На расстоянии r от центра изолированной металлической

Обновлено: 04.10.2024

23. Точечный неподвижный заряд Q создаёт электростатическое поле. Заряд q перемещается в этом поле по траектории, представляющей собой квадрат со стороной а. Чему равна работа сил поля Q по перемещению заряда q?

24. Потенциал заряженной проводящей сферы при увеличении ее радиуса вдвое и увеличении поверхностной плотности заряда на сфере вдвое

1) возрастает в 4 раза2) возрастает в 8 раз

3) не изменяется 4) уменьшается в 2 раза

5) уменьшается в 4 раза

25. Потенциал точек поверхности заряженного металлического шара радиусом 10 см равен 100 В. Потенциал электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 20 см от центра шара, равен

1) 50 В 2) 100 В 3) 200 В 4) 25 В 5) 250 В

26. Если потенциал электрического поля на поверхности металлической заряженной сферы радиусом 20 см равен 4 В, то потенциал электрического поля на расстоянии 10 см от центра сферы равен

1) 8 B 2) 4 B 3) 2 В 4) 1 B 5) 0 В

27. Металлические шары, радиусы которых равны R и 2R, равномерно заряжены электричеством с одинаковой поверхностной плотностью заряда s. Отношение потенциала меньшего шара к потенциалу большего шара равно

1) 1 2) 1/2 3) 2 4) 4 5) 1/4

28. После соединения тонким проводом двух заряженных проводящих шаров, радиусы которых 20 см и 30 см, а потенциалы соответственно 100 В и 150 В, потенциалы шаров j1 и j2 окажутся равными

29. Если напряженность однородного электрического поля Е = 200 В/м, то разность потенциалов между точками А и В jА - jВ равна (АВ = 5 м, ВС = 4 м, АС = 3 м)

30. Если два металлических шарика одинакового радиуса, находящихся на большом расстоянии друг от друга и заряженных соответственно до потенциалов j1 и j2, соединить тонким проводом, то общий потенциал на шариках будет равен

1) 1 + j2 3) 5)

31. На рисунке дана зависимость потенциала электростатического поля от координаты. Напряжённость поля равна нулю на участках

1) 1-2 и 4-5 2) 2-3 и 3-4 3) 2-3 4) 3-4 5) напряжённость везде отлична от нуля

32. Если металлический шар радиуса R1, заряженный до потенциала j1 соединить тонкой проволокой с незаряженным металлическим шаром радиуса R2, то общий потенциал соединения j окажется равным

33. Если пылинка массы m, имеющая заряд q, находится в равновесии между двумя параллельными горизонтальными разноименно заряженными пластинами, расстояние между которыми d и разность потенциалов U, то заряд пылинки равен

34. Металлический шар с радиусом R1, заряженный до потенциала 2. Чему станет равен потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой?

Конденсаторы.

35. Как изменится ёмкость плоского конденсатора при уменьшении расстояния между пластинами в 2 раза и введении между пластинами диэлектрика с e=4?

1) увеличится в 8 раз 2) увеличится в 2 раза

3)не изменится 4)уменьшится в 2 раза

5) уменьшится в 8 раз

36. Плоский конденсатор зарядили от источника и отключили от него, а затем заполнили диэлектриком с e=2 и увеличили расстояние между обкладками конденсатора вдвое. Как изменится разность потенциалов на конденсаторе?

1) не изменится 2) увеличится в 2 раза

3) уменьшится в 2 раза 4) увеличится в 4 раза

5) уменьшится в 4 раза

37. Общая емкость батареи из шести одинаковых конденсаторов, емкость каждого равна С, соединенных как показано на схеме, равна

1) 3 С 2) С 5)

38. Емкость батареи из трех одинаковых конденсаторов емкостью С каждый, соединенных как показано на схеме, равна

39. 0тношение зарядов на конденсаторах емкостями 4 С и С в

изображенной на схеме цепи равно

40. Если плоский воздушный конденсатор, пластины которого вертикальны, погрузить до половины в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 5, то емкость конденсатора

1) возрастет в 5 раз2) возрастет в 2,5 раза

3) возрастет в 2 раза 4) возрастет в 3 раза

5) уменьшится в 2,5 раза

41. Если к заряженному изолированному конденсатору, энергия электрического поля которого равна W, подключить параллельно второй такой же, но незаряженный конденсатор, то общая энергия электрического поля батарей конденсаторов будет равна

1) 4 W 2) 2 W 3) W 4) W 5) W

42. Энергия заряженного и отключенного от источника напряжения плоского воздушного конденсатора при уменьшении расстояния между его пластинами вдвое и заполнении пространства между пластинами диэлектриком с e = 2

1) уменьшится в 4 раза 2) уменьшится в 2 раза

3) не изменится 4) увеличится в 2 раза

5) увеличится в 4 раза

43. Плоский конденсатор зарядили от источника и, не отключая от него, заполнили диэлектриком с e=2 и уменьшили расстояние между обкладками конденсатора вдвое. Как изменится энергия конденсатора?

44. Энергия плоского воздушного заряженного конденсатора, отключенного от источника тока, равна W. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами такого конденсатора в k раз?

1) W 5) 0

Задачи повышенной сложности из тестов физика –1.

45. Протон и a-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в заряженный плоский конденсатор параллельно пластинам. Как соотносятся между собой отклонения от первоначального направления протона (hр) и a-частицы (ha)?

1) hр =4 ha 2) hр=2 ha 3) hр= ha 4) ha =2hр 5) ha =4hр

47. Какую работу необходимо совершить, чтобы три одинаковых точечных положительных заряда q, находящихся в вакууме вдоль одной прямой на расстоянии а друг от друга, расположить в вершинах равностороннего треугольника со стороной а/2?

48. Тонкое закрепленное кольцо радиуса R равномерно заряжено так, что на единицу длины кольца приходится заряд +g. В вакууме на оси кольца на расстоянии l от его центра помещен маленький шарик, имеющий заряд +q. Если шарик освободить, то в процессе движения он приобретет максимальную кинетическую энергию, равную

49. Пусть m и e –масса и величина заряда электрона. Если в вакууме из бесконечности вдоль одной прямой навстречу друг другу со скоростями V и 3V движутся два электрона, то минимальное расстояние, на которое они могут сблизиться, без учета гравитационного взаимодействия, равно

50. По тонкому проволочному кольцу радиуса 3 см равномерно распределен заряд 10 -9 Кл. Определите разность потенциалов между центром кольца и точкой, находящейся на оси кольца на расстоянии 4 см от центра. 1)10В 2)75В 3)120В 4)180В 5)220В

51. Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд +q. Если на расстоянии 2R от центра шара поместить точечный отрицательный заряд –2q, то потенциал в центре шара

1) уменьшится в 2 раза 2) не изменится

3) станет равен 0 4) увеличится в 3 раза

5) изменит знак на противоположный.

52. Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны R и 2R, на расстоянии R/2 от центра находится точечный положительный заряд q. Потенциал в центре сферы равен

53. Частица массы m, имеющая заряд q, движется в вакууме вдоль оси закрепленного тонкого кольца радиуса R перпендикулярно его плоскости. Кольцо равномерно заряжено зарядом, равным по модулю и знаку заряду частицы. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на очень большом расстоянии от кольца, чтобы, двигаясь к кольцу, достичь его центра?

Единицы измерения.

54. Единица размерности физической величины, которую в системе СИ можно представить как

1) Кулон 2) Ампер 3) Ньютон 4) Фарада 5) Ом

55. Физическая величина, размерность которой можно представить как Дж/Кл, является

1) электроемкостью 2) разностью потенциалов

3) напряженностью поля 4) электрическим зарядом

5) диэлектрической проницаемостью

56. Физическая величина, размерность которой можно представить как Кл/В, является

1) электроемкостью 2) напряженностью поля

3) электрической постоянной 4) диэлектрической проницаемостью

5) работой перемещения заряда в электрическом поле

Ф в системе СИ может быть выражена следующим образом

58. Размерность потенциала электрического поля в системе СИ 1 В может быть выражена следующим образом

Ответ: четыреххлористый углерод испарится в 25 раз быстрее.

Для кипения однородной жидкости необходимо, чтобы давление насыщенного пара в пузырьках, образующихся по всему объему жидкости, было равно внешнему атмосферному (пренебрегая Лапласовым давлением, обусловленным поверхностным натяжением). При пограничном кипении в пузырьках на границе воды и ССl4 содержится смесь паров. Причем сумма парциальных давлений равна атмосферному давлению

где Pатм = 760мм.рт.ст., РВ = 192 мм.рт.ст. Отсюда РХлУ = 568 мм.рт.ст. Во время кипения пузырьки поднимаются вверх, доходят до поверхности и лопаются. Следовательно, отношение масс mB и mХлУ образовавшихся за некоторое время паров равно отношению плотностей газов в пузырьке

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Таким образом, четыреххлористый углерод испарится в 25 раз быстрее.

17. В цилиндрическом сосуде под поршнем вначале находится ν = 1 моль водяного пара при температуре Т и давлении Р. Давление насыщенного пара воды при этой температуре равно 2Р. Поршень вдвигают ток, что первоначальный объем под поршнем уменьшается в четыре раза. Найти массу сконденсировавшейся воды, если температура остается неизменной. Молярная масса воды μ = 18 г/моль. (Меледин, 2.41)

Ответ: m = 9г.

Решение

При изменении объема от V до ½ V пар сжимается, но не конденсируется. Далее происходит конденсация. Причем давление насыщенного пара при дальнейшем уменьшении объема от ½ V до ¼ V остается постоянным и равным 2Р. Поэтому количество сконденсировавшегося пара будет равным

18. В цилиндре объемом 10 л, закрытом поршнем и помещенном в термостате с температурой 40 о С, находится по 0.05 моль двух веществ. Определить массу жидкости в цилиндре после изотермического сжатия, вследствие которого объем под поршнем уменьшается в 3 раза. При температуре 40 о С давление насыщенных паров первой жидкости Рн1 = 7 кПа; давление насыщенных паров второй жидкости при той же температуре Рн2 = 17 кПа. Нарисовать изотерму сжатия. Молярные массы жидкостей равны μ1 = 18 г/моль, μ2 = 46 г/моль. (XIII Всесоюзная олимпиада, 1979 г.)

Ответ: m ≈ 2.03 г.

Определим состояние веществ перед сжатием. Если оба вещества находятся в газообразном состоянии, то их давления равны

где ν = ν1 = ν2 = 0.05 моль, Т = 313 К, Vo = 10 -2 м3 . Таким образом, Р1 > Рн1 и Р2 < Рн2. Следовательно, второе вещество находится в газообразном состоянии и его парциальное давление вначале равно Р2; первое же вещество частично сконденсировано и его парциальное давление равно Рн1. Давление же в сосуде вначале равно

При сжатии газов давление первого газа будет оставаться неизменным и равным Рн1. давление же второго газа при изотермическом сжатии будет расти до тех пор, пока не станет равным Рн2. Это произойдет при объеме сосуда V1, удовлетворяющем уравнению Менделеева-Клайперона:

Следовательно, давление в сосуде изотермически увеличивается при уменьшении объема сосуда до 7.6 л. В дальнейшем давление в сосуде остается постоянным, равным

График зависимости Р(V) приведен на рисунке. Найдем массу жидкости, в конечном состоянии V2 = Vo/3.

Так как объемы жидкостей малы по сравнению с объемами газов, то числа молей веществ, находящихся в газообразном состоянии, равны соответственно ν1к = Рн1V2/(RT) = 0.009 моль, ν2к = Рн2V2/(RT) = 0.022 моль. Следовательно, в жидком состоянии находится ν1 - ν1к = 0.041 моль первого вещества и ν2 – ν2к = 0.028 моль второго вещества. Поэтому масса жидкости в сосуде равна

VI. Электростатика.

Точечные заряды.

1. Внутри тонкой металлической сферы радиуса R находится металлический шар радиуса r = 0.5 R
(центры шаров совпадают). Через маленькое отверстие в сфере проходит длинный провод , с помощью которого шар заземлен . На сферу помещают заряд Q . Определить потенциал сферы .

Ответ: j = k Q / R (1 – r / R) .

Решение.

Если бы шар не был заземлен, то потенциалы сферы и шара были бы одинаковы

( внутри сферы поле отсутствовало бы). Вследствие заземления шар получит от Земли такой заряд q , что его потенциал обратится в нуль :

kq / r + kQ / R = 0,

Тогда, согласно принципу суперпозиции

j = k (Q + q ) / R = k Q / R ( 1 – r / R ) .

2. Металлический шар радиуса r , заряженный до потенциала j1 , окружают концентрической с ним тонкой проводящей сферической оболочкой радиуса R . Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой? Если соединить оболочку с землей?




Заряд Q шара можно определить из соотношения

после соединения шар и оболочка образуют единый проводник, все точки которого имеют одинаковый потенциал j2 . Поскольку весь заряд перейдет на внешнюю поверхность этого проводника (иначе между шаром и сферой будет существовать разность потенциалов) ,

j2 = j1 r / R . (потенциал шара уменьшится)

Если оболочку заземлить (не соединяя ее с шаром), то она получит от Земли такой отрицательный заряд q , что ее потенциал

k Q / R + k q / R = 0

Значит , q = - Q (при этом система в целом электрически нейтральна и не создает поля снаружи). Поле заряда q обеспечивает оболочке (и шару ) потенциал

k q / R = - k Q / R.

Согласно принципу суперпозиции потенциал шара

j3 = k Q / r - k Q / R = j1 ( 1 – r / R )

К ответу на последний вопрос можно подойти и иначе. До заземления оболочка имела потенциал

Заряд, пришедший на оболочку, уменьшает ее потенциал до нуля, но не изменяет поля внутри сферы, а значит, разности потенциалов между шаром и оболочкой. Поэтому

3. Три одинаковых проводящих шара расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого велики по сравнению с радиусами шаров, L >> r (см. рис.). Вначале заряд имеется лишь на шаре 1. затем шары 1 и 2 соединяют проводником, после чего проводник убирают. Потом такую же процедуру совершают с шарами 2 и 3 , а затем с шарами 3 и 1. Какой заряд после этого окажется на каждом шаре. (Меледин, 3.10)

После соединения шаров 1 и 2 заряды на них одинаковы и равны ½ q. После соединения шаров 2 и 3 заряды на них одинаковы и равны ¼ q. Если пренебречь влиянием заряда шара 2 на заряд шаров 1 и 3 , то после соединения шаров 1 и 3 заряды на них

и искомое отношение таково:

4. Разноименные точечные заряды q и -q находятся на расстояниях L1 и L2 от заземленной сферы малого радиуса r (см. рис.). Расстояние от зарядов до поверхности земли и других заземленных предметов много больше L1 и L2 . Найти силу, с которой заряды действуют на сферу. Угол с вершиной в центре сферы, образованный прямыми, проведенными через заряды, равен 90 о . (Меледин, 3.11)

Потенциал заземленной сферы равен нулю, в частности он равен нулю в центре сферы, там он равен сумме потенциалов полей зарядов q и -q и индуцированного заряда Q сферы:

Заряды 1 и 2 действуют на сферу с силами

Суммарная сила, действующая на сферу,

Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m. (Слободецкий, 101)

Ответ: Q ≥ 2mgd 2 /q.

Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, т.е.

Однако нам нужно проверить, будет ли равновесие шарика устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия. Равновесие устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:

kQqsinα/d 2 ≥ mgsin2α.

(Сила N реакции перпендикулярна к поверхности сферы.) Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sinα ≈ α. Тогда условием устойчивого равновесия будет неравенство

Три одинаковых положительных точечных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Сторона треугольника равна L. Найти напряженность в вершине тетраэдра, построенного на этом треугольнике.

Ответ: E = k√6q/L 2 .

Каждый заряд создает в точке D напряженность поля

Полная напряженность будет суммой трех векторов (см. рис.). Горизонтальные составляющие этих векторов в сумме дадут нуль, так как они равны по модулю и составляют друг с другом углы по 120 о . Сами векторы образуют с вертикалью углы 90 о – α, где α – угол между ребром тетраэдра и высотой h треугольника ABC. Вертикальные составляющие одинаковы и равны каждая

Из треугольника ADE очевидно, что

Отсюда искомая напряженность поля равна

7. Четыре непроводящих шарика радиуса r = 10 –3 м, в центре каждого из которых находится заряд q = 10 –7 Кл, расположены вдоль прямой, касаясь друг друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сложить из этих шариков пирамидку (правильный тетраэдр)? Влиянием силы тяжести пренебречь. (Меледин, 3.34)

Ответ: A = 0.07 Дж.

W1 = k[q 2 /6r + 2q 2 /4r + 3q 2 /2r] = 13kq 2 /6r.

A = 5kq 2 /6r = 0.07 Дж.

8. Тонкое проволочное кольцо имеет заряд +Q. Маленький шарик массой m, имеющий заряд -q, может двигаться без трения по тонкой диэлектрической спице, проходящей вдоль оси кольца. 1) Как будет двигаться шарик, если его отвести от центра кольца на расстояние x o, направленную вдоль оси кольца? Как зависит характер движения от величины vo?(1001, 12.28,12.29).

Ответ: 1) Шарик будет совершать гармонические колебания x = xocos<[kxQq/(mR 3 )] 1/2 t>, 2) При vo ≥ vmin = [2kQq/(mR)] 1/2 шарик уйдет на бесконечность; при vo < vmin – шарик будет совершать колебания (при vo min – гармонические).

1) На расстоянии х от центра кольца на шарик действует сила

F = qE = kxQq/[R 2 + x 2 ] 3/2 ,

направленная к центру кольца. Поскольку R 2 + x 2 ≈ R 2 при x

max = - kxQq/R 3 .

Это – уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

ω = [kxQq/(mR 3 )] 1/2 .

Максимальное отклонение хо достигается в начальный момент времени, так что

Если убрать спицу, проявится неустойчивость такого движения по отношению к малым боковым смещениям, поэтому шарик притянется к какой-нибудь точке кольца.

2) Воспользуемся законом сохранения энергии

-qφ(0) + ½ mvo 2 = -qφ(x) + ½ mv(x) 2 ,

где φ(x) = kQ/(R 2 + x 2 ) 1/2 – потенциал кольца на расстоянии x, v(x) – скорость шарика на расстоянии х от кольца. Если

то шарик улетит на бесконечность. При этом начальная скорость шарика должна удовлетворять условию

При vo < vmin – шарик будет совершать колебания (при vo min – гармонические).

9. Заряд Q равномерно распределен по объему шара радиусом R из непроводящего материала. Чему равна напряженность и потенциал поля на расстоянии r от шара? Построить графики E(r) и φ(r). (1001,12.31,12,32)

Ответ: при r ≤ R: E(r) = k|Q|r/R 3 , φ(r) = ½ kQ(3R 2 – r 2 )/R 3 ; при r > R:
E(r) = k|Q|/r 2 , φ(r) = kQ/r 2

Воспользуемся аналогией между законом Кулона и законом всемирного тяготения. При сферически симметричном распределении заряда поле на расстоянии r от центра создается только зарядом q(r) внутри сферы радиуса r. Поскольку заряд распределен по шару равномерно, при r ≤ R можно записать

E(r) = k|q(r)/r 2 = k|Q|r/R 3 .

Значит, полная работа составит

где SE = ½ (E(r) + E(R)(R – r) = ½ k(R 2 – r 2 )/R 3 – площадь под графиком напряженности поля. С другой стороны,

где φ(R) = kQ/R – потенциал на поверхности шара. Поэтому получаем

φ(r) = kQ/R + ½ k(R 2 – r 2 )/R 3 = ½ kQ(3R 2 – r 2 )/R 3 .

Первый участок графика (при r < R) – парабола, второй (r >R) – гипербола.

При r > R поле, создаваемое заряженным шаром, такое же, как поле точечного заряда Q, расположенного в центре шара, т.е.

E(r) = k|Q|/r 2 , φ(r) = kQ/r 2 .

10. Определить а)энергию уединенного проводящего шара радиуса R заряженного зарядом q; б) энергию двух тонких концентрических проводящих сфер радиусами R1 и R2 (R1 < R2) имеющих заряды q1 и q2. (Буховцев, 442, 443)

а) Энергия заряженного шара равна работе, которую могут совершить заряды, находящиеся на шаре, если они покинут его и удалятся на бесконечно большое расстояние. Пусть с шара каждый раз удаляется на бесконечность порция заряда Δq (Δq

Полная работа затраченная на удаление N порций заряда, где N = q/Δq,

A = k[(q– Δq)q/R + (q– 2Δq)q/R + (q– 3Δq)q/R + . . . + (q– NΔq)q/R] = k< ½ q 2 (1 – 1/N)/R].

Следовательно, энергия заряженного шара равна

(Эта энергия называется собственной.) Тот же результат можно получить, используя график изменения потенциала шара при уменьшении заряда. График будет представлять собой прямую линию, походящую под некоторым углом к оси абсцисс, а работа будет численно равна площади, ограниченной графиком и осями координат.

б) Энергия всей системы зарядов будет равна сумме собственных энергий зарядов, находящихся на первой и второй сферах:

а также энергии взаимодействия зарядов первой сферы с зарядами второй сферы. Эта энергия взаимодействия равна произведению заряда q2 на потенциал, создаваемый на поверхности сферы радиусом R2 зарядом q1. Таким образом, искомая энергия всей системы

В случае, когда q1 = - q2 = q (сферический конденсатор),

Уединенный проводящий шар радиуса R заряжен до величины Q. Вычислить энергию электростатического поля, создаваемую зарядом на шаре. ( Подсчитать суммарную работу, совершенную внешними силами, переносящими малыми порциями заряд из бесконечности на сферу.)

Ответ: А = Q 2 /(8πε0R).

Пусть на шаре находится некоторый заряд q, тогда при увеличении заряда на малую величину Δq, необходимо совершить работу

Где φ = q/(4πε0R) – потенциал шара, а φ∞ - потенциал на бесконечности, т.е.

Суммарная работа по заряжанию шара зарядом Q будет равна сумме элементарных работ:

12. Два металлических шарика радиусов r1 = 1см и r2 = 2см, находящиеся на расстоянии R = 100см друг от друга, присоединены к батарее с электродвижущей силой U = 3 кВ. Найти силу взаимодействия шариков. Взаимодействием соединительных проводов пренебречь.

Ответ: F = 44 . 10 -9 H.

Разность потенциалов между шариками должна равняться ε. Следовательно ,

где q1 и q2 – заряды шариков. Согласно закону сохранения заряда,

13. Две тонкостенные металлические сферы радиусов R1 и R2 образуют сферический конденсатор. На внешней сфере находится заряд Q. Внутренняя сфера не заряжена. Какой заряд протечет через гальванометр, если замкнуть ключ К? Потенциал Земли принять равным нулю. (МФТИ, 1978.)

После замыкания ключа К внутренняя сфера соединяется с Землей. Это означает, что потенциал сферы сравнивается с потенциалом Земли, т.е. становится равным нулю. Согласно принципу суперпозиции этот потенциал складывается из потенциала, создаваемого на внутренней сфере внешней сферой и потенциала, создаваемого на внутренней сфере ее собственным зарядом (если таковой есть). Это можно записать в виде:

Но, поскольку первоначально внутренняя сфера не была заряжена, то через гальванометр протек именно заряд q .

Вычислить потенциал поля в точках, удаленных от центра сфер на 10, 20 и 30 см.

Две металлические концентрические сферы с радиусами 15 и 30 см расположены в воздухе. На внутренней сфере распределен заряд – 2.10-9 Кл, а потенциал внешней сферы 450 В. Вычислить потенциал поля в точках, удаленных от центра сфер на 10, 20 и 30 см.

Найти напряженности электрического поля в точках, удаленных от центра шара на расстояния 2 см и 10 см
Стеклянный шар равномерно заряжен по всему объему. Радиус шара 5 см, заряд – 2 мкКл. Шар помещен в.

Вычислить напряжённость E электрического поля в точках, отстоящих от центра заряженного шара.
Полый стеклянный шар равномерно заряжен с объёмной плотностью =75 нКл/м3. Внутренний радиус.

Определить напряжённость поля на расстоянии r от центра сфер
Доброго времени суток! Не понимаю. Весь интернет уже облазил. Не могу ничего понять, помогите.

Рассчитать потенциал электростатического поля во всех точках плоскости
Здравствуйте! помогите с задачей пожалуйста! даны 3 точечных заряда с координатами (x1,y1).

Первым делом вычислим заряд внешней сферы:
нКл;
Потенциал в первой точке внутри маленькой сферы:

Потенциал между сферами:
Здесь я указал расстояние от центра 0.2 м
И в третей точке - на внешней сфере:

Если трудности в счёте - обращайтесь.

Потенциал В на внешней сфере R2 создается двумя зарядами, q1=– 2.10-9 Кл и q2. Поэтому по принципу суперпозиции Кл.
Этот заряд q2 создает внутри сферы R2 однородное поле с потенциалом .
И в точности также заряд q1 создает всюду внутри сферы R1 однородное поле с потенциалом .
Во внутренней сфере эти потенциалы по принципу суперпозиции складываются и получаем В.
Между сферами, в точке r2, потенциал поля от q2 - тот же , а q1 создает поле с потенциалом , и их сумма равна
В.
Ну, а в третьей точке, r3, получаем
В,
то есть уже известный нам потенциал поверхности внешней сферы.

Потенциал В на внешней сфере R2 создается двумя зарядами, q1=– 2.10-9 Кл и q2. Поэтому по принципу суперпозиции

Мне кажется, может я ошибаюсь, потенциал внешней сферы измеряется относительно земли. В задаче не идёт речь о разности потенциалов между сферам. Если это так, то потенциал внешней сферы

Во всяком случае эту задачу №173 стр. 248 также решает Гурский И. П. Элементарная физика. М.1976

Решение

В этой задаче все формулы для потенциала, которые мы использовали, дают потенциал относительно бесконечно-удаленной точки. И по принципу суперпозиции потенциал создается обоими зарядами. Каждый из них вне сферы, по которой распределен (да и на ней тоже), создает такое же поле, как и точечный заряд, помещенный в центр сферы. Поэтому можно получить потенциал сферы R2, поместив в ее центр оба заряда, то есть, заряд q1+q2, и вычислив потенциал такого суммарного заряда на расстоянии R2 от него:
.
Кстати, в точности как у Вас:

(Только мы по-разному обозначаем: q1 и -q1)

При этом насчет потенциала внутренней сферы

мы с Вами солидарны, а значит разность потенциалов сфер будет равна

Поэтому емкость сферического конденсатора

получается правильная, в обычном виде. А если бы в не было q1, получить ее не удалось бы.

Не берусь судить, почему у Гурского не учтен q1. Перед этим он как раз обсуждает потенциал одной сферы, и скорее всего, здесь у него и была формула для вклада q2 в потенциал сферы R2. Потом должна была стоять общая формула, учитывающая вклады обоих зарядов в соответствии с принципом суперпозиции. Предполагаю, что она там и стояла.
А потом, наверное, оказалось, что превышен объем книги, редактор требует сокращения, и . пришлось сокращать. В спешке, под телефонные звонки из редакции, что все сроки прошли, и пора сдавать книгу . Что-то в этом роде.

На расстоянии r от центра изолированной металлической незаряженной сферы радиусом R

На расстоянии r от центра изолированной металлической незаряженной сферы радиусом R находится точечный заряд q. Определите потенциал сферы φ при r > R.
(*ответ*) q/4πε0r
3q/4πε0r
3q/4πr
3qπε0r
3q/πε0r
На точечный заряд q со стороны точечного заряда Q действует сила притяжения F. Заряд q увеличивают в 4 раза. Напряженность поля, создаваемого зарядом Q, в точке пространства, где расположен заряд q
(*ответ*) не изменится
увеличится в 4 раза
уменьшится в 4 раза
зависит от расстояния между зарядами
Найдите такое изменение энергии, которое соответствует изменению массы на величину массы покоящегося электрона (mе = 9,1 • 10-31 к.
(*ответ*) 8,2 • 10-14 Дж
9,1 • 10-14 Дж
3 • 10-15 Дж
3 • 10-17 Дж
9 • 10-17 Дж
Найдите, во сколько раз изменится энергия заряженного конденсатора, отсоединенного от источника тока, если пространство между его обкладками заполнить диэлектриком с диэлектрической проводимостью, равной 3.
(*ответ*) уменьшится в 3 раза
увеличится в 3 раза
увеличится в 6 раз
уменьшится в 6 раз
увеличится в 9 раз
Найти длину медной проволоки, намотанной на катушку электрического звонка, если сопротивление ее равно 0,68 Ом, а площадь поперечного сечения 0,35 мм2. Удельное сопротивление меди равно 0,017 Ом • мм2/м.
(*ответ*) 14 м
7 м
10 м
12 м
18 м
Найти значение электрического сопротивления R внешней цепи, при котором сила тока в ней будет одинакова при последовательном и параллельном соединении n источников в батарее. Внутреннее сопротивление источника r.
(*ответ*) R = r
R = пr
R = r/п
R = 2r
R = 2r/п
Найти силу, действующую на заряд 12 нКл, помещенную в точку, в которой напряженность электрического поля равна 2 кВ/м.
(*ответ*) 24 мкН
10 мкН
45 мкН
58 мкН
88 мкН
Найти сопротивление, которым должен обладать шунт для подключения к амперметру с внутренним сопротивлением 1 Ом, если требуется расширить пределы измерения в 10 раз.
(*ответ*) 1/9 Ом
1/10 Ом
9 Ом
0 Ом
10 Ом
Направление вектора напряженности электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на
(*ответ*) положительный пробный заряд, помещенный в электрическое поле
незаряженный металлический шар, помещенный в электрическое поле
отрицательный пробный заряд, помещенный в электрическое поле
ответа нет, так как напряженность поля - скалярная величина
Напряженность однородного электрического поля равна 100 В/м, расстояние между двумя точками, расположенными на одной силовой линии поля, равно 5 см. Разность потенциалов между этими точками равна:
(*ответ*) 5 В
20 В
500 В
2000 В
Напряженность электрического поля измеряют с помощью пробного заряда q. Если величину пробного заряда увеличить в 2 раза, то модуль напряженности поля
(*ответ*) не изменится
увеличится в 2 раза
уменьшится в 2 раза
увеличится в 4 раза

Точечный заряд и проводящая сфера

Пусть мы имеем проводящую сферу радиуса R и точечный заряд +q, расположенный на расстоянии d от центра сферы (рис. 5).

Определим силу, действующую на заряд со стороны сферы. Сначала заземлим сферу. Чтобы решать задачу методом изображений, нужно найти такое расположение точечных зарядов, при котором одной из эквипотенциальных поверхностей является сфера. Задача с двумя неравными точечными зарядами как раз и дает именно такую картину эквипотенциальных поверхностей. Один из этих зарядов +q расположен там, где указано в условии задачи. Но какова должна быть величина второго заряда (заряда-изображения), и где он должен быть расположен?

Предположим, что заряд q расположен на прямой, соединяющей центр сферы и заряд q в точке, расположенной на расстоянии х от центра сферы (рис. 6).

Может ли эта сфера быть эквипотенциальной поверхностью, каковы должны быть х и q, чтобы она ей была? Пусть потенциал сферы равен нулю. Рассмотрим произвольную точку А сферы, ее потенциал равен нулю. Он создается зарядом q, расположенным от нее на расстоянии r1, и зарядом q, расположенном на расстоянии r2. Следовательно, A = или = kqr1+kqr2. То есть -qq = r1r2. Для точки B сферы мы можем записать



k q R-x +k q d-R = 0 или - q q = d-R R-x .

Для точки C имеем

k q R+x +k q d+R = 0 или - q q = d+R R+x .

Таким образом имеем уравнение для определения х

Если мы поместим точечный заряд q на расстоянии х от центра сферы, то сфера будет эквипотенциальной поверхностью. Величина заряда q легко определится из соотношения

q = - R-x d-R q = - R d q.

Таким образом, имеем систему двух точечных зарядов, расположенных так, как на рис. 7.

На заряд +q со стороны сферы (или заряда-изображения q) действует сила притяжения

F = k q|q| (d-x)2 = k q2 d2-R2 .

Mы рассмотрели случай заземленной проводящей сферы. А как быть в том случае, если сфера имеет заряд Q или несет ненулевой потенциал? Ответ на этот вопрос очень прост - в центр сферы нужно добавить еще один точечный заряд q, величину которого определим из условия эквипотенциальности сферы.

Рассмотрим незаряженную металлическую изолированную сферу и заряд +q, расположенный на расстоянии d от ее центра. Какая сила действует на заряд? Cфера останется незаряженной. Произойдет лишь перераспределение зарядов по поверхности сферы, связанное с взаимодействием с зарядом +q. Ближняя к заряду часть сферы приобретет отрицательный заряд, а дальняя - положительный, так как электроны притянутся к заряду (рис. 8).

Чтобы решить задачу, кроме заряда q, расположенного от центра сферы на расстоянии R2d , в центре сферы надо расположить еще один заряд q (рис. 9).

Появление в центре сферы заряда q не меняет ее эквипотенциальности. Потенциал любой точки сферы создается теперь уже тремя зарядами - q, q и q. Суммарный потенциал, создаваемый зарядами q и q на поверхности сферы равен нулю, следовательно потенциал любой точки сферы определяется только зарядом q. Он равен  = kqR . Если сфера изолирована, то заряд q определится из условия

q+q = , q = R d q = -q.

Поля и потенциалы вне сферы определяются по принципу суперпозиции как результат наложения полей всех трех зарядов. Сила, действующая на заряд +q определится следующим образом

F = k q|q|
   d- R2 d    2

Если теперь вместо изолированной сферы и заряда q мы будем рассматривать тот же заряд и сферу, имеющую либо заряд Q, либо потенциал , то, используя метод изображений, получим систему точечных зарядов: заряд q, расположенный на расстоянии d от центра сферы, заряд-изображение q, расположенный на расстоянии R2d от центра сферы, и заряд-изображение q, расположенный в центре сферы. Величина q определится из условия, что потенциал сферы должен быть равен

Если мы знаем заряд сферы Q, то q = Q. Если же нам известен ее потенциал , то q = Rk.

Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков

Пусть точечный заряд +q находится на расстоянии а от плоской границы двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями 1 и 2 (рис. 10).

Определим силу, действующую на заряд, и потенциал электрического поля методом изображений.

Допустим, что заряд-изображение имеет величину q и расположен на расстоянии a снизу от поверхности МN, разделяющей диэлектрики (рис. 11), так как именно там будет находиться изображение светящейся точки q в плоском зеркале MN.

Величину заряда-изображения можно найти из граничных условий для нормальной (перпендикулярной границе) и тангенциальной (параллельной границе) составляющих вектора напряженности электростатического поля. На границе раздела двух диэлектрических сред нормальная составляющая поля подчиняется условию 1En1 = 2En2 , где En1 и En2 - нормальные составляющие поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2, соответственно. Тангенциальная составляющая поля при переходе из среды с диэлектрического проницаемостью 1 в среду с диэлектрической проницаемостью 2 остается неизменной, то есть E1 = E2. Подробнее о граничных условиях на границе раздела двух сред поговорим в конце задачи.

Найдем нормальную и тангенциальную составляющие вектора напряженности электрического поля в точке А, расположенной на границе раздела диэлектриков,

En1 = E1 cos 1, En2 = E2 cos 2,

E1 = E1 sin 1, E2 = E2 sin 2,

где 1 и 2 - углы, которые составляют вектора напряженности в первой и во второй средах соответственно. Отсюда легко получить соотношение tg 1tg 2 = 12, которое потребуется нам в дальнейшем.

Если бы не было среды с проницаемостью 2, то в точке A напряженность поля была бы равна E1 и ее создавал бы один заряд +q. Но поскольку вторая среда присутствует, то напряженность поля равна вектору E2 и составляет с перпендикуляром угол 2. Если дело происходит в вакууме, то это возможно в случае, когда в точке B находится заряд q, создающий в точке A поле, напряженность которого обозначим E. Ясно, что E удовлетворяет равенству

Анализ граничных условий приводит к выводу: если 1 > 2, то 1 > 2, и в точке B должен находиться отрицательный заряд (рис. 12);



Разберем случай 1 > 2. Спроецировав левую и правую части уравнения

на горизонтальное и вертикальное направления, получим

E1 sin 1-E sin 1 = E2 sin 2 и E1 cos 1-E cos 1 = E2 cos 2.

Используя граничные условия и поделив первое уравнение на второе, имеем

E1-E E1+E = tg2 tg1 = 2 1 .

Модуль вектора напряженности поля, которое создает в точке A заряд +q определяется его величиной и расстоянием r до точки A: E1 = kq/r. Заряд q в точке A создает поле, модуль вектора напряженности которого E = k|q|r. Тогда для определения величины заряда q имеем уравнение

Отсюда определяем модуль заряда q

Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона

F = k q|q| (2a)2 = k q2 4a2 1-2 1+2 .

Потенциал произвольной точки C, расстояние от которой до точки, в которой находится заряд +q, равно r1, а до точки В, в которой находится заряд q, равно r2, легко определить по принципу суперпозиции полей. Если точка С находится в среде с проницаемостью 1, то по ее потенциал q определяется равенством

 = q 1r1 + (1-2)·q 1(1+2)·r2 ;

если же точка C находится в диэлектрике с проницаемостью 2, то

Случай, когда в точке B находится положительный заряд-изображение q, рассчитывается аналогично; для величины q получим выражение

q = 2-1 1+2 q r1 .

Если диэлектрическая проницаемость первой среды больше, чем второй, то заряд отталкивается от границы диэлектриков, при обратном соотношении - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большей проницаемостью, отталкиваясь от границы, стремится уйти в бесконечность. Заряд, вначале находившийся в среде с меньшей проницаемостью, притягивается к границе, пересекает ее, а затем, находясь уже в другой среде отталкивается от границы, стремясь уйти в бесконечность. Естественно, все сказанное справедливо только в том случае, если можно пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды.

И в заключение этой задачи поговорим о граничных условиях на границе раздела двух сред. Начнем с рассмотрения диэлектрических сред. Пусть мы имеем плоскую границу двух однородных диэлектриков с различными проницаемостями 1 и 2. Обозначим через

напряженности электрического поля в первой и во второй средах соответственно. Разложим векторы

на две составляющие - нормальную En1 и En2 и тангенциальную E1 и E2.

Выясним теперь, как связаны тангенциальные составляющие поля при переходе из одной среды в другую. Выберем любые две пары точек, расположенных очень близко к друг к другу и разделенных поверхностью (рис. 14). Пара точек A1 и B1 находится в первом диэлектрике, а пара точек A2 и B2 находится во втором диэлектрике. Если тангенциальные составляющие полей в разных диэлектриках будут различными, то работы поля при перемещении какого-либо заряда вдоль линий A1B1 и A2B2 будут различными. Будем приближать точки A1 и A2, B1 и B2 друг к другу, в конце концов мы получим две бесконечно близких линии A1B1 и A2B2. Поскольку электрическое поле потенциально, то работа по перемещению заряда между какими-либо точками не зависит от траектории. У нас же получается, что работа поля по перенесению заряда по двум бесконечно близким отрезкам A1B1 и A2B2 различна. Следовательно наше допущение о неравенстве тангенциальных составляющих поля не верно, так как ведет к нарушению потенциальности поля.

Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие поля в разных средах одинаковы или непрерывны, то есть E1 = E2.

Получим граничные условия для нормальных составляющих поля. Для этого выделим на поверхности прямоугольник S столь малый, что поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2 на его площади не меняются. Построим на нем параллелепипед высоты 2L (рис. 15). Величина L должна быть достаточно малой, чтобы электрическое поле на протяжении отрезка L оставалось постоянным. Определим поток  поля через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как для них углы между напряженностью поля и нормалями (перпендикулярами) к поверхности равны 9. Таким образом остается только посчитать потоки через верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда. Поскольку верхняя грань находится в среде с проницаемостью 1, а нижняя - в среде с проницаемостью 2, суммарный поток через них определится следующим образом

 = ниж+верх = 1 En1S-2 En2S.

С другой стороны, по теореме Гаусса имеем = , так как свободных зарядов внутри параллелепипеда нет. Следовательно, 1 En1 = 2 En2.

Если мы имеем две металлические среды, то тангенциальная составляющая поля на поверхности равна нулю (если бы она не была равна нулю, то электроны бы двигались против поля, а это означает, что точки на поверхности металла имеют разные потенциалы).

Точечный заряд и проводящие плоскости, образующие двугранный угол

Двугранный угол между двумя заземленными металлическими плоскостями равен . Внутри угла на расстоянии a и b от плоскостей находится точечный заряд +q. Найти электрическое поле внутри угла. Рассмотреть случаи: а)  = 9, б)  = 6, в)  = 45.

Рассмотрим случай  = 9. В оптике есть аналогичная задача - построение изображения точечного источника в системе плоских зеркал, образующих двугранный угол  = 9. Начнем с ее рассмотрения. Источник обозначим буквой S, плоскости зеркал OA и OB. Построим изображение источника S в зеркале OA, получим мнимый источник S1, расположенный на расстоянии a снизу от плоскости зеркала OA (рис. 16а), для его построения нам нужно найти точку, симметричную S относительно плоскости OA.

Рис. 16а Рис. 16б

Строя изображение точки S в зеркале OB, получим мнимый источник S2. Еще надо построить изображение S1 в зеркале OB и изображение S2 в зеркале OA. Эти изображения совпадут и будут находиться в точке S3 (мнимый источник). Для построения точки S3 плоскости зеркал нужно продолжить влево и вниз и найти точки, симметричные точкам S1 и S2 относительно этих плоскостей. В нашей задаче имеем три заряда-изображения, расположенные в точках S1, S2 и S3. В точках S1 и S2 расположены заряды -q, в точке S3 - заряд +q (рис. 17).

Заряд и его изображения одинаковы по величине, но противоположны по знакам.

Тогда поле внутри двугранного угла определится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей каждого из зарядов. Ее расчет достаточно стандартен и поэтому здесь мы его приводить не будем.

Если угол  = 6, то имеем 5 зарядов-изображений, расположенных так, как показано на рис. 18. В случае  = 45 имеем семь зарядов-изображений (рис. 19). В геометрической оптике при решении задачи построения изображения точечного источника в ситеме плоских зеркал, угол между которыми равен  = 2m, показывается, что число изображений равно m-1. Воспользовавшись этим результатом, мы легко можем решить задачу для точечного заряда и проводящих плоских поверхностях, образующих угол .

P.S. Каждый раз, решая задачу методом изображений, мы подбирали системы точечных зарядов, которые создают точно такие же поля, как и заряды, индуцированные на поверхности проводника. Положение и величины зарядов выбираются таким образом, чтобы одна из эквипотенциальных поверхностей поля, создаваемого заданными зарядами и зарядами-изображениями, совпадала бы с поверхностью проводника. С помощью этих зарядов находится только поле вне проводника, внутри проводника поля нет. Но, несмотря на свою привлекательность, метод изображений далеко не универсален. Достаточно поместить точечный заряд снаружи двугранного угла, образованного проводящими плоскостями, чтобы задачу уже невозможно было решить этим методом (рис. 16б). Хотя система точечных зарядов, изображенная на рис 17, и обеспечивает эквипотенциальность поверхности двугранного угла, но она не дает решения задачи. Дело в том, что фиктивные заряды-изображения можно помещать только по другую от реального заряда сторону проводящей поверхности. В той точке пространства, где находится точечный заряд, напряженность поля обращается в бесконечность. Поэтому, если мы поместим фиктивный заряд по одну сторону с реальным, то в точке его нахождения напряженность поля обратится в бесконечность, чего на самом деле нет.

Список литературы

Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Феймановские лекции по физике, т. 5. - М., Мир, 1977, 300 с.

В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике - М., Наука, 1970, 504 с.

И. Е. Тамм, Основы теории электричества - М., Наука, 1989, 504 с.

Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев, Физика для поступающих в ВУЗы. Учебное пособие - М.,Наука, 1982, 608 с.

Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. - М., Большая Российская энциклопедия. Т. 3. 1992, 672 с.

Читайте также: