Определить концентрацию свободных электронов в металле
Обновлено: 04.05.2024
Основываясь на модели свободных электронов, можно объяснить целый ряд важных физических свойств металлов.Внимания заслуживают следующие свойства металлов:
1. В изотермических условиях в металле хорошо выполняется закон Ома, связывающий плотность тока J с напряженностью электрического поля Е через скалярную электропроводность s: .
2. Металл очень хороший проводник электричества (электропроводность металла составляет ~(10 6 ¸10 8 ) Ом -1 ×м -1 .
3. Металл обладает высокой электронной теплопроводностью cе. Видеман и Франц заметили, что хороший проводник тепла одновременно является и хорошим проводником электричества. Совпадение отношения (cе/s) для разных металлов при данной температуре носит название закона Видемана-Франца. Лоренц заметил, что отношение (cе/sТ) не зависит от температуры и имеет одинаковую величину для многих металлов, поэтому величину Lº(cе/sТ)называют числом Лоренца.
4. Если металл охлажден ниже некоторой характеристической температуры, связанной с температурой Дебая qД для теплоемкости, то наблюдается рост cе и еще большее возрастание s.
5. При достаточно низкой температуре электропроводность s достигает насыщения, и ее значение при этом определяется примесями и дефектами решетки.
6. Магнитные эффекты в ферромагнитных металлах и сплавах также дают вклад в электрическое удельное сопротивление.
7. Примерно половина металлических элементов при достаточно низких температурах становятся сверхпроводниками.
8. Газ свободных электронов обладает очень малой удельной теплоемкостью, которая пропорциональна абсолютной температуре, а также очень малой магнитной восприимчивостью, которая не зависит от температуры.
9. При наличии комбинации электрического, магнитного и температурного градиентов возникают многочисленные термо-гальвано-магнитные эффекты.
10. В очень чистых монокристаллах в сильно магнитных полях проявляются эффекты, зависящие от ориентации; их величина обнаруживает осциллирующую зависимость от напряженности магнитного поля.
Модель свободных электронов предполагает, что внешние электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в объеме кристаллической решетки. Эти валентные электроны называют электронами проводимости, так как они становятся носителями электрического тока в металле. В основу модели свободных электронов положены упрощения, основными из которых являются:
1. Не учитывается влияние положительно заряженных ионов на движение электронов в промежутках между столкновениями;
2. Отсутствие взаимодействия электронов между собой. Это свойство электронов является следствием принципа Паули. Согласно принципу Паули электрон, находящийся в заполненной оболочке данного атома, должен быть связан исключительно с этим атомом.
Газ свободных, невзаимодействующих электронов, подчиняющихся принципу Паули, называют свободным электронным газом Ферми.
Полную энергию электронов можно считать равной их кинетической энергии, а потенциальной можно пренебречь. Энергия Ферми eFопределяется как энергия электронов на высшем еще заполненном уровне. В одномерном случае:
где nF- квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня; N=2 nF- число электронов; m- масса электрона; L- длина отрезка прямой линии, ограничивающей движение электрона (на краях этого отрезка имеются бесконечной высоты потенциальные барьеры). При повышении температуры кинетическая энергия электронного газа увеличивается. При этом некоторые энергетические уровни, которые при абсолютном нуле были вакантными, оказываются занятыми, и одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле были заняты, становятся вакантными. Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре Т состояние с энергией e занято электронами есть функция распределения Ферми-Дирака:
где m- химический потенциал. m - это максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при абсолютном нуле температуры: m=eF(f(E)=1/2). Наивысший уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.Ему соответствует энергия Ферми EF, которую имеет электрон на этом уровне.
Закон распределения электронов проводимости по энергиям при Т=0К имеет вид:
Общее число электронов проводимости в единице объема металла:
Отсюда: Средняя энергия электрона при Т=0К:
Cкорость электронов на поверхности Ферми равна:
kF-радиус сферической области, заполненной электронными состояниями в k-пространстве. Число состояний на единичный энергетический интервал g(E), называемое плотностью состояний, есть: Число состояний на единичный энергетический интервал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми: g(EF)=3N/2EF.
Теплопроводность металлов.
Металлы в отличие от других твердых тел, как правило, являются хорошими проводниками теплоты и электричества. Согласно закону Видемана-Франца, установленному экспериментально, отношение теплопроводности cе к удельной электропроводности s для большинства металлов пропорционально температуре Т, при этом коэффициент пропорциональности L (число Лоренца) одинаков для всех металлов:
Друде для объяснения такой закономерности положил, что основная часть теплового потока при наличии градиента температуры переносится электронами проводимости. Согласно модели Друде, металл представляется в виде ящика, заполненного свободными электронами, для которых справедливы законы кинетической теории газов. Для достижения электронейтральности металла считалось, что ящик заполнен соответствующим количеством положительно заряженных частиц, которые неподвижны. Электроны распределены по скорости в соответствии с функцией распределения Максвелла-Больцмана:
где n-концентрация электронов. В соответствии с этим распределением электроны при температуре Т обладают всеми возможными значениями скоростей от 0 до +¥, причем при отсутствии внешних сил все направления скоростей равновероятны и постоянно изменяются вследствие столкновений с положительно заряженными частицами. В промежутках между столкновениями взаимодействие электрона с другими электронами и ионами не учитывалось.
При вычислении удельной электропроводности предполагалось, что за единичное время электрон испытывает столкновения (изменяет направление скорости) с вероятностью, равной 1/t, где t- время релаксации, или время свободного пробега электрона. За время t электрон проходит расстояние между столкновениями, равное его средней длине свободного пробега эл.>=ut. Если к двум противоположным концам металла приложить разность потенциалов, создающую в каждой точке металла электрическое поле напряженности Е, то между двумя столкновениями электрон под действием силы: (e-заряд электрона) будет двигаться равномерно ускоренно. Концу промежутка времени t слагающая скорости в направлении вектора изменится на . Так как после столкновения скорость электрона может иметь любые направления, то вклад от u в среднюю скорость электронов равен нулю, а средняя скорость электронов в направлении поля равна среднему значению величины , т.е.:
Это среднее значение скорости в ускоренном движении называется дрейфовой скоростью(отношение - называют подвижностью электронов, размерность м 2 /(В×с)). Существование у всех электронов этой слагающей скорости с постоянным направлением выражается в том, что в направлении, обратном вектору, в металле происходит перемещение отрицательного заряда. При этом плотность тока можно вычислить, пользуясь выражением:
С другой стороны, согласно закону Ома, плотность тока:
Отсюда: При расчете теплопроводности предполагается, что при наличии градиента температуры электроны от столкновения до столкновения проходят одинаковые расстояния, равные средней длине свободного пробега , прежде чем передают свою избыточную тепловую энергию атомам. Применяя к электронному газу представления кинетической теории газов для теплопроводности получаем выражение:
где Сv эл. -теплоемкость электронного газа; - средняя скорость электронов. Тогда отношение: Положив Сv эл =3NkБ/2 и mu 2 /2=3kБT/2, получаем:
Это закон Видемана-Франца. Постоянная L=2,45×10 -8 Вт×Ом/К 2 независимо от сорта металла и носит название числа Лоренца. Число Лорентца, полученное по теории Друде, сильно отличается от экспериментельного значения. Это связано с тем, что теория Друде требует большого числа электронов для объяснения электропроводности и малого – для объяснения теплоемкости. А. Зоммерфельд сохранив основные исходные положения теории, применил приемы квантовой статистики Ферми-Дирака, указав, что для электронов, подчиняющихся принципу запрета Паули, распределение Максвелла-Больцмана должно быть заменено распределением Ферми-Дирака:
Где L=2,45×10 -8 Вт×Ом/К 2 , что находится в согласии с экспериментальными данными.
В общем случае теплопроводность металлов складывается из теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности, обусловленной свободными электронами:
В металлах теплопроводность, обусловленная фононами в 100 раз ниже теплопроводности, обусловленной электронами.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.Найти численное значение уровня Ферми меди при абсолютном нуле, учитывая, что на каждый атом меди в кристалле имеется один электрон проводимости (свободный электрон) и что эффективная масса электронов m* приблизительно равна массе свободных электронов (плотность меди r=8900 кг/м 3 ; молярная масса m=63,5 г/моль).
Найдем связь количества электронов проводимости с уровнем Ферми. Число электронов проводимости в металле может быть найдено с учетом формулы:
где функция распределения Ферми-Дирака. При Т=0 f(E)=1, если EF и f(E)=0, если E>EF.
Плоность разрешенных квантовых состояний электронов внутри энергетической зоны:
где V-объем кристалла; m- масса электрона; E-энергия электрона и h- постоянная Планка.
Отсюда находим концентрацию электронов проводимости в металле:
Откуда энергия Ферми:
По условию задачи концентрация свободных электронов в меди равна концентрации атомов меди: где Vm- объем моля меди, NA- число Авогадро.
Подставляя в формулу значения NA, r и m, получаем:
Пример 2. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в меди при абсолютном нуле, если уровень Ферми для меди равен 7 эВ.
Найдем суммарную кинетическую энергию всех электронов в металле воспользовавшись формулой для распределения Ферми по энергиям для
Среднее значение кинетической энергии электронов:
Подставим численное значение:
ОТВЕТ: 6,7×10 -19 Дж.
Пример 3: Какова вероятность того, что электрон в металле будет иметь энергию равную энергии Ферми?
При Е=m функция Ферми-Дирака:
Вероятность нахождения электрона на уровне Ферми равна 0,5.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
7.1. Концентрация свободных электронов натрия 2,5×10 28 м -3 . Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.
7.2. Определить число электронных состояний в единице объема металла с энергией 0,3-0,4 эВ.
ОТВЕТ: 2,88×10 25 м -3 .
7.3. Каковы соответственно вероятности того, что при комнатной температуре электрон займет состояния, лежащие на 0,1 эВ выше и на 0,1 эВ ниже уровня Ферми?
ОТВЕТ: 1,79×10 -2 ; 0,98.
7.4. При абсолютном нуле уровень Ферми для меди 7 эВ. Определить значение уровня Ферми при 20 К.
7.5. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 18 0 С.
7.6. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся на DЕ=0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми в случае: 1. Т1=290 К; 2.Т2=58 К.
ОТВЕТ: 0,119; 0,881; 4,5×10 -5 ; 0,999.
7.7. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется от 200 до 300К?
ОТВЕТ: Уменьшится в 1,1 раза.
7.8. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при абсолютном нуле. Уровень Ферми для натрия 3,12 эВ. Плотность натрия 970 кг/м 3 , молярная масса натрия равна 22,99 г/моль.
ОТВЕТ: 0,98 1/атом.
7.9. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при 0 К, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны 11,7 эВ и 7 эВ? Плотность меди 8900 кг/м 3 , плотность алюминия – 2690 кг/м 3 .
7.10. Вычислить энергию Ферми при Т=0 К для алюминия. Считать, что на каждый атом алюминия приходится 3 свободных электрона. Плотность алюминия – 2690 кг/м 3 , молярная масса – 26,98 г/моль.
7.11. Определить концентрацию свободных электронов в металле при абсолютном нуле. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.
ОТВЕТ: 4,58×10 27 м -3 .
7.12. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т=0К в литии и цезии, если известно, что уровень Ферми в этих металлах соответственно равен: 4,72 эВ и 1,53 эВ.
7.13. Вычислить суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в 1 см 3 цезия при 0 К.
7.14. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в металле при абсолютном нуле, если уровень Ферми равен 11,7 эВ.
7.15. Определить максимальную и среднюю квадратичную скорости свободных электронов кальция при Т=0К. Считать, что на каждый атом кальция приходится два свободных электрона.
ОТВЕТ: umax=1,28×10 6 м/сек; uкв.=0,99×10 6 м/сек.
7.16. Металл находится при абсолютном нуле температуры. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от EF/2 до EF больше числа электронов с энергией от нуля до EF/2.
ОТВЕТ: В 1,83 раза.
7.17. Вычислить теплоемкость электронов проводимости единицы объема меди при температуре 100 К, считая, что концентрация электронов равна числу атомов в единице объема. Значение уровня Ферми для меди принять равным 7 эВ. Плотность меди – 8900 кг/м 3 , молярная масса- 63,57 г/моль.
ОТВЕТ: 7×10 3 Дж/(град×м 3 ).
7.18. Исходя из классической теории электропроводности металлов, определить среднюю кинетическую энергию электронов в металле, если отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости c/s=6,7×10 -6 в 2 /К.
ОТВЕТ: 3,77×10 -21 Дж.
7.19. Концентрация свободных электронов алюминия 18,06×10 22 см -3 . Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.
ОТВЕТ: 13,5×10 4 К; 2,02×10 6 м/сек.
7.20. Электропроводность металла s=10 Мом -1 ×м -1 . Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация свободных электронов равна 10 28 м -3 , а средняя скорость хаотического движения электронов равна 10 4 м/с.
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
И их основные свойства
Проводниками электрического тока в соответствии с терминами и определениями ГОСТ Р 52002-2003 называют вещества, основными электрическими свойствами которых является высокая электропроводность. Их удельное сопротивление при нормальной температуре лежит в пределах от 0,036 до 300 мкОм·м. Эти материалы используют для изготовления токоведущих частей электроустановок. Чаще всего в качестве проводников электрического тока используют твердые тела, реже жидкости и газы в ионизированном состоянии.
Механизм прохождения тока в металлах — как в твердом, так и в жидком состоянии - обусловлен направленным движением (дрейфом) свободных электронов под воздействием электрического поля; поэтому металлы называют проводниками с электронной электропроводностью или проводниками первого рода.
Важнейшими практически применяемыми в электротехнике твердыми проводниковыми материалами являются металлы и их сплавы. Основные свойства металлов приведены в табл 3.3.
Классификация металлических проводников. Металлические проводниковые материалы подразделяются на следующие основные группы:
Металлы высокой проводимости, имеющие удельное сопротивление ρ при нормальной температуре не более 0,05 мкОм∙м, Металлы высокой проводимости используются для изготовления проводов, токопроводящих жил кабелей, обмоток электрических машин и трансформаторов.
Сверхпроводники – это материалы (чистые металлы и сплавы), удельное сопротивление которых при весьма низких температурах, близких к абсолютному нулю скачком уменьшается до ничтожно малой величины.
Высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) – это проводники, имеющие температуру перехода в сверхпроводящее состояние выше 30К.
Криопроводники – это металлические проводники высокой проводимости, удельное сопротивление которых плавно снижается при понижении температуры и при криогенных температурах (Т
Сплавы высокого сопротивления с ρ при нормальной температуре не менее 0,3 мкОм ּ м. Металлы и сплавы высокого сопротивления применяются для изготовления резисторов, электронагревательных приборов, нитей ламп накаливания и т. п.
Металлы и сплавы различного назначения. К ним относятся тугоплавкие и легкоплавкие металлы, а также металлы и сплавы для контактов электрических аппаратов.
Классификация неметаллических проводников. К неметаллическим твердым проводникам относятся:
Угольные материалы - это материалы на основе углерода. Из углеродных материалов изготавливают щетки электрических машин, токосъемные вставки для токоприемников электровозов, электроды для прожекторов и дуговых электрических печей. Угольный порошок применяют в микрофонах.
Композиционные проводящие материалы – это искусственные материалы с электронным характером электрической проводимости, состоящие из проводящей фазы, связующего вещества и заполнителей с высокими диэлектрическими свойствами.
Классификация жидких и газообразных проводников. К жидким проводникам относятся:
Расплавленные металлы. В качестве жидкого металлического проводника при нормальной температуре может быть использована только ртуть (Hg), температура плавления которой около минус 39 °С. Другие металлы могут быть жидкими проводниками только при повышенных температурах, превышающих их температуру плавления.
Электролиты или проводники второго рода - это растворы кислот, щелочей и солей. Электропроводность в электролитах носит ионный характер, так как электрический ток в них обусловлен направленным движением анионов и катионов. Процесс прохождения электрического тока через электролит называют электролизом. В соответствии с законами Фарадея, при прохождении тока через электролиты вместе с переносом электрических зарядов происходит перенос ионов электролита, т. е. ионов проводящего вещества, вследствие чего состав электролита постепенно изменяется, а на электродах выделяются продукты электролиза. Ионные кристаллы в расплавленном состоянии также являются проводниками второго рода.
К газообразным проводникам относятся: все газы и пары, в том числе и пары металлов. При низких напряженностях электрического поля газы являются хорошими диэлектриками. Если же напряженность электрического поля превзойдет некоторое критическое значение, при котором начинается ударная ионизация, то в этом случае газ может стать проводником с электронной и ионной проводимостью. Сильно ионизированный газ при равенстве числа электронов в единице объема числу положительных ионов представляет собой особую проводящую среду, носящую название плазмы.
Газы и пары металлов в качестве проводников используются в газоразрядных лампах освещения. Среди газоразрядных источников оптического излучения наиболее распространены лампы, в которых используется разряд в парах ртути. Это люминесцентные лампы низкого давления (до 0,03МПа) и дуговые ртутные лампы (ДРЛ) высокого давления (0,03-3МПа).
Рассмотрим подробнее механизмы проводимости и основные свойства металлических проводников, наиболее широко применяемых в технике. Они являются основным видом проводниковых материалов в электро- и радиотехнике.
Электропроводность металлов. Твердый металлический проводник представляет собой кристаллическую решетку, в узлах которой расположены положительно заряженные ионы. В пространстве между ионами находятся свободные электроны, которые образуют так называемый электронный газ. Электронный газ и положительные ионы металла, взаимодействуя между собой, образуют прочную металлическую связь. При отсутствии электрического поля свободные электроны, находятся в состоянии хаотического теплового движения, сталкиваясь с колеблющимися атомами кристаллической решетки.
Для электронного газа, как и для обычных газов, используют законы статистики. Рассмотрим основные положения этих законов. Среднее расстояние, проходимое электронами между двумя столкновениями с узлами решетки, называют длиной свободного пробега . Средний промежуток времени между двумя столкновениями называют временем свободного пробега, которое определяют как:
где - средняя скорость теплового движения свободных электронов в металле. При Т=300К средняя скорость =30 5 м/с =300км/с.
Скорости хаотического теплового движения электронов (при определенной температуре) для различных металлов примерно одинаковы. Примерно одинаковы и концентрации свободных электронов n в разных металлах. Поэтому значение удельной проводимости (или удельного сопротивления) в основном зависит лишь от средней длины свободного пробега электронов λ в данном проводнике. Эта длина в свою очередь, определяется структурой проводникового материала. Поэтому все чистые металлы с идеальной кристаллической решеткой характеризуются наименьшими значениями удельного сопротивления; примеси же, искажая кристаллическую решетку, приводят к увеличению ρ.
Если в проводнике существует электрическое поле Е=const, то со стороны этого поля на электроны действует сила . Под действием этой силы электроны приобретают ускорение , пропорциональное напряженности электрического поля E, в результате чего возникает направленное движение электронов. Такое направленное движение называют дрейфом электронов. Скорость направленного движения или дрейфа значительно меньше скорости теплового движения. Во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега максимальную скорость
где - время свободного пробега.
В конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки, отдает им приобретенную в электрическом поле энергию, и скорость его становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона будет равна:
где e=3,602·30 -39 Кл – заряд электрона, m=9,3·30 -33 кг – масса электрона.
Направленное движение электронов создает электрический ток, плотность которого согласно классической теории металлов равна:
Здесь n - концентрация свободных электронов в металле, т. е. число свободных электронов в единице объема металла,
- удельная электрическая проводимость металла, которая тем больше, чем больше концентрация n свободных электронов и средняя длина λ их свободного пробега, См/м (Сименс, деленный на метр),
- удельное электрическое сопротивление – величина, обратная удельной электрической проводимости, Ом∙м (Ом, умноженный на метр).
Удельная проводимость γ не зависит от напряженности электрического поля Е при изменении ее в широких пределах. Уравнение (3.4) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме.
Если считать, что концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, то эти концентрации можно найти по формуле:
где d- плотность вещества,
NA =6,022·30 23 моль -3 - число Авогадро – число структурных элементов (атомов, молекул, ионов и др.) в единице количества вещества. (моле, равном грамм-атому) ,
A – атомная масса (ранее называлась атомным весом) – масса атома химического элемента, выраженная в атомных единицах массы (а.е.м.). Атомная единица массы равна 3/32 массы изотопа углерода с массовым числом 32 (≈3,6605402·30 -24 г).
При движении свободных электронов в металле под действием электрического поля, они приобретают дополнительную кинетическую энергию, которую отдают узлам кристаллической решетки при столкновении с ними. Отданная энергия превращается в тепловую, в результате чего температура металла повышается. Мощность удельных потерь p, выделяющихся в проводнике и нагревающих его, определяют по закону Джоуля-Ленца, который в дифференциальной форме имеет вид:
Отметим, что при температуре, равной 0 0 К скорость теплового движения электронов будет равна нулю. Они не будут сталкиваться с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Длина свободного пробега λ электронов будет равна бесконечности, а удельное сопротивление ρ будет равно нулю (удельная проводимость равна бесконечности). Проводник в этом случае нагреваться не будет.
Пример 3.1 Вычислить концентрацию n свободных электронов в меди при температуре 300К. Плотность меди d=8,94 Мг·/м 3 . Атомная масса меди А=63,54 а.е.м..
Решение. Концентрация свободных электронов в меди находится по формуле:
Здесь NA =6,022·30 23 моль -3 – число Авогадро.
Пример 3.2. В медном проводнике под действием электрического поля проходит электрический ток плотностью . Определить среднюю скорость дрейфа электронов.
Решение. Электрический ток равен количеству зарядов, проходящих за единицу времени через поперечное сечение проводника. Если за время t проходит заряд q, то электрический ток равен: . Заряд q равен: , где e=3,602·30 -39 Кл – заряд электрона, n=8,47·30 28 м -3 – концентрация электронов в меди (см. пример 3.3), V=lS- -объем электронов, проходящих через поперечное сечение S проводника за время t, l – длина объема V электронов, проходящих через поперечное сечение проводника за время t. Следовательно, выражение для тока примет вид:
Здесь - средняя скорость дрейфа электронов.
Пример 3.3. За какое время электрон в проводе линии связи преодолеет расстояние L=3км, если он будет двигаться без столкновения с узлами кристаллической решетки? Разность потенциалов на концах провода U=300В.
Решение. Если электрон будет двигаться без столкновения с узлами кристаллической решетки, то его движение будет равноускоренным и пройденный путь L найдется из выражения: ,
где - ускорение электрона,
e=3,602·30 -39 Кл –заряд электрона,
m=9,33·30 -33 кг – масса покоя электрона.
Пример 3.4.Найти время передачи электрического сигнала по медному проводу длиной L=3км.
Решение. Передача энергии вдоль проводов воздушной линии электропередачи производится электромагнитным полем, которое распространяется вдоль линии со скоростью света с=3·30 8 м/с. Для воздушной линии время передачи сигнала электромагнитным полем будет равно:
Двойственная природа электрона, т.е. свойство корпускулярно-волнового дуализма обусловила то обстоятельство, что движущиеся в металлах свободные электроны (электроны проводимости) следует рассматривать и как корпускулярные частицы, и как частицы, обладающие волновыми свойствами. С этой точки зрения движение электронов в металле – это распространение электромагнитной волны в твердом теле. Сопротивление металла возникает в результате рассеяния этой волны на тепловые колебания кристаллической решетки. Согласно представлениям волновой теории удельное сопротивление металлов также связано с длиной свободного пробега электронов . Это соотношение записывается так:
Здесь h – постоянная Планка.
Исходя из волновой природы электронов, также можно придти к выводу, что чистые металлы обладают наименьшим значением удельного сопротивления. Это связано с тем, что рассеяние электронных волн происходит на дефектах кристаллической решетки, которые соизмеримы с расстоянием порядка четверти длины электронной волны. В металлическом проводнике длина волны электрона порядка –5нм (нанометр=30 -9 м). Дефекты решетки с размерами меньше чем 5/4нм не вызывают заметного рассеяния электромагнитных волн. Дефекты больших размеров вызывают рассеяние энергии, в результате чего электрическое сопротивление увеличивается. В идеальных кристаллах при Т=0 0 К электромагнитные волны должны распространяться без рассеяния и удельное сопротивление ρ должно быть равно нулю. Это значит, что в идеальном кристалле при Е=0К длина свободного пробега электронов стремится к бесконечности. Подтверждением этого положения является тот факт, что сопротивление чистых отожженных металлов стремится к нулю, когда термодинамическая температура приближается к абсолютному нулю. Рассеяние энергии, приводящее к появлению сопротивления, возникает в тех случаях, когда в решетке имеются различные виды нарушения ее правильного строения. Любые неоднородности структуры препятствуют распространению электронных волн и вызывают рост удельного сопротивления материала.
Пример 3.5. Вычислить среднюю длину свободного пробега электрона в меди при Т=300К, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,037 мкОм·м, а концентрация свободных электронов в меди n= 8,47·30 28 м -3 .
Решение. Удельное сопротивление металлов связано со средней длиной свободного пробега соотношением: .
Здесь h=6,62·30 -34 Дж·с - постоянная Планка,
e=3,602·30 -39 Кл - заряд электрона.
Отсюда выразим среднюю длину свободного пробега электрона:
Пример 3.6. Сколько электронов пройдет через поперечное сечение проводника за время t=2с, если по проводнику проходит ток I=8А.
Решение. За время t через поперечное сечение проводника проходит заряд q, равный: . Количество электронов:
Здесь e=3,602·30 -39 Кл –заряд электрона,
Основные свойства металлических проводников:К важнейшим параметрам, характеризующим свойства проводниковых материалов, относятся: 3) удельная проводимость γ или обратная ей величина - удельное сопротивление ρ, 2) температурный коэффициент удельного сопротивления ТКρ или αρ, З) коэффициент теплопроводности λТ (ранее его обозначали γT), 4) удельная теплоемкость с; 5) удельная теплота плавления rT ;6) температурный коэффициент линейного расширения ТКЛР; 7) работа выхода электронов из металла А, 8) контактная разность потенциалов и термоэлектродвижущая сила eT (термо-ЭДС.), 9) предел прочности при растяжении σρ и относительное удлинение при разрыве Δl/l.
Связь плотности тока δ, (А/м²), и напряженности электрического поля Е (В/м), в металлическом проводнике, как уже было показано выше, дается известной формулой (3.4) δ = γE, называемой дифференциальной формой закона Ома.
Для проводника, имеющего сопротивление R длину l и постоянное поперечное сечением S, удельное сопротивление ρ вычисляют по формуле
ρ = RS/l. (3.8)
Для измерения ρ проводниковых материалов разрешается пользоваться внесистемной единицей Ом·мм²/м. Связь между названными единицами удельного сопротивления такая:
3 Ом·м = мкОм·м = Ом·мм²/м, т.е. 3Ом·мм 2 /м=3мкОм·м.
Диапазон значений удельного сопротивления ρ металлических проводников при нормальной температуре довольно узок: от 0,036 для серебра и примерно до 3,4 мкОм·м для железохромо-алюминиевых сплавов.
Пример 3.7Проводник длиной L=50 м и диаметром d=0,5мм включен в электрическую цепь. По проводнику проходит ток I=7А, а напряжение на концах проводника U=50В. Определить удельное сопротивление проводника и материал, из которого он изготовлен.
Решение. Из выражения найдем:
Судя по величине удельного сопротивления, провод выполнен из алюминия.
Сопротивление проводника зависит от частоты протекающего по нему тока. Известно, что на высоких частотах плотность тока изменяется по сечению проводника. Она максимальна на поверхности и убывает по мере проникновения вглубь проводника. Происходит вытеснение тока к поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектом. Он тем сильнее, чем выше частота. Поскольку площадь сечения, через которое протекает ток уменьшилась, то сопротивление провода переменному току стало больше, чем его сопротивление постоянному току. За глубину проникновения тока в проводник на данной частоте принимают глубину, на которой плотность тока уменьшается в е=2,72 раза .по сравнению с ее значением на поверхности проводника.
Пример 3.5. Определить, во сколько раз сопротивление Rf медного провода круглого сечения диаметром d=0,9 мм на частоте f=5МГц больше сопротивления R0 этого провода на постоянном токе.
Решение. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник определяется по формуле:
где - удельное сопротивление меди;
Гн/м –магнитная постоянная;
- относительная магнитная проницаемость меди.
Коэффициент увеличения сопротивления провода круглого сечения определится:
Для случая, когда членом в знаменателе можно пренебречь и формула, упрощаясь, примет вид:
Примеры решения задач
Пример 1. Определить температуру, при которой в проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%.
Решение: Система подчиняется распределению Ферми-Дирака (3.31). В это выражение подставляем исходные данные:
Проведя необходимые вычисления, получим:
Пример 2. Плотность металла γ = 8,9?10 3 кг/м 3 , молярная масса М = 63,5 , валентность – 1. Найти концентрацию электронного газа и энергию Ферми (Т = 0).
Решение: Определим концентрацию носителей заряда:
Энергия Ферми определим из соотношения (3.36):
Подставляя необходимые данные и проведя расчеты, получим искомые результаты:
Пример 3. Определить концентрацию носителей заряда в чистом германии при Т = 300К. На сколько градусов нужно повысить температуру от начальной (300К), чтобы число электронов проводимости в германии увеличилось в двое.
Решение: Используя выражение для концентрации носителей (3.39), найдем отношение концентраций электронов:
Учитывая, что степенная функция температуры значительно слабее экспоненциальной, можно записать:
Подставляя исходные данные и проведя необходимые вычисления, получим:
Т.е. необходимо увеличить температуру на 17К.
Пример 4. Определить положение уровня Ферми в германии п-типа при Т = 300К, если на 2·10 6 атомов германия приходится один атом примеси. Концентрация атомов в германии равна 4,4·10 28 м -3 . Предэкспоненциальный множитель , , .
Решение: Концентрация свободных электронов определяется из условий:
где Nпр – концентрация примеси.
Для величины концентрации основных носителей справедливо известное соотношение:
Можно записать выражение:
После логарифмирования равенства получим:
следовательно, уровень Ферми находится на 0,18 эВ ниже дна зоны проводимости.
Пример 5 . Найти положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны при Т = 300 К для кристалла германия, содержащего 5·10 16 см -3 атомов мышьяка.
Решение: Воспользуемся формулой, полученной в примере 4.
Считаем, что т.е. все примесные атомы однократно ионизированы.
Поскольку ширина запретной зоны германия 0,66 эВ, то уровень Ферми находится на 0,17 эВ выше середины запрещенной зоны.
Пример 6. Удельное сопротивление собственного германия при Т = 300К составляет 0,43 Ом·м Подвижности электронов и дырок равны соответственно 0,39 и 0,19 м 2 /(В·с). Определите собственную концентрацию электронов и дырок.
Решение.
Удельная проводимость полупроводника σ определяется из уравнения
Пример 7. Образец германия легирован примесью атомов сурьмы так, что 1 атом примеси приходиться на 2·10 6 атомов германия (N). Предполагается, что все атомы примеси ионизированы при 300 К и концентрация атомов германия NGe = 4,4·10 28 м −3 . Определить концентрацию электронов, дырок, удельное сопротивление материала, коэффициенты диффузии электронов и дырок.
Решение.
Определим концентрацию донорных примесей
Собственная концентрация носителей была определена и равна 2,5·10 19 м −3 , можно найти концентрацию дырок
Удельное сопротивление легированного полупроводника можно определить как .
Определим коэффициенты диффузии электронов и дырок в германии при Т=300К с помощью соотношения Эйнштейна D = kTμ/e.
Пример 8. В электронном германиевом полупроводнике длиной l = 1 м один конец нагрет и существует распределение концентрации носителей
Какова скорость изменения концентрации носителей в его центре, если напряжение на его концах U = 1 В.
Решение. Запишем уравнение непрерывности (3.48) в виде
Найдем производные и напряженность поля:
Подставив справочные данные (см. приложение), получим
Пример 9. Определить ток, протекающий через тонкую пленку, если известно, что этот ток ограничен пространственным зарядом, площадь контакта S = 1 мм 2 , толщина пленки d = 1·10 -8 м, μn = 20 см 2 /Вс, ε = 3,8, U = 10 мВ.
Решение. Используем формулу (3.50):
Подставим необходимые данные, проведем вычисления и получим ответ
Задачи
3.1. Какова вероятность заполнения электронами уровней расположенных на kT; 2kT; 3kT выше и ниже уровня Ферми.
3.2. На каком расстоянии (в единицах kT) от уровня Ферми находятся уровни, вероятность заполнения которых 0,1 и 0.9.
3.3. Вычислить среднюю энергию свободных электронов в металлическом натрии при Т = 0 К. Известно, что 1 м 3 натрия содержит 2,53·10 28 атомов.
3.4. Определить концентрацию n свободных электронов в металле при Т = 0К. Энергия Ферми 1 эВ.
3.5. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0К в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны 4,72 эВ и 1,53 эВ.
3.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при Т = 0 К если уровень Ферми 7 эВ
3.7. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (Т = 0 К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на ΔEk концентрации nmin электронов, энергии которых не превышают значения E = ?E; ?E принять равным 0,01EF
3.8. Определить максимальную скорость Vmax электронов в металле при Т = 0К, если EF =5 эВ
3.9. Металл находиться при температуре Т = 0 К. Определить во сколько раз число электронов со скоростями до больше числа электронов со скоростями от 0 до Vmax/2.
3.10. Определить уровень Ферми EF в собственном полупроводнике, если энергия активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять дно зоны проводимости.
3.11. Определить концентрацию свободных носителей заряда в чистом кремнии при Т = 300 К.
3.12. Во сколько раз изменится концентрация собственных носителей заряда в кремнии при увеличении его температуры с 300 до 400 К?
3.13. Найти положение уровня Ферми в собственном полупроводнике относительно средины запрещенной зоны при Т = 300 К, если эффективная масса электрона в два раза больше эффективной массы дырки.
3.14. В чистом полупроводнике при Т = 300 К концентрация собственных носителей составляет 1,5·10 16 м -3 эффективные массы электронов проводимости и дырок одинаковы. Определить EF.
3.15. При какой температуре концентрация собственных носителей в кремнии будет равна концентрации собственных носителей в германии при Т = 300К.
3.16. Какова вероятность найти электрон на дне зоны проводимости в собственном германии (Eq= 0,72 эВ), если температура образца равна: а). 30 К; б). 300 К; в). температура плавления 937ºС?
3.17. Какова вероятность найти электрон на дне зоны проводимости при Т = 300 К; а). в собственном германии (Eg = 0,72 эВ); б). собственном кремнии (Eg = 1,12 эВ); в). в алмазе(Eg = 5,6 эВ)? Что означают эти результаты?
3.18. Уровень Ферми полупроводника находиться на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстоянии 3kT выше дна зоны проводимости, заняты электронами? Какова вероятность того, что потолок валентной зоны, содержит дырки, если
Eg = 1,1 эВ.
3.19. Вычислить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости при Т = 400 К для кристалла германия содержащего 5·10 16 атомов сурьмы в 1 см 3
3.20. Удельная проводимость кремния примесями равна 112 См/м. Определить подвижность дырок и их концентрацию, если постоянная Холла 3,66·10 -4 м 3 /Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.
3.21. Определить удельное электрическое сопротивление кремния при температуре 300 К если концентрация донорной примеси равна 10 20 м -3 . Подвижность электронов в кремнии при 300 К принять равной
0,14 м 2 /(В·с).
3.22. Концентрация носителей в кремнии равна 5·10 10 см -3 , подвижность электронов μn = 0,15 м 2 /(В·с) и дырок μp = 0,05 м 2 /(В·с). Определить сопротивление кремниего стержня длинной 5 см и сечением 2 мм 2 .
3.23. Определить удельное электрическое сопротивление кремния p-типа при температуре 300 К, если концентрация акцепторной примеси 20 м -3 . Подвижность дырок при температуре 300 К принять равной 0,05 м 2 /(В·с)
3.24. Образец германия содержит примесь фосфора 2·10 20 м -3 . Определить а). удельное сопротивление и тип проводимости при 300К; б). концентрацию германия необходимую для изменения типа проводимости, чтобы удельное сопротивление стало равным 0,006 Ом·м; в). процент содержания примеси в этом образце. Принять μn = 0,39 м 2 /(В·с); μp = 0,19 м 2 /(В·с) при Т = 300К.
3.25. Определить удельную электропроводимость кремния при Т = 300К, если Na = 2,3·10 19 м 3 ; Nд = 2,2·10 19 м -3 .
3.26. Ток j = 10 3 A/м 2 течет через кристалл германия n-типа с ρ = 0,05 Ом·м. За какое время электроны пройдут расстояние 5·10 -5 м?
3.27. Образец кремния p-типа длинной 5 м, шириной 2 мм, толщиной 1 мм и имеет сопротивление 100 Ом. Определить концентрацию примеси и отношение электронной проводимости к дырочной. Принять ni = 2,5·10 16 м -3 ; μn = 0,12 м 2 /(В·с); μp= 0,025 м 2 /(В·с) Т = 300К.
3.28. Термистор из собственного кремния имеет сопротивление 600 Ом при 300К. Вычислить его сопротивление пи 325К, предполагая, что ширина запрещенной зоны кремния 1,1 эВ и что подвижности носителей μn и μp не изменяются в этом интервале температур.
3.29. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 3,66·10 -4 м 3 /Кл, удельное сопротивление образца ρ = 993·10 3 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, предполагая, что заряды одного знака.
3.30. Определить относительное положение уровня Ферми в кремниевом полупроводнике p-типа и концентрацию неосновных носителей заряда, если концентрация акцепторной примеси 10 16 см -3 , а Т = 300К.
3.31. В кристалле германия n-типа на каждые 10 8 атомов германия приходиться один атом донорной примеси. Полагая, что эффективная масса электрона , найти положение уровня Ферми относительно дна зона проводимости (Т=300К)
3.32. В кристалле кремния p-типа на каждые 10 8 атомов кремния приходиться один атом акцепторной примеси. Найти положение уровня Ферми при комнатной температуре относительно валентной зоны.
3.33. Определить концентрацию электронов и дырок при Т = 300К: а). в собственном кремниевом полупроводнике; б). в кристалле кремния, содержащим 5·10 17 атомов сурьмы в 1 см 3 .
3.34. Определите: а). удельное сопротивление собственного германия при Т = 300К; б). чему будет равно удельное сопротивление, если к этому образцу добавить донорную примесь так чтобы один атом донорной примеси приходился на каждые 10 8 атомов германия?
3.35. Определить: а). удельное сопротивление собственного кремния при Т = 300К; б). каково будет удельное сопротивление этого кремния, если к этому образцу добавить донорную примесь так, чтобы один атом донорной примеси приходился на каждые 10 8 атомов германия?
3.36. Образец собственного кремния имеет удельное сопротивление 2000 Ом·м при комнатной температуре и концентрации электронов проводимости ni = 1,4·10 16 м -3 . Определить удельное сопротивление образца, легированного акцепторной примесью с концентрацией 10 21 и 10 23 м -3 . Предположите, что подвижность остается одинаковой как для собственного так и для примесного кремния и равной μp = 0,25 μn.
3.37. Определить концентрацию неосновных носителей заряда, их подвижность в образце германиевого полупроводника p-типа, если концентрация акцепторной примеси 10 -16 см -3 , а коэффициент диффузии электронов Dn = 93 см 2 /с (Т=300К).
3.38. Определить удельную проводимость образца кремния при Т=300К, если концентрация акцепторов в полупроводнике Na = 2,3·10 13 см -3
3.39. Покажите, что полупроводник имеет минимальную удельную проводимость при данной температуре, когда концентрация электронов . Чему равна концентрация дырок в этих условиях?
3.40. Изменение удельной проводимости германия показало, что она изменяется с температурой по закону exp (-4350/Т). Требуется определить ширину запрещенной зоны германия.
3.41. Определить среднюю скорость дрейфа электронов и дырок в германии при 300К, если к образцу приложено электрическое поле с напряженностью E = 10, 100 и 1000 В/см.
3.42. Решить предыдущую задачу для кремния.
3.43. Определите длину диффузионного смещения электрона при Т = 300К в кристалле германия n-типа, если подвижность электронов 3900 см 2 /(В·с), а время их жизни τn = 100 мкс.
3.44. Образец дырочного антимонида индия имеет подвижность электронов 6,2 м 2 /(В·с) при Т = 290К. Вычислить диффузионную длину неосновных носителей заряда, если их время жизни τ = 3 ·10 -8 с.
3.45. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 9,93·10 -4 м 3 /Кл, удельное сопротивление образца ρ = 9,93·10 3 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, предполагая, что эти носители одного знака.
3.46. Образец полупроводника имеет коэффициент Холла
Rн = 3,66·10 -4 м 3 /Кл и удельное сопротивление ρ = 8,93·10 -3 Ом·м. Для обнаружения эффекта Холла образец помещается в магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл. Определить угол Холла.
3.47. Образец полупроводника 30 мм´5 мм´1 мм имеет сопротивление 500 Ом. При помещении его в магнитное поле В = 0,5 Тл, перпендикулярное плоскости пластины. На гранях образца возникает ЭДС Холла UН = 5 мB при токе через образец 10 мА. Определить подвижность Холла и плотность носителей в полупроводнике, считая, что он p-типа. До какого значения изменится ЭДС Холла, если в то же поле поместить образец меди таких же размеров и несущий такой же то nси = 8,5·10 28 м -3 .
3.48. Образец германия n-типа имеет удельное сопротивление
ρ = 1,5 Ом·см; Rн = 5,4·10 3 см 3 /Кл. Определить концентрацию основных носителей заряда и подвижность.
3.49. Удельное сопротивление легированного кристалла кремния ρ = 9,27·10 3 Ом·м и Rн = 3,8·10 4 м 3 /Кл. Найти концентрацию и подвижность носителей, если имеется только один тип носителей.
3.50. Коэффициент Холла образца примесного кремния равен 3,66·10 -4 м 3 /Кл, удельное сопротивление образца ρ = 9,93·10 3 Ом·м. Определить концентрацию и подвижность носителей заряда, если заряды одного знака.
3.51. Оценить факторы, влияющие на величину слагаемых уравнения непрерывности.
3.52. Проанализировать возможные варианты уравнения непрерывности.
3.53. Оценить ток в полупроводнике, пользуясь уравнением непрерывности.
3.54. Через тонкую диэлектрическую пленку течет ток надбарьерной инжекции. Оценить его величину, если Т = 300К, Ф0 = 2 эВ, S = 1 мм 2 .
3.55. Рассчитать ток, ограниченный пространственным зарядом через тонкую диэлектрическую пленку, если ε = 5, μn = 2 см 2 /вс, d = 10 -8 м,
U = 20 мВ.
Определить концентрацию свободных электронов в металле
Физика твердого тела
§ 51. Электрические и магнитные свойства твердых тел
Условия задач и ссылки на решения:
51.1 Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре T=0 К. Энергию Ферми ε принять равной 1 эВ.
РЕШЕНИЕ
51.2 Определить отношение концентраций n1/n2 свободных электронов при Т=0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны еj,1=4,72 эВ, ej,2 = 1,53 эВ.
РЕШЕНИЕ
51.3 Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т= 0 К. Уровень Ферми еj для натрия равен 3,12 эВ. Плотность ρ натрия равна 970 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
51.4 Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0. больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны еj1=11,7эВ, ej2 =7,0 эВ?
РЕШЕНИЕ
51.5 Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале Δе=0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) T1=290 К; 2) T2=58 К.
РЕШЕНИЕ
51.6 Вычислить среднюю кинетическую энергию е электронов в металле при температуре T=0 К, если уровень Ферми еj=7 эВ.
РЕШЕНИЕ
51.7 Металл находится при температуре T=0 К. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от еf/2 до еf, больше числа электронов с энергией от 0 до еf/2.
РЕШЕНИЕ
51.8 Электроны в металле находятся при температуре Т=0 К. Найти относительное число ΔN/N свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.
РЕШЕНИЕ
51.9 Оценить температуру Tкр вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность ρ калия 860 кг/м3.
РЕШЕНИЕ
51.10 Определить отношение концентрации n max электронов в металле (при T=0 К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на Δе, к концентрации электронов n min, энергии которых не превышают значения е=Δе; Δе принять равным 0,01еf.
РЕШЕНИЕ
51.11 Зная распределение dn(е) электронов в металле по энергиям, установить распределение dn(p) электронов по импульсам. Найти частный случай распределения при T=0 К.
РЕШЕНИЕ
51.12 По функции распределения dп (р) электронов в металле по импульсам установить распределение dn(v) по скоростям: 1) при любой температуре T; 2) при T=0 К.
РЕШЕНИЕ
51.13 Определить максимальную скорость vmах электронов в металле при T=0 К, если уровень Ферми еf=5эВ.
РЕШЕНИЕ
51.14 Выразить среднюю скорость (v) электронов в металле при T=0 К через максимальную скорость v mах. Вычислить (v) для металла, уровень Ферми еf которого при T=0 К равен 6эВ.
РЕШЕНИЕ
51.15 Металл находится при температуре T=0 К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от v max/2 до v mах больше числа электронов со скоростями от 0 до vmax/2.
РЕШЕНИЕ
51.16 Выразить среднюю квадратичную скорость √(v2) электронов в металле при T=0 К через максимальную скорость vmax электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной.
РЕШЕНИЕ
51.17 Зная распределение dn(v) электронов в металле по скоростям, выразить (1/v) через максимальную скорость vmax электронов в металле. Металл находится при T=0 К.
РЕШЕНИЕ
51.18 Определить уровень Ферми еf в собственном полупроводнике, если энергия ΔЕ0 активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости.
РЕШЕНИЕ
51.19 Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление ρ=0,48 Ом*м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижности bnи bp электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м2/(В*с).
РЕШЕНИЕ
51.20 Удельная проводимость γ кремния с примесями равна 112 См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла RH=3,66*10-4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью.
РЕШЕНИЕ
51.21 В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома но модели Бора, оценить его энергию E связи и радиус г орбиты. Диэлектрическая проницаемость е германия равна 16.
РЕШЕНИЕ
51.22 Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l= 1 см и длиной L= 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U=300 B. Определить холловскую разность потенциалов UH на гранях пластины, если постоянная Холла RH=0,1 м3/Кл, удельное сопротивление ρ=0,5Ом*м.
РЕШЕНИЕ
51.23 Тонкая пластина из кремния шириной l=2см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (B=0,5 Тл). При плотности тока j=2 мкА/мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов Uн оказалась равной 2,8 B. Определить концентрацию n носителей заряда
РЕШЕНИЕ
51.24 Определить гиромагнитное отношение γ для свободного электрона.
РЕШЕНИЕ
51.25 Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (B0=1 Тл). Определить частоту v0 переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии электроном (g-фактор для свободного электрона равен 2).
РЕШЕНИЕ
51.26 Определить отношение ωЭПР/ωЦИК резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (g фактор равен 2,00232).
РЕШЕНИЕ
51.27 Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту v0=9,9 ГГц. Определить магнитную индукцию поля В0, при которой происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (g фактор равен 2).
РЕШЕНИЕ
51.28 Определить гиромагнитное отношение γ для свободного протона.
РЕШЕНИЕ
51.29 Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (В0= 1 Тл). Определить частоту v0 переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии протоном (g-фактор равен 5,58).
РЕШЕНИЕ
51.30 В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов 25Mg в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции B0 поля, равной 0,54 Тл, и частоте v0 переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц. Определить ядерный g-фактор.
РЕШЕНИЕ
51.31 Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейтрона. Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индукции В0 поля, равной 0,682 Тл, и частоте v0 переменного магнитного поля, равной 19,9 МГц. Вычислить ядерный g-фактор и магнитный момент μn нейтрона. Известно, что направления спинового механического и магнитного моментов противоположны. Спин нейтрона I=1/2.
РЕШЕНИЕ
51.32 Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядерный магнитный резонанс наблюдался: 1) для протонов (I=1/2) в постоянном магнитном поле (B0=94 мТл) при частоте v0 переменного магнитного поля, равной 4 МГц; 2) для дейтонов (I=1) соответственно при B0=0,37 Тл и v0=2,42МГЦ. Определить по этим данным g-факторы и магнитные моменты μр и μd протона и дейтона (в единицах μN).
РЕШЕНИЕ
51.33 При какой частоте v0 переменного магнитного поля будет наблюдаться ЯМР ядер 19Р (I=1/2; μ=2,63μN), если магнитная индукция B0 постоянного поля равна 2,35 Тл?
РЕШЕНИЕ
51.34 Ядра Li (I=3/2 и g=2,18) находятся в однородном магнитном поле (B0=2 Тл). Температура Т окружающей среды равна 80 К. Найти отношение заселенностей каждого из возможных энергетических уровней к заселенности уровня с наименьшей энергией.
РЕШЕНИЕ
1 Кусок металла объема V=20 см3 находится при температуре T=0. Определить число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса р mах не более чем на 0,1 p mах. Энергия Ферми еf=5эВ.
РЕШЕНИЕ
2 Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L=10 см и шириной 1=6 мм помещен в однородное магнитное поле (В=0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении U=250 B, приложенном к концам пластины, возникает холловская разность потенциалов (Jн= =8,8 мВ. Определить: 1) постоянную ХоллаRH; 2) концентрацию nn носителей тока. Удельную проводимость у германия принять равной 80 См/м.
РЕШЕНИЕ
3 Образец из вещества, содержащего эквивалентные ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (В= 1 Тл). Определить: 1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре Т=300 К; 2) частоту v0, при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Экранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь.
РЕШЕНИЕ
Читайте также: