряжения, то заряд на его обкладках не будет изменяться при сближении пластин, т.е.

При сближении пластин ёмкость конденсатора, как это следует из формулы емкости плоского конденсатора, увеличивается:

где S-площадь его пластин;

ℓ-расстояние между обкладками;

e-диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор.

Энергия, пропорциональная величине ℓ,-уменьшается:

За счет убыли энергии конденсатора совершается работа сил притяжения обкладок при их сближении:

2. На обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение:

Поэтому при сближении пластин конденсатора его энергия увеличивается, т.к. она обратно пропорциональна величине ℓ:

С другой стороны, энергия конденсатора увеличится на

DW=D(CU 2 /2)=DC×U 2 /2. (3)

Сравнивая правые части равенств (2) и (3), видим, что работа, совершаемая при сближении пластин источником напряжения, в два раза больше прироста энергии конденсатора. Таким образом, теперь за счет энергии источника напряжения увеличивается энергия конденсатора DW, а также совершается работа A сил притяжения пластин. По закону сохранения энергии

Сопоставляя формулы (1) и (4), приходим к выводу: при изменении емкости заряженного конденсатора электрические силы совершают работу, равную убыли энергии конденсатора в случае постоянства заряда на его пластинах и равную приращению энергии конденсатора в случае постоянства напряжения на пластинах.

1.4.1.7. Задача. Найти силу притяжения F между пластинами плоского конденсатора, если площадь каждой пластины S, а расстояние между ними ℓ, диэлектрическая проницаемость среды между пластинами e. Рассмотреть два случая: 1) конденсатору сообщен заряд q, после чего он отключен от источника напряжения; 2) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Как зависит сила притяжения от расстояния между пластинами и диэлектрической проницаемости среды?

Решение. Для определения сил, действующих на заряженные тела, при наличии диэлектриков формула F=qE, вообще говоря, неприменима. Поэтому воспользуемся законом сохранения энергии.

1. В этом случае q=const. Пусть (представим мысленно) одна из пластин конденсатора под действием силы притяжения F совершит элементарное перемещение dℓ. При этом сила совершит работу, равную

По закону сохранения энергии эта работа равна убыли энергии конденсатора:

Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим искомую силу:

Энергию конденсатора выразим через заданные величины:

(4)

Подставив в формулу (3) значение энергии W по (4) и выполнив дифференцирование, найдем

(5)

Отрицательный знак силы показывает, что она направлена в сторону уменьшения ℓ, т.е. является силой притяжения.

Из формулы (5) видно, что сила притяжения пластин обратно пропорциональна величине e и не зависит от расстояния между пластинами.

2. Согласно условию, U=const учитывая результат, сформулированный в задаче N 4.6, вместо формул (2) и (3) для dA и F запишем соответственно:

Энергию конденсатора можно записать в виде:

Подставив это значение W в формулу (7), получим

Видим, что сила притяжения пластин пропорциональна величине e и обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.

Замечание. Попытаемся объяснить зависимость между величинами F и e, выражаемую формулой (5), предполагая, что одна из пластин конденсатора находится в электрическом поле другой пластины.

Известно, что связанные заряды, возникающие на поверхности диэлектрика в плоском конденсаторе, ослабляют поле (в e раз) лишь внутри диэлектрика. Однако каждая из пластин конденсатора расположена вне диэлектрика. Поэтому появление диэлектрика между пластинами никак не должно сказаться на электрическом поле, в котором находится каждая пластина (при условии q=const). Следовательно, и сила, действующая на каждую пластину, не зависит от наличия диэлектрика, т.е.

где q-заряд одной пластины;

E-напряженность поля другой пластины в вакууме.

Таким образом, получен результат, противоречащий выражению (5), в котором F зависит от e. Это противоречие объясняется тем, что в формулах (5) и (9) речь идет о разных силах. В формуле (9) F-электрическая сила, действующая на каждую пластину конденсатора и в самом деле не зависящая от диэлектрика, помещенного между ними. Однако на каждую пластину конденсатора при наличии жидкого или твердого диэлектрика кроме электрической силы притяжения действуют еще механические силы давления F_д со стороны диэлектрика, соприкасающегося с пластиной. Эти силы уменьшают силу притяжения пластин конденсатора. Равнодействующая всех сил, приложенных к пластине,-электрических и механических-и является той силой, которая определяется формулой (5), выведенной с помощью закона сохранения энергии.

1.4.1.8. Задача. Пластины конденсатора переменной емкости имеют форму полукруга радиуса r, расстояние между соседними подвижной и неподвижной пластинами равно ℓ. Всего имеется n промежутков между пластинами. Определить вращающий момент, действующий на пластины. Рассмотреть два случая: 1) конденсатору сообщен заряд q, после чего он отключен от источника напряжения; 2) на конденсаторе поддерживают постоянное напряжение U.

Решение. Вращающий момент, втягивающий подвижные пластины конденсатора в промежутки между неподвижными, обусловлен неоднородностями электрического поля пластин вблизи их краев. Поэтому решить задачу, рассматривая каждую пластину находящейся в электрическом поле соседних пластин, трудно. Вращающий момент можно найти с помощью закона сохранения энергии. При этом отпадает необходимость учитывать изменение электрического поля около краев пластин.

1. В этом случае q=const. Пусть (представим мысленно) подвижные пластины повернутся под действием вращающего момента M на малый угол dj. Тогда силы притяжения совершат работу

которая по закону сохранения энергии равна убыли энергии конденсатора:

Сравнивая формулы (1) и (2), получим искомый момент:

Учитывая, что каждому из n промежутков между пластинами соответствует один плоский конденсатор с площадью пластин, равной πr 2 /2, энергия конденсатора

Подставив в (3) это значение W, найдем

Видим, что в данном случае вращающий момент зависит от угла поворота пластин j: с увеличением угла (при повороте пластин) вращающий момент убывает.

Примечание. Соотношение (4) справедливо лишь для значений j, достаточно больших для того, чтобы каждый из n конденсаторов можно было считать плоским конденсатором, емкость которого определяется формулой емкости плоского конденсатора. В противном случае выражение (4) приводит к абсурду: при j® 0 M®¥.

2. По условию, U=const. Снова применим закон сохранения энергии. Поскольку конденсатор соединен с источником постоянного напряжения, вместо формул (2) и (3) (см. задачу N 4.6) получим:

где энергия конденсатора

Подставив в (5) это значение W, найдем

Отсюда, вращающий момент не зависит от угла j и целиком определяется заданными в условии величинами (при условии, если учесть примечание к (4)).

1.4.1.9. Задача. Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком (e=6) равна 2,5 Дж/м 3 . Найти давление, производимое пластинами площадью S=20 см 2 на диэлектрик, а также силу F', которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика.

Решение. Притягиваясь друг к другу с силой F, пластины конденсатора сжимают диэлектрик, заключенный между ними.

Учитывая, что сила давления F_д равномерно распределена по поверхности диэлектрика, найдем искомое давление

Как известно (см. задачу N2.1.4.7), сила притяжения пластин конденсатора (при q=const) равна взятой с обратным знаком производной от его энергии по расстоянию между пластинами:

Поскольку в единице объема конденсатора заключена энергия , равная ее объемной плотности, то полное изменение энергии dW при перемещении пластины конденсатора на расстояние dℓ равно

Из двух последних равенств получаем силу притяжения пластин:

откуда, на основании (1), находим

Отрицательный знак в формулах (2) и (3) означает, что величины F и p направлены в сторону уменьшения расстояния ℓ.

Чтобы найти силу F', необходимую для отрыва пластин от диэлектрика, снова применим энергетический метод. Рассмотрим конденсатор в тот момент, когда под действие силы F', направленной наружу, пластина, отрываясь от диэлектрика, переместится на расстояние dℓ. Работа этой силы

За счет работы этой внешней силы энергия конденсатора возрастет на величину dW. По закону сохранения энергии

Из формул (4) и (5) имеем

Теперь прирост энергии конденсатора, связанный с увеличением его объема, равен

где w_o-объемная плотность энергии поля в зазоре, появившемся при

dℓ – смещении пластины.

Из двух последних равенств найдем

Чтобы найти величину w₀, воспользуемся соотношением

Так как индукция D и в зазоре (e=1), и в диэлектрике имеет одно и тоже значение, то w₀=ew и согласно (6), получим

1.4.1.10. Задача. Как изменится емкость плоского конденсатора, если между его обкладками поместить стеклянную пластину (e=6), толщина которой равна половине расстояния между обкладками.

Решение. Если между стеклом и воздухом посередине конденсатора поместить весьма тонкий слой проводника, это не изменит напряженности электрического поля ни в стекле, ни в воздухе (см. N 4.5). Из формулы

следует, что при этом не изменится и разность потенциалов между обкладками конденсатора, а значит, и его электроемкость. Данный конденсатор можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Пусть емкость конденсатора до введения стеклянной пластины была равна C₀. Тогда согласно формуле плоского конденсатора

емкости конденсаторов 1 и 2 после введения пластины равны 2C₀ и 2eC₀ соответственно. Емкость последовательно соединенных конденсаторов 1 и 2 будет:

Произведя вычисление, получим

Следовательно, емкость конденсатора после введения в него пластины из диэлектрика увеличится в 1,7 раза.

Читайте также: