Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а
Обновлено: 18.05.2024
Рассмотрим систему из двух одинаковых металлических шаров радиусом R, имеющих одинаковые заряды q противоположного знака, с расстоянием между центрами шаров 2d. Между ними существует электрическое поле, которое можно характеризовать векторами напряженности электрического поля E, электрической индукции D и разностью потенциалов U. Для определения связи между разностью потенциалов и величиной заряда рассмотрим напряженность электрического поля на линии, соединяющей два заряженных шара (ось x). Она может быть определена на основе принципа суперпозиций. Напряженности от 1 и 2 шара будут направлены в одну сторону от положительно заряженного шара к отрицательно заряженному шару. Пусть начало координат лежит в точке, расположенной на одинаковых расстояниях от центров двух шаров. Тогда напряженность в точке с координатой x можно определить по выражению
. (21)
Разность потенциалов (напряжение) между шарами можно определить по (6)
(22)
Емкость между двумя шарами можно найти по выражению
(23)
1.4.2. Два заряженных металлических цилиндра.
Рассмотрим систему из двух одинаковых металлических цилиндрических проводников радиусом R, имеющих одинаковые заряды q противоположного знака, с расстоянием между осями проводников 2d. Между ними существует электрическое поле, которое можно характеризовать векторами напряженности электрического поля E, электрической индукции D и разностью потенциалов U. Для определения связи между разностью потенциалов и величиной заряда рассмотрим напряженность электрического поля на линии, соединяющей оси заряженных проводников (ось x). Она может быть определена на основе принципа суперпозиций. Напряженности от 1 и 2 шара будут направлены в одну сторону от положительно заряженного проводника к отрицательно заряженному проводнику. Пусть начало координат лежит в точке, расположенной на одинаковых расстояниях от оси двух проводников. Тогда напряженность в точке с координатой x можно определить по выражению
. (24)
Разность потенциалов (напряжение) между проводниками можно определить по (6)
(25)
Удельная емкость (на единицу длины) между двумя проводниками можно найти по выражению
(26)
1.4.3. Система коаксиальных проводников.
Рассмотрим систему из двух заряженных коаксиально расположенных цилиндрических проводников внутреннего и внешнего. Проводники несут противоположные по знаку и одинаковые по величине заряды с линейной плотностью ρ. Внутренний проводник системы с внешним радиусом R1 может быть сплошным или полым. Внешний проводник должен быть полым с радиусами внутренним R2 и внешним R3. Между проводниками существует электрическое поле, которое можно характеризовать векторами напряженности электрического поля E, электрической индукции D и разностью потенциалов U. Внешнее электрическое поле такой симметричной системы отсутствует, Для определения связи между разностью потенциалов между проводниками и величиной заряда рассмотрим напряженность электрического поля вдоль радиальной линии с центром на общей оси внутреннего и внешнего проводников. Т.к. мы рассматриваем металлические проводники, то электрических полей внутри проводников не будет. Для рассмотрения электрического поля между проводниками достаточно рассмотреть поле внутреннего цилиндрического проводника, которое описывается выражениями (16). Для напряжения между двумя проводниками можно записать
. (27)
Удельную емкость (на единицу длины) между двумя проводниками можно найти по выражению
(28)
Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а
В настоящий момент в базе находятся следующие задачи(номера задач соответствуют задачнику). Задачи, помеченные светло-зеленым цветом, можно купить. Базовая цена 30 руб. Подробней об оплате
Иродов_2.111. Найти емкость шарового проводника радиуса Rx == 100 мм, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости е = 6, 0 и наружного радиуса i^ = 200 мм.
Иродов_2.112. К напряжению U = 100 В подключили последовательно два одинаковых конденсатора, каждый емкости С = 40 пф. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости е = 3, 0. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет в цепи?
Иродов_2.113. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями1 и 2 толщины dx и d^ и проницаемости гг и е2. Площадь каждой обкладки равна S. Найти; а) емкость конденсатора; б) плотность о' связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2
Иродов_2.114. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении - растет линейно от гг до с2. Площадь каждой обкладки 5, расстояние между ними d. Найти: а) емкость конденсатора; б) объемную плотность связанных зарядов как функцию е, если заряд конденсатора q и поле Е в нем направлено в сторону возрастания е.
Иродов_2.115. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого а и Ь, причем а л - tps между точками А и В системы, показанной: а) на Рис. 2. 25; б) на Рис. 2. 26.
Иродов_2.130. Конденсатор емкости Сх = 1, 0 мкФ, заряженный до напряжения ? /=110 В, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкости которых С2 = 2, 0 мкФ и С3 = 3, ОмкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам? 100
Иродов_2.131. Какие заряды протекут после замыкания ключа К в схеме ( Рис. 2. 27) через сечения 7 и 2 в направлениях, указанных стрелками?
Иродов_2.132. В схеме ( Рис. 2. 28) Г == 60 В, С, =2, 0мкФ и С2 = 3, 0мкФ. Найти заряды, которые протекут после замыкания ключа К через сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками.
Иродов_2.133. Найти емкость схемы ( Рис. 2. 29) между точками Аи В.
Иродов_2.134. Три электрона, находившихся на расстоянии а == 10, 0 мм друг от друга, начали симметрично разлетаться под действием взаимного отталкивания. Найти их максимальные скорости.
Иродов_2.135. Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах, которые показаны на Рис. 2. 30.
Иродов_2.136. Тонкий стержень длины I расположен по оси тонкого кольца радиуса R так, что один его конец совпадает с центром О кольца. Кольцо и стержень имеют заряды q0 и q, причем линейная плотность заряда на стержне изменяется вдоль него101линейно, начиная с нуля в точке О. Найти электрическую энергию взаимодействия кольца со стержнем.
Иродов_2.137. Точечный заряд q находится на расстоянии / от проводящей плоскости. Найти: а) энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости; б) собственную энергию зарядов на плоскости.
Иродов_2.138. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 200 см2 и расстояние между ними d = 5, 0 мм, поместили во внешнее однородное электрическое поле сЕ = 1, 30 кВ/см, перпендикулярное пластинам. Затем пластины замкнули проводником, после чего проводник убрали и конденсатор перевернули на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению поля. Найти совершенную при этом работу против электрических сил.
Иродов_2.139. Конденсатор емкости Cj = l, 0 мкФ, заряженный до напряжения 17 = 300 В, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости С2 = 2, 0 мкФ. Найти приращение электрической энергии системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат,
Иродов_2.140. Сколько теплоты выделится при переключении ключа К из положения / и 2 в цепи, показанной: а) на Рис. 2. 31; б) на Рис. 2. 32.
Иродов_2.141. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами Rx и R^ и соответствующими зарядами дг и д2. Найти собственную энергию Wx и W2 каждой оболочки, энергию взаимодействия Wn оболочек и полную электрическую энергию W системы.
Иродов_2.142. Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Считая проницаемость е = 1, найти: а) собственную электрическую энергию шара; 102 б) отношение энергии Wx внутри шара к энергии W2 в окружающем пространстве.
Иродов_2.143. Точечный заряд q = 3, 0 мкКл находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика проницаемости е = 3, 0. Внутренний радиус слоя а = 250 мм, внешний Ь == 500 мм. Найти электрическую энергию в данном слое.
Иродов_2.144. Найти энергию электрического поля точечного заряда q в пустом полупространстве, которое ограничено плоскостью, отстоящей на расстояние а от заряда.
Задачник Горбатый Овчинников
6. Во сколько раз емкость некоторого уединенного проводника больше емкости его уменьшенной в 2 раза копии?
ответ зависит от формы проводника
7. Если вблизи проводящего шара, расположенного вдали от других заряженных тел, поместить незаряженный проводник произвольной формы, то емкость шара:
8. Если вблизи проводника, расположенного вдали от других заряженных тел,
поместить незаряженный стеклянный шар, то емкость проводника:
9. Вблизи положительно заряженного проводящего шара закреплен точечный положительный заряд. Если заряд шара увеличить в 2 раза, то его потенциал увеличится:
Б) более, чем в 2 раза
В) менее, чем в 2 раза
10. Почему не принято говорить о емкости проводника, вблизи которого расположены другие заряженные тела?
11. Укажите ошибочные утверждения:
пропорциональности между зарядом положительной
обкладки и разностью потенциалов между
формулой C 0 S / d
Если расстояние между обкладками плоского
напряжения, уменьшить в два раза, то напряжение на
конденсаторе не изменится, а заряд увеличится в два
Если пространство между обкладками плоского
конденсатора, заряженного и отключенного от
источника напряжения, заполнить диэлектриком с
проницаемостью , то заряд конденсатора не
изменится, а напряжение на нем уменьшится в раз
соединить последовательно и подключить к
источнику напряжения, то на конденсаторах
установятся одинаковые заряды, а напряжение будет
большим на том конденсаторе, емкость которого
подключить к источнику напряжения, то на
конденсаторах установятся одинаковые напряжения,
а заряд будет большим у того конденсатора, емкость
Если к заряженному конденсатору емкостью C 1
подключить заряженный конденсатор емкостью C 2 ,
как показано на рис. 7.1, то напряжения и заряды
конденсаторов не изменятся
как показано на рис. 7.2, то напряжения на
конденсаторах станут одинаковыми, а суммарный
заряд обкладок, которые соединили, не изменится
7.1. Найдите емкость шарового проводника радиуса R 1 = 100 мм, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости = 6 и
наружного радиуса R 2 = 200 мм.
7.2. Найдите емкость металлического шара радиуса R , окруженного концентрическим с ним незаряженным шаровым проводящим слоем. Радиусы сферических поверхностей слоя равны a и b .
7.3. Между обкладками плоского воздушного конденсатора поместили параллельно им стеклянную пластину, толщина которой в 2 раза меньше расстояния между обкладками. Во сколько раз увеличилась при этом емкость конденсатора.
Диэлектрическая проницаемость стекла .
7.4. Расстояние между обкладками плоского конденсатора равно d . Определите емкость конденсатора, если известно, что при заряде конденсатора q напряженность поля в конденсаторе равна E .
7.5. Пространство между обкладками плоского конденсатора представляет собой три параллельных слоя толщинами d , 2 d и d . Проницаемости диэлектрических слоев указаны на рис. 7.3, слои проводников показаны штриховкой, площадь каждой обкладки конденсатора S . Найдите емкость С конденсатора для случаев а) - г),
показанных на рисунке.
7.6. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком,
проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении – растет линейно от 1 до 2 . Площадь каждой обкладки S , расстояние между ними d .
Найдите емкость C конденсатора.
7.7. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок
d - расстояние между обкладками.
Площадь каждой обкладки S . Найдите емкость C
7.8. Определите емкость C плоского конденсатора, заполненного неоднородным диэлектриком, если известно, что напряженность поля в диэлектрике зависит от
координаты x по закону E q ( x 2 ) , где q – заряд конденсатора, и - постоянные,
ось X перпендикулярна обкладкам, x = 0 на одной из обкладок. Расстояние между обкладками d .
7.9. Найдите емкость C сферического конденсатора, радиусы обкладок которого
проницаемость которого зависит от расстояния r до центра конденсатора как r ,
7.10. Найдите емкость C сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b , причем a < b , если пространство между обкладками заполнено
диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния
конденсатора как / r , где const .
7.11. Определите емкость сферического конденсатора, заполненного неоднородным диэлектриком, если известно, что напряженность поля в диэлектрике
зависит от расстояния r до центра конденсатора по закону E q r 3 , где q – заряд конденсатора, - постоянная. Радиусы обкладок конденсатора a и b ( a < b ).
7.12. Найдите емкость С двухслойного цилиндрического конденсатора, радиусы обкладок которого a и 3 a , а пространство между обкладками заполнено двумя цилиндрическими слоями диэлектриков с проницаемостями и 2 . Толщина каждого слоя равна a, длина конденсатора l велика по сравнению с а .
7.14. Определите емкость C цилиндрического конденсатора, заполненного неоднородным диэлектриком, если известно, что напряженность поля в диэлектрике
зависит от расстояния r от оси конденсатора по закону E q r 2 , где q – заряд конденсатора, - постоянная. Радиусы обкладок конденсатора a и b ( a < b ).
7.15. Найдите емкость C цилиндрического конденсатора длины l , радиусы
заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как / r , где .
Взаимная емкость проводников
7.16. Два длинных прямых провода одинакового радиуса сечения a
расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между осями проводов равно b . Найдите взаимную емкость проводов C 1 на единицу их длины при условии a b . Вычислите C 1 , если a = 1 мм и b = 50 мм.
7.17. Найдите взаимную емкость C системы из двух одинаковых металлических шаров радиуса a , расстояние между центрами которых b , причем a b . Система находится в однородном диэлектрике проницаемости .
7.18. Два одинаковых воздушных конденсатора соединили параллельно,
зарядили до напряжения U 1 = 30 В и отключили от источника. Затем пространство между обкладками одного конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью = 2. Какое напряжение U 2 установилось на конденсаторах?
7.19. К источнику напряжения U = 100 В подключили последовательно два одинаковых конденсатора, каждый емкостью C = 40 пФ. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости = 3. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд q пройдет в цепи?
Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач
На основании (8) такой малой поверхностью следует считать очень тонкое кольцо (рис. 1.13).
Подставляя (8) в (9), выразив предварительно r через l и x и проведя интегрирование, получите
О чем говорит знак минус в в этой
Предлагается найти емкость плоского конденсатора, у которого между обкладками помещены две пластины из разного диэлектрика.
Ответьте на вопросы:
1. Что называется электрической емкостью тела?
2. Как емкость связана с зарядом тела и его потенциалом?
3. Что называется емкостью конденсатора? Как связана емкость со свободным зарядом на обкладках и разностью потенциалов между обкладками (иначе, напряжением на конденсаторе)?
4. Какую роль играет диэлектрик, заполняющий пространство между обкладками? Как он влияет на емкость конденсатора и на напряженность поля между обкладками, если напряжение на конденсаторе поддерживать постоянным?
5. Как Вы представляете принципиальное устройство плоского, цилиндрического, сферического конденсаторов?
6. В каком конденсаторе можно создать однородное электрическое поле?
7. Примите к сведению (вспомните), что модуль вектора смещения в поле плоского конденсатора равен поверхностной плотности свободного заряда на обкладках конденсатора.
Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d 1 и d 2 и с проницаемостями 1 и 2 (рис. 1.14). Площадь каждой обкладки равна S . Найти: а) емкость конденсатора; б) плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2 .
а) Поясните связь между направлением вектора напряженности и знаками всех связанных зарядов на рис. 1.14.
Запишите определение емкости конденсатора
Уточните, какой заряд входит в эту
Считая поле в каждом диэлектрическом слое однородным, за-
U E 1 d 1 E 2 d 2 .
Что означает каждое слагаемое?
Вспомните (или получите с помощью теоремы Гаусса для век-
тора электрического смещения), что модуль вектора D равен поверхностной плотности заряда на обкладках конденсатора:
Исходя из определения поверхностной плотности заряда, запи-
Используйте существующую связь между смещением и напряженностью в однородном изотропном диэлектрике и с учетом (3) найдите модули напряженности электрического поля в каждом слое
Подставьте (5) в (2) и с учетом (4) выразите напряжение на обкладках конденсатора:
Используя определение емкости (1), получите ответ
б) Представьте искомую плотность как алгебраическую сумму плотностей связанных зарядов в каждом диэлектрике на границе их раздела; выразите эти плотности через проекции соответствующих векторов поляризации:
Учитывая однородность и изотропность диэлектрика, запишите
P 1 0 æ 1 E 1 ; P 2 0 æ 2 E 2
Подставьте (7) в (6), попутно выражая напряженности по формулам (5) и заменяя диэлектрические восприимчивости æ в (7) заданными в условии задачи диэлектрическими проницаемостями ,
используя определение диэлектрической проницаемости
æ 1 1 1 ; æ 2 1 2 .
Задача напоминает, что емкостью обладает не только конденсатор, но и любая система тел. Предлагается найти взаимную емкость для простейшей системы – двух металлических шариков.
1. Что называется электрической емкостью тела? Что называется емкостью (взаимной) системы двух тел?
2. Какая связь между потенциалом и напряженностью в неоднородном поле?
3. Вспомните или получите с помощью теоремы Гаусса выражение для напряженности поля заряженного шара.
4. Как наличие однородной диэлектрической среды вокруг свободного заряда влияет на величину создаваемого им поля? Почему?
Если однородный изотропный диэлектрик заполняет практически все пространство, окружающее заряд, или ограничен эквипотенциальными поверхностями, то во сколько раз поле слабее поля того же заряда в вакууме?
Задача. Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а , расстояние между центрами которых b , причем b a . Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью .
Решение. Изобразите шарики, проведите через центры ось ОХ . Начало отсчета возьмите в центре первого. Пометьте координаты точек пересечения поверхностей шариков с осью OX .
Нанесите векторы напряженностей, создаваемых в некоторой точке на оси ОХ каждым шариком. Поясните их направления, предполагая, что шарики заряжены так, как показано на рис. 1.15.
Запишите определение взаимной емкости двух тел
Выразите разность потенциалов между шариками
Поясните пределы интегрирования. Воспользуйтесь принципом суперпозиции
E x E 1 x E 2 x .
Считая, что можно пренебречь взаимным влиянием шариков, выразите напряженности формулами, которые легко получить с помощью теоремы Гаусса (на рис.1.15 пунктирными дугами помечены «следы» сферических гауссовых поверхностей, окружающих
Подставьте (4) в (2) и проведите интегрирование
Затем учите, что b a , и получите
1 2 2 0 a . Подставьте (5) в (1), запишите ответ
q ( b 2 a ) 2 0 a ( b a ) .
Предлагается решить задачу, реализуя два подхода:
1) как требует условие задачи через понятия собственной и взаимной энергии проводников;
2) считать носителем энергии электрическое поле и находить энергию поля, создаваемого обеими оболочками.
1. Что называется собственной энергией заряженного провод-
2. Дайте определение через работу, которую надо совершить, чтобы зарядить проводник до данной величины заряда.
Вспомните, как выражается полная энергия через емкость проводника и заряд; через потенциал и заряд.
3. Что называется взаимной энергией зарядов?
4. Что называется полной энергией системы зарядов?
5. Как можно вычислить полную энергию не прибегая к понятиям собственной и взаимной энергии, а рассматривая в качестве носителя энергии электрическое поле, создаваемое системой зарядов.
6. Что такое плотность энергии поля? Какой формулой она выражается?
7. Как зная напряженность электрического поля в каждой точке пространства, вычислить энергию, заключенную в определенном объеме пространства, если поле однородно? Если поле неоднородно?
8. Вспомните формулы для напряженности и потенциала поля, создаваемого заряженной сферой.
9. Вспомните (получите) формулу емкости сферы.
Задача. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R 1 и R 2 с соответствующими зарядами q 1 и q 2 (рис. 1.16). Найти собственную энергию W 1 и W 2 каждой оболочки, энергию взаимодействия W 12 и полную энер-
Способ 1. Представьте полную энергию
системы как сумму собственных энергий за-
ряженных оболочек и их взаимной энергии
Выразите собственную энергию оболочек, используя выражение, справедливое для проводников любой формы, а затем подставляя емкость сферы:
Выразите взаимную энергию, как работу, которую надо совершить, чтобы разместить на внешней сфере заряд q 2 , учитывая, что она имеет потенциал 2 , создаваемый зарядом q 1 , находящимся на внутренней сфере:
Подставьте (2) и (3) в (1) и получите
Способ 2. Посчитайте ту же энергию исходя из того, что она находится в поле, создаваемом заряженными оболочками:
W w 1 dV w 2 dV .
Раскройте смысл каждого интеграла. Учтите, что заряд q 1 распределен по поверхности малой сферы и внутри нее электрического поля нет.
Выразите плотность энергии электрического поля между оболочками w 1 и во внешней области w 2 , учитывая, что оболочки находятся в воздухе ( = 1)
Используйте теорему Гаусса и получите выражения напряженностей поля между оболочками ( Е 1 ) и во внешней области ( Е 2 ):
Так как напряженность от радиуса, то по смыслу подынтегральных выражений в (5) элементарный объем следует брать в виде очень тонкого сферического слоя, где плотность энергии можно считать постоянной. Учитывая это, а также используя (6) и (7), приведите (5) к виду
Убедитесь в тождественности выражений (8) и (4). Задача решена.
Заметьте, что оба способа дали одинаковые результат. Однако предпочтение все же надо отдавать второму – поскольку носителем энергии, действительно, является электрическое поле.
Предлагается искать работу как меру приращения энергии системы.
1. Как связна работа, совершаемая против сил электрического поля, с приращением энергии поля?
2. Как можно выразить энергию, запасенную в конденсаторе? Вспомните две трактовки взаимодействия зарядов и соответ-
ственно формулы для энергии через заряды на обкладках и емкость
и через напряженность поля между обкладками.
3. Какой формулой выражается емкость плоского воздушного конденсатора?
4. При каком условии поле между обкладками плоского конденсатора можно считать однородным? Как в этом случае связаны напряжение на конденсаторе и напряженность поля между обкладками?
5. Какой формулой выражается плотность энергии электрического поля?
6. Будет ли меняться напряженность поля между обкладками плоского конденсатора, если раздвигать пластины: а) при отключенном источнике питания (заряд на пластинах не меняется); б) не отключая источник постоянного напряжения? Чтобы ответить правильно, вспомните, что напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бескрайней плоскостью зависит только от по-
верхностной плотности заряда ( ). Рассмотрите, как будет вести себя в случаях а) и б).
Задача. Дан плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S (рис. 1.17). Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х 1 до х 2 , если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора q ; б) напряжение на конден-
Решение. Подумайте, зачем оговаривается, что пластины раздвигаются медленно. Выразите работу как приращение электрической энергии, запасенной в конденсаторе
На что еще могла бы затрачиваться работа, если бы пластины раздвигались быстро («рывком»)?
Запишите два тождественных выражения для энергии конденсатора (через заряд и через напряжение):
Читайте также: