Металлический шар радиусом r находится в однородном поле e0 точки а и b

Обновлено: 08.07.2024

А24-1. Две частицы, имеющие отношение зарядов q₁/q₂ = 2, и отношение масс m₁/m₂ = 1, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и движутся по окружностям. Определите отношение периодов обращения этих частиц T₁/T₂.

А24-1. Две частицы, имеющие отношение зарядов q₁/q₂ = 2, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям. Определите отношение масс m₁/m₂ этих частиц, если отношение периодов обращения этих частиц T₁/T₂ = 0,5.

С1-1. Рамку с постоянным током удерживают неподвижно в поле полосового магнита (см. рисунок). Полярность подключения источника тока к выводам рамки показана на рисунке. Как будет двигаться рамка на неподвижной оси MО, если рамку не удерживать? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности вы использовали для объяснения. Считать, что рамка испытывает небольшое сопротивление движению со стороны воздуха.

С1-2. Маленькая замкнутая рамка из медного провода падает из состояния покоя (см. рисунок 1), попадая по пути в зазор между полюсами постоянного магнита. Когда рамка входит в зазор и выходит из него, в ней возникает электрический ток. В каком из случаев (изображенных на рисунках 2 и 3) модуль силы тока в рамке имеет большее значение? Ответ поясните, указав, какие физические явления и закономерности вы использовали для объяснения.

С1-3. Мягкая пружина из нескольких крупных витков провода подвешена к потолку. Верхний конец пружины подключается к источнику тока через ключ К, а нижний — с помощью достаточно длинного мягкого провода (см. рисунок). Как изменится длина пружины через достаточно большое время после замыкании ключа К? Ответ поясните, указав, какие физические явления и закономерности вы использовали для объяснения. Эффектами, связанными с нагреванием провода, пренебречь.

С5-4. Металлический стержень длиной l = 0,1 м и массой m = 10 г, подвешенный на двух параллельных проводящих нитях длиной L = 1 м, располагается горизонтально в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл, как показано на рисунке. Вектор магнитной индукции направлен вертикально. Какую максимальную скорость приобретёт стержень, если по нему пропустить ток силой 10 А в течение 0,1 с? Угол φ отклонения нитей от вертикали за время протекания тока мал.

С5-5. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 4 · 10 -4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля и движется по окружности радиуса R = 10 мм. Вычислите скорость электрона.

С5-6. В однородном магнитном поле с индукцией 1,67 · 10 5 Тл протон движется перпендикулярно вектору В индукции со скоростью 8 км/с. Определите радиус траектории протона.

С5-7. По прямому горизонтальному проводнику длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1,25 • 10 -5 м 2 , подвешенному с помощью двух одинаковых невесомых пружинок жесткостью 100 Н/м, течет ток I = 10 А (см. рисунок). Какой угол а составляют оси пружинок с вертикалью при включении вертикального магнитного поля с индукцией В = 0,1 Тл, если абсолютное удлинение каждой из пружинок при этом составляет 7 • 10 -3 м? (Плотность материала проводника — 8 • 10 3 кг/м 3 .)

С5-8. Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения поступательно движется с ускорением вверх по гладкой наклонной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле (см. рисунок). По стержню протекает ток I. Угол наклона плоскости α = 30°. Отношение массы стержня к его длине m/L = 0,1 кг/м. Модуль индукции магнитного поля В = 0,2 Тл. Ускорение стержня a = 1,9 м/с 2 . Чему равна сила тока в стержне?

С5-9. Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения поступательно движется с ускорением вверх по гладкой наклонной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле (см. рисунок). По стержню протекает ток I = 4А. Угол наклона плоскости α = 30°. Отношение массы стержня к его длине m/L = 0,1 кг/м. Модуль индукции магнитного поля В = 0,2 Тл. Чему равно ускорение стержня?

С5-10. На проводящих рельсах, проложенных по наклонной плоскости, в однородном вертикальном магнитном поле B находится горизонтальный прямой проводник прямоугольного сечения массой m = 20 г. Плоскость наклонена к горизонту под углом α = 30°. Расстояние между рельсами L = 40 см. Когда рельсы подключены к источнику напряжения, по проводнику протекает постоянный ток I = 11 A. При этом проводник поступательно движется вверх по рельсам равномерно и прямолинейно. Коэффициент трения между проводником и рельсами μ = 0,2. Чему равен модуль индукции магнитного поля В?

С5-11. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит проводящая жёсткая рамка из однородной тонкой проволоки, согнутой в виде равностороннего треугольника ADС со стороной, равной a (см. рисунок). Рамка, по которой течет ток I, находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции которого B перпендикулярен стороне CD. Каким должен быть модуль индукции магнитного поля, чтобы рамка начала поворачиваться вокруг стороны CD, если масса рамки m?

На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата AСDЕ со стороной a (см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции B которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю В. По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнет поворачиваться вокруг стороны CD?

С5-12. Ион, заряд которого равен элементарному заряду, движется в однородном магнитном поле так, что его скорость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус дуги, по которой движется ион, равен 10 –3 м. Импульс иона равен 2,4•10 –23 кг•м/с. Какова индукция магнитного поля? Полученный ответ округлите до сотых.

С5-13. Ион, заряд которого равен элементарному заряду, движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,15 Тл. Импульс движущегося иона равен 2,4•10 -23 кг м/с и перпендикулярен вектору . Каков радиус дуги, по которой движется ион? Ответ выразите в мм

С5-14. Две частицы, имеющие отношение зарядов q₁/q₂ = 2 и отношение масс m₁/m₂ = 4, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям с отношением радиусов R₁/R₂ = 2. Определите отношение кинетических энергий W₁/W₂ этих частиц.

С5-15. Две частицы, имеющие отношение зарядов q₁/q₂ = ¼ и отношение масс m₁/m₂ = 2, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям. Определите отношение радиусов траекторий R₁/R₂ частиц, если отношение их скоростей v₁/v₂ = 2.

С5-16. Протон с импульсом р = 1,6•10 –21 кг•м/с движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом 1 см. Найдите индукцию магнитного поля В.

С5-17. Протон с импульсом р = 1,6•10 –21 кг•м/с движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Найдите радиус окружности. Ответ выразите в сантиметрах.

С5-18. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл по окружности радиуса 1 см. Найдите импульс протона. Ответ умножьте на 10 21 .

С5-20. Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U = 10 кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции B (см. рисунок). Радиус траектории движения иона в магнитном поле R = 0,2 м, отношение массы иона к его электрическому заряду m/q = 5•10 –7 кг/Кл. Определите значение модуля индукции магнитного поля. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.

С5-21. Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U = 10 кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции B (см. рисунок). Радиус траектории движения иона в магнитном поле R = 0,2 м, модуль индукции магнитного поля равен 0,5 Тл. Определите отношение массы иона к его электрическому заряду m/q. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.

С5-22. В однородном магнитном поле с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик массой m , подвешенный на нити длиной l (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен α, скорость движения шарика равна v . Найдите заряд шарика q.

С5-23. В однородном магнитном поле с индукцией В, направленной вертикально вниз, равномерно вращается в горизонтальной плоскости против часовой стрелки шарик, имеющий положительный заряд q. Шарик подвешен на нити длиной l (конический маятник). Угол отклонения нити от вертикали равен α, скорость движения шарика равна v. Найдите массу шарика m .

С5-24. Пучок ионов попадает в камеру масс-спектрометра через отверстие в точке А со скоростью v = 3•10 4 м/с, направленной перпендикулярно стенке АС. В камере создается однородное магнитное поле, линии вектора индукции которого перпендикулярны вектору скорости ионов. Двигаясь в этом поле, ионы попадают на мишень, расположенную в точке С на расстоянии 18 см от точки А (см. рисунок). Чему равна индукция магнитного поля В, если отношение массы иона к его заряду m/q = 6•10 -7 кг/Кл?

Металлический шар радиусом r находится в однородном поле e0 точки а и b

В рамках курса "Электричество и магнетизм" диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.

В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.

Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.

Первое уравнение Максвелла в форме \begin\label \text \vec=4\pi(\rho+\rho_) \end указывает на связь макроскопического поля с плотностью как сторонних ($\rho$), так и связанных ($\rho_$) зарядов. Поскольку последняя a priori не известна, вводится вспомогательная векторная величина $\vec$, называемая электрической индукцией, для которой выполняется соотношение \begin\label \text \vec=4\pi\rho, \end т. е. $\text \vec$ не зависит от плотности связанных зарядов.

Из уравнения \eqref следует граничное условие на нормальные компоненты $\vec$: \begin\label D_-D_=4\pi\sigma, \end где $\sigma$ – поверхностная плотность сторонних зарядов.

Оказывается, в изотропных диэлектриках векторы $\vec$ и $\vec$ связаны простым соотношением: $$ \vec=\varepsilon \vec, $$ где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды.

Из второго уравнения Максвелла $$ \text\vec=0 $$ следует граничное условие на тангенциальные компоненты $\vec$: \begin\label E_-E_=0. \end

Обычно общий вид поля в среде удается угадать, а граничные условия \eqref и \eqref позволяют найти неопределенные коэффициенты. Если одно из граничных условий оказывается неинформативным, то можно попытаться получить недостающую информацию из теоремы Гаусса, записанной для вектора $\vec$: $$ \oint (\vec\cdot d\vec)=4\pi Q, $$ где $Q$ – полный сторонний заряд внутри области, ограниченной поверхностью $S$. Область $S$ при этом требуется выбрать подходящим образом.

После того, как найдено поле в среде, можно определить удельный дипольный момент на единицу объема (поляризацию) по формуле $$ \vec=\frac<4\pi>\vec. $$

Зная поляризацию, можно непосредственно определить плотность связанных зарядов на границе раздела со стороны данного диэлектрика как $$ \sigma_=P_n=\frac<4\pi>E_n, $$ где $P_n$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к границе раздела.
Если граница разделяет диэлектрики с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, то полная плотность связанных зарядов равна $$ \sigma_=P_+P_ =\frac<4\pi >E_ -\frac<4\pi >E_. $$ (знак ''-'' перед вторым слагаемым поставлен с учетом того, что направление внешней нормали с другой стороны от границы раздела меняется на противоположное, в то время как $E_$ и $E_$ здесь и чаще всего на практике определяются как проекции на одно направление).

Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.

Металлический шар радиусом r находится в однородном поле e0 точки а и b

Поле точечного заряда (закон Кулона) $$ \vec(\vec) =q\frac<\vec-\vec_q><|\vec-\vec_q|^3>, $$ где $q$ – заряд,
$\vec_q$ – радиус-вектор точки, в которой находится заряд,
$\vec$ – радиус-вектор точки, в которой вычисляется поле (точки наблюдения).
Если ввести обозначение $\vec=\vec-\vec_q$, то закон Кулона принимает вид $$ \vec(\vec) =\frac\vec_R. $$ Потенциал поля точечного заряда $$ \varphi(\vec) =\frac+\rm. $$ Если система включает в себя несколько точечных зарядов, то поле в точке $\vec$ равно $$ \vec(\vec)=\sum_i \vec_i(\vec)=\sum_i \frac\vec_\; (принцип\; суперпозиции), $$ где $R_i=|\vec-\vec_|$.
В случае распределенной плотности заряда заряженную область можно мысленно разбить на малые части, так что каждая малая часть будет рассматриваться как точечный заряд. Тогда, в соответствии с принципом суперпозиции, потенциал в точке $\vec$ равен \begin\label \varphi(\vec)=\int\limits_V \frac<\rho(\vec')dV'><\left|\vec-\vec'\right|>+ \int\limits_S \frac<\sigma(\vec')dS'><\left|\vec-\vec'\right|>+ \int\limits_ \frac<\varkappa(\vec')d\ell'><\left|\vec-\vec'\right|>, \end где слагаемые отвечают зарядам, распределенным по объему, поверхности и линии соответственно. В формуле \eqref предполагается, что потенциал на бесконечности можно положить равным нулю. Если это не так (например, в случае равномерно заряженной прямой), то формула \eqref неприменима, поскольку интеграл расходится. В этом случае потенциал рассчитывается решением уравнения Пуассона или интегрированием напряженности $\vec(\vec)$, которую можно найти каким-нибудь методом.

Пусть область $V$, ограниченная замкнутой поверхностью $S$, содержит полный заряд $Q$. Тогда поток поля $\vec$ через поверхность $S$ описывается формулой, выражающей теорему Гаусса: \begin\label \oiint\limits_S (\vec\cdot d\vec)=4\pi Q, \end где $d\vec$ – вектор, модуль которого равен площади элемента поверхности $dS$, а направление совпадает с направлением внешней нормали. Отметим, что заряд $Q$ предполагается распределенным внутри поверхности $S$. Если сама граница $S$ содержит поверхностный заряд и этот заряд включен в $Q$, то в качестве поверхности, через которую рассчитывается поток, следует выбрать такую, которая охватывает область $V$ вместе с $S$.

Если система обладает определенной симметрией, то в ряде случаев входящий в \eqref интеграл переходит в произведение поля $E_S$ в точках границы на площадь части поверхности $S$, откуда можно найти значение поля на границе области $V$.
Теорема Гаусса позволяет в случае симметричных заряженных систем легко, т. е. минуя интегрирование, находить величину поля в произвольной точке $\vec$. Для этого нужно в качестве области $V$ выбрать подходящую пространственную фигуру. В случае сферической симметрии удобно выбрать шар с центром в центре симметрии, в случае аксиальной симметрии – цилиндр с осью на оси симметрии. Если система симметрична относительно плоскости, то в качестве $V$ удобно выбрать цилиндр, высота которого перпендикулярна этой плоскости и делится ею пополам. Конкретные примеры разобраны в решении типовой задачи Р9(а-в) из задачника [1].

Решение задач по определению потенциала, работы электрических сил

1 Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоянии r=10м от его поверхности потенциал электрического поля Решение:
Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равною заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал в точке, находящейся на расстоянии R + r от центра шара, φ_r = kq/(R + r); отсюда q = (R + r) φ_r /k. Потенциал на поверхности шара

2 N одинаковых шарообразных капелек ртути одноименно заряжены до одного и того же потенциала φ . Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Решение:
Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и r . Тогда ее потенциал φ = kq / r. Заряд большой капли Q = Nq, и если ее радиус равен R , то ее потенциал Ф = kQ/R = kN q /R = N φ r / R. Объемы маленькой и большой капель связаны между собой соотношением V=Nυ . Следовательно,

3 В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей положительный заряд Q=10нКл, находится маленький шарик с положительным или отрицательным зарядом |q| = 20 нКл. Найти потенциал φ электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=10R от центра сферы.
Решение:
В результате электростатической индукции на внешней и внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противоположные по знаку заряды (см. задачу 25 и рис. 332). Вне сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние r , . Полный потенциал φ =27В; при q =-20нКл φ =-9В.

4 До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе (диэлектрическая проницаемость ε =1) металлический шар радиуса R = 3 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, Е=3 МВ/м?

Решение:
Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверхности шара:
Потенциал шара φ = ER =90 В.

5 Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии r = 25 см, взаимодействуют с силой F=1 мкН. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры D = 1 см?

Решение:
Из закона Кулона определяем заряды шариков: В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает потенциал

6 В вершинах квадрата расположены точечные заряды (в нКл): q₁ = +1, q₂ = -2, q₃= +3, q₄ = -4 (рис. 71). Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.

Решение:
Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:
Напряженность поля в центре квадрата является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке:
Модули этих напряженностей
Удобно сначала сложить попарно векторы, направленные по одной диагонали в противоположные стороны (рис. 339): E₁ + E ₃ и E ₂ + E ₄ . При данных зарядах сумма E ₁ + E ₃ по модулю равна сумме Е ₂ + Е ₄ . Поэтому результирующая напряженность Е направлена по биссектрисе угла между диагоналями и составляет с этими диагоналями углы α =45°. Ее модуль E =2545 В/м.

7 Найти потенциалы и напряженности электрического поля в точках а и b, находящихся от точечного заряда q=167нКл на расстояниях r_а = 5 см и r _b = 20 см, а также работу электрических сил при перемещении точечного заряда q _o = 1 нКл из точки а в точку b.

Решение:
Напряженности электрического поля в точках а и b
Потенциалы в этих точках
Работа электрических сил при перемещении заряда q0 из точки а в точку b

8 Точечный положительный заряд q создает в точках а и b (рис. 72) поля с напряженностями Е_a и Е_b. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q_o из точки а в точку b.

Решение:
Напряженности электрического поля в точках а и b равны
где отсюда работа, необходимая для перемещения заряда q _o из точки а в точку b ,

9 В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц выражают в электрон-вольтах. Электрон-вольт (эВ) — это такая энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электрическом поле путь между точками, разность потенциалов между которыми равна 1 В. Выразить электрон-вольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?

Решение:
При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В электрические силы совершают над электроном работу
Эта работа равна кинетической энергии, приобретенной электроном, т.е.
Поскольку

10 Электрон летит от точки а к точке b, разность потенциалов между которыми V= 100 В. Какую скорость приобретает электрон в точке b, если в точке а его скорость была равна нулю?

Решение:
Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии электрона:

1 1 Какую работу необходимо совершить при переносе точечного заряда q_o=30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=10 см от поверхности заряженного металлического шара? Потенциал на поверхности шара φ = 200 В, радиус шара R = 2 см.

Решение:
Потенциал на поверхности шара φ = kq/R; отсюда его заряд q = φ R/k. Потенциал на расстоянии R + r от центра шара
При переносе заряда q _o из точки с потенциалом мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q _o из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r от поверхности шара.

1 2 При переносе точечного заряда q _o =10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности заряженного металлического шара, необходимо совершить работу А =0,5 мкДж. Радиус шара R=4 см. Найти потенциал φ на поверхности шара.

Решение:

1 3 Два одинаковых заряда q _o =q=50 мкКл находятся на расстоянии r _a =1 м друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r _b =0,5 м?

Решение:

1 4 Два заряда q _a =2 мкКл и q _b =5 мкКл расположены на расстоянии r=40 см друг от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль прямой cd, проходящей параллельно прямой ab на расстоянии d=30см от нее, перемещается заряд q _o =100мкКл. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q _o из точки с в точку d, если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.

Решение:

1 5 Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q _o из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд q ₁ , а на втором — заряд q ₂ .

Решение:

Найдем потенциал, создаваемый зарядом q , находящимся на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии
х от его центра (рис. 340, а) и, следовательно, на расстояниях , находящийся на каждом отрезке (i — номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего кольца q; поэтому
Потенциал Ф ₁ поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом q ₁ , находящимся на первом кольце, для которого х=0, и потенциала, создаваемого зарядом q ₂ , находящимся на втором кольце, для которого x=d (рис. 340, б). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:
Окончательно для работы имеем

1 6 На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость υ, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q _o , чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?

Решение:
Если заряды q _o и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю в бесконечности:

1 7 На шарик радиуса R=2 см помещен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?

Решение:

1 8 Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.

Решение:
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е= V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F=qE=qV / d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае — электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим

1 9 Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу m , получает начальную скорость v, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?

Решение:
Согласно закону сохранения энергии
где qV—работа электрических сил, V=kq/H—kq/h — разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратное уравнение:
Решая его, найдем
(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).

20 Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика направлена вверх.

Решение:

2 1 Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке b, увеличил свою скорость с ν_a =1000 км/с до ν_ab = 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.

Решение:
Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет на увеличение кинетической энергии электрона:
откуда
где γ — удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.

2 2 В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью ν = 20 000 000 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=5 см, разность потенциалов между пластинами v=200 В.

Решение:
За время пролета t = l/v электрон смещается в направлении действия силы на расстояние
где γ — удельный заряд электрона.

2 3 Положительно заряженная пылинка массы 1 =6000 В. Расстояние между пластинами d=5см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q _o =1000 e?

Решение:
На пылинку действуют сила тяжести mg и сила —начальный заряд пылинки и E ₁ = V ₁ /d—напряженность электрического поля в конденсаторе.
Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F, или .
Так как уменьшение заряда пылинки на q _o = 1000 e равносильно увеличению положительного заряда на q _o , то новый заряд пылинки q ₂ = q ₁ + q _o . При равновесии Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V ₂ — V ₁ = — 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).

2 4 Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.

Решение:
Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положительно. Новый заряд пылинки q ₂ = q _1- q _o , где q _o = 1000 e.
Поэтому (см. задачу 23 )
Напряжение между пластинами нужно увеличить на V ₂ — V ₁ = 1460 В.

2 5 В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q=1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V =500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см. Плотность масла Решение:
При равновесии

2 6 Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины l=1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и — q(|q|=1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=10см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180° по отношению к тому положению, которое она занимает на рис. 74?

Решение:
Напряженность электрического поля в конденсаторе E=V/d.
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,
где —потенциал в точке расположения заряда — q; при этом Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.

2 7 Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины l=3 см, на концах которого имеются два точечных заряда + q и —q (|q|=8нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.

Решение:

2 8 На концах диэлектрической палочки длины l=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды — q и +q (|q|=10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d=10cм (рис.75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.

Решение:

2 9 Металлический шарик 1 радиуса R ₁ =1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса R ₂ =2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы m = 4мг. До какого потенциала j был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?

Решение:
Если до замыкания шарик 2 имел заряд 0, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q ₁ +q ₂ = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы: После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой

Начальный потенциал шарика 2

Читайте также: