Подвижность носителей тока в металле
Обновлено: 21.09.2024
4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
Рис. 4.1. Равновесное (а) и стационарное (б) заполнение состояний электронами в k-пространстве в постоянном электрическом поле
Возникновение электрического тока в металле связано с дрейфом электронов проводимости во внешнем электрическом поле. В зонной теории твердых тел показано, что необходимым условием существования электропроводности кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон. При Т = 0К газ электронов в металле полностью заполняет все состояния внутри изоэнергетической поверхности в k -пространстве, соответствующей энергии Ферми. Такая поверхность в k -пространстве называется поверхностью Ферми. Поверхность Ферми отделяет при T = 0K область занятых электронных состояний в k -пространстве от области, в которой электронов нет. Для газа свободных носителей заряда поверхность Ферми представляет собой сферу (рис. 4.1, а). Положение центра сферы Ферми в начале системы координат говорит о том, что направленный перенос заряда в этом состоянии, которое называют равновесным, отсутствует.
Импульс электрона связан с его волновым вектором соотношением
здесь - эффективная масса электрона.
Электрическое поле вызывает ускорение электронов и их переход
в новые состояния, лежащие правее исходных, если вектор электрического поля противоположен оси х (рис. 4.1,б.).
Уравнение движения электрона под действием электрического поля
будет иметь вид
Под действием постоянной силы F, действующей в течение промежутка времени D t , каждый электрон, находившийся в состоянии с волновым вектором k, изменит свое состояние так, что его волновой вектор увеличится на . Таким образом, в отсутствие столкновений внешнее постоянное электрическое поле однородно смещает все точки сферы Ферми на величину D k . Интегрируя уравнение (4.2), получим
Вследствие приращения импульса у электронов кристалла возникает некоторое отличное от нуля приращение скорости, направленное против вектора напряженности внешнего электрического поля
Это приращение скорости с течением времени не будет увеличиваться до бесконечности, так как в кристалле всегда имеются процессы рассеяния электронов, стремящиеся вернуть распределение электронов по скоростям к хаотическому. Рассеяние происходит вследствие ряда причин: из-за дефектов решетки, присутствия в ней различных примесей, столкновений с другими носителями заряда, нарушений периодичности потенциала решетки в результате тепловых колебаний решетки (рассеяние на фононах) и т. д. Процессы рассеяния стремятся вернуть электроны в равновесное состояние. Если внешнее электрическое поле постоянное, то между этими двумя процессами устанавливается динамическое равновесие, наступает так называемое стационарное состояние (рис. 4.1,б). Если среднее время между двумя последовательными столкновениями равно t n , то стационарное смещение сферы Ферми определяется выражением (4.3), в котором D t следует заменить на t n . Параметр t n характеризует время, в течение которого поле действует на электрон и называется временем релаксации электронов. Следовательно, в стационарном состоянии каждый электрон имеет дополнительное приращение скорости
Это дополнительное к хаотическому тепловому движению электронов движение под действием электрического поля называется дрейфом электронов. Оценки скорости дрейфа электронов в кристалле меди в полях напряженности Е = 10 -8 В/м дают величину vдр » 0,3 м/с. Это намного порядков ниже скорости теплового хаотического движения электронов в отсутствии поля (1,6 × 10 6 м/с). Поэтому с приложением поля средняя скорость электронов в проводнике остается практически неизменной.
Важной характеристикой кристалла, определяющей величину плотности электрического тока в нем, является подвижность носителей заряда (электронов и дырок). Подвижностью называют величину, равную отношению скорости дрейфа электронов или дырок к напряженности электрического поля. Для электронов подвижность
где t p и - время релаксации и эффективная масса дырки соответственно. Таким образом, подвижность - это дрейфовая скорость, приобретенная носителями заряда в электрическом поле единичной напряженности.
4.2. Электропроводность металлов
Дрейф электронов определяет величину плотности электрического тока в кристалле. Построим мысленно в объеме проводника цилиндр с основанием, равным единице площади, и образующей, равной скорости дрейфа vдр и направленной вдоль дрейфа (рис. 4.2). Все электроны, заключенные в этом цилиндре, в течение 1 с пройдут через его основание и образуют ток с плотностью
Рис. 4.2. К расчету удельной электропроводности металла
здесь n - концентрация электронов проводимости.
Выражение (4.8) имеет форму закона Ома. Электропроводность s n металлов (электронная электропроводность) есть по определению коэффициент пропорциональности между плотностью тока j и напряженность электрического поля Е, т.е. j = s n Е . Следовательно, из (4.6) и (4.8) имеем
Величина r n , обратная удельной электропроводности, называется удельным электросопротивлением:
Таким образом, электропроводность (электросопротивление) металлов обусловлена концентрацией электронов проводимости и их подвижностью. Концентрация электронов проводимости металлов от температуры практически не зависит. Подвижность электронов в кристалле определяется механизмами рассеяния электронов проводимости и существенно зависит от температуры. Как указывалось выше, электросопротивление большинства металлов обусловлено рассеянием электронов на различных видах нарушений регулярной кристаллической структуры решетки. Эти нарушения можно разделить на две группы: 1) тепловые колебания ионов кристаллической решетки (фононы); 2) статические дефекты кристаллической решетки (точечные дефекты, дислокации, статические геометрические искажения и др.).
В соответствии с этим и электросопротивление реального металла, в котором в той или иной степени присутствуют все виды рассеяния электронов проводимости, приближенно представляют в виде двух слагаемых
здесь r о - часть удельного электросопротивления, обусловленная рассеянием электронов на статических дефектах, r (T) - часть удельного электросопротивления, обусловленная рассеянием на фононах.
При комнатной температуре и выше основное значение имеет взаимодействие электронов с решеточными фононами (электрон-фононное рассеяние). Этим механизмом рассеяния обусловлена хорошо известная линейная зависимость удельного электросопротивления металлов от температуры:
Постоянная a называется температурным коэффициентом сопротивления.
Рис. 4.3. Зависимость удельного электро-сопротивления металла от температуры
При очень низких температурах, когда влиянием тепловых колебаний на рассеяние электронов можно пренебречь, сопротивление металлов практически перестает зависеть от температуры (рис. 4.3). Предельное значение r о , к которому стремится сопротивление металловпо мере понижения температуры к абсолютному нулю, называется остаточным сопротивлением. Остаточное сопротивление металлов является очень важной характеристикой, чувствительной к концентрации дефектов в решетке. Например, для кристалла меди чистоты 99,999% остаточное сопротивление приблизительно в 1000 раз меньше удельного электросопротивления при комнатной температуре. Для цинка чистоты 99,99999% (один из наиболее чистых полученных в настоящее время металлов) это отношение составляет 10 5 .
В промежуточной области температур электросопротивление металлов определяется приближенной формулой:
здесь A и B - величины, не зависящие от температуры.
4.3. Электропроводность собственных полупроводников
Рассуждения, приведенные выше при выводе формулы для электропроводности металла, справедливы как для электронов проводимости, так и для дырок. Для дырочного полупроводника удельная электропроводность дырок
где p - концентрация дырок.
В общем случае удельная электропроводность определяется как электронами, так и дырками:
Электронная составляющая проводимости определяется первым слагаемым в формуле (4.14), второе слагаемое связано с дырочной проводимостью полупроводника.
Величина удельной проводимости полупроводника и ее температурная зависимость зависят от концентраций носителей (электронов и дырок) и их подвижностей, которые в свою очередь определяются типом полупроводника. В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы (n = p = ni = pi, где ni и pi - собственные концентрации носителей). Тогда удельная электропроводность s c собственного полупроводника будет равна
Электропроводность собственного полупроводника называют собственной электропроводимостью и обозначают обычно s с .
Концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется выражением (3.17). Логарифмируя это выражение, получим
Первое слагаемое в этом выражении слабо зависит от температуры, поэтому график зависимости от 1/T представляет собой прямую линию (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике
Таким образом, концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках зависит от ширины запрещенной зоны Eg и температуры Т. Для германия, например, Eg = 0,72 эВ (при T = 300 K) и концентрация собственных носителей заряда при комнатной температуре составляет приблизительно 2,5 × 10 19 м -3 . Для кремния соответственно Eg = 1,1 эВ и ni = 1,5 × 10 16 м -3 .
Другим фактором, влияющим на температурную зависимость электросопротивления собственных полупроводников, является подвижность носителей заряда. Температурная зависимость подвижности носителей заряда в полупроводниках определяется механизмами рассеяния носителей в кристалле. В идеальном полупроводнике с собственной проводимостью подвижность определяется рассеянием на тепловых колебаниях решетки (фононах), поскольку идеальный собственный полупроводник - это полупроводник без примесных атомов и рассеяние на примесных атомах отсутствует. При анализе температурной зависимости подвижности необходимо учитывать, является ли газ носителей невырожденным или вырожденным при данных условиях. Теоретические расчеты и оценки температурной зависимости подвижности носителей заряда в кристаллах при различных условиях схематически представлены на рис. 4.5.
В области высоких температур подвижность обратно пропорциональна Т 3/2 для невырожденного газа носителей и обратно пропорциональна Т для вырожденного газа носителей. В области низких температур подвижность невырожденного газа носителей пропорциональна Т 3/2 и не зависит от температуры для вырожденного газа носителей. В любом случае степенная зависимость от температуры подвижности носителей значительно слабее экспоненциальной температурной зависимости концентрации носителей заряда в собственных полупроводниках. Вследствие этого температурную зависимость удельной электропроводности собственных полупроводников согласно выражению (4.15) в первом приближении можно представить в виде
Рис. 4.5. Температурные зависимости подвижности невырожденного и вырожденного газа носителей
где s 0 - значение удельной электропроводности полупроводника при T ® ¥ .
Логарифмируя последнее равенство, получим
Таким образом, график зависимости от 1/Т представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс пропорционален ширине запрещенной зоны. Это обстоятельство позволяет использовать данные по температурной зависимости электропроводности для нахождения ширины запрещенной зоны полупроводников.
4.4. Электропроводность примесных полупроводников
Электропроводность примесного полупроводника называется примесной. Примеси могут весьма существенно влиять на электрические свойства полупроводников. Например, добавление в кремний бора в количестве одного атома на 10 5 атомов кремния увеличивает проводимость при комнатной температуре в 1000 раз. Небольшая добавка примеси к полупроводнику называется легированием.
Удельная электропроводность примесных полупроводников так же, как и для собственных полупроводников, определяется концентрацией носителей заряда в зоне проводимости и их подвижностью. Для донорного полупроводника при низких температурах основным поставщиком электронов в зону проводимости являются донорные уровни примеси. За счет термического возбуждения электроны с донорных уровней примесных атомов переходят в зону проводимости.
Концентрацию электронов проводимости в донорном полупроводнике при низких температурах можно определить, подставив выражение для уровня Ферми донорного полупроводника (см. формулу (3.27)) в соотношение (3.17), определяющее концентрацию электронов в зоне проводимости в зависимости от энергии Ферми. В результате вычислений придем к следующему выражению:
Прологарифмировав это выражение, получим
Так же, как и в случае собственных полупроводников, функция ln n от 1/T в области низких температур представляет собой прямую, однако тангенс угла наклона будет теперь определяться не шириной запрещенной зоны, а энергией активации донорных примесей Ed.
При дальнейшем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости становится сравнимой с концентрацией примеси Nd. Дальнейшее увеличение концентрации электронов в зоне проводимости за счет перехода в нее электронов с донорных уровней примеси становится невозможным. Это явление называют истощением примеси, а температура, при которой наступает истощение примеси, называется температурой истощения примеси и обозначается обычно Ts. Температуру Ts можно получить из равенства n = Nd, в результате
При очень высоких температурах поведение донорного полупроводника аналогично поведению собственного полупроводника, когда приток электронов в зону проводимости происходит за счет их перехода из валентной зоны, т.е. проводимость примесного полупроводника становится собственной (см. уравнение (4.16)). Температура перехода к собственной проводимости Ti определяется из условия равенства концентраций носителей в собственном полупроводнике и электронов в донорном полупроводнике:
Температурная зависимость концентрации электронов проводимости в донорном полупроводнике представлена схематически на рис. 4.6. Участок а - б соответствует температурной области примесной проводимости. Тангенс угла наклона a определяется энергией активации донорных уровней . В области б - в концентрация носителей заряда в зоне проводимости остается постоянной, т.к. примесные уровни истощены, а энергии теплового возбуждения еще недостаточно для перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости. Электроны могут преодолеть запрещенную зону начиная с температуры Ti (участок в - г). При этом (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Температурная зависимость концентрации электронов в донорном полупроводнике
Можно показать, что для температурной зависимости концентрации дырок в акцепторном полупроводнике справедливы аналогичные результаты. В частности, концентрация дырок в валентной зоне
где Na - концентрация акцепторных уровней; Ea - энергия активации акцепторных уровней.
Как подчеркивалось выше, для невырожденного и вырожденного газа носителей в полупроводниках любого типа температурная зависимость подвижностей электронов и дырок значительно слабее, чем температурная зависимость их концентраций. По этой причине температурная зависимость удельной электропроводности примесного полупроводника на участках примесной и собственной проводимости, где концентрация свободных носителей заряда экспоненциально зависит от температуры, в основном определяется зависимостью от температуры концентрации носителей заряда. На этих участках вид зависимости ln s от 1/T не изменяется по сравнению с зависимостью lnn от 1/T. Практически не изменяются и угловые коэффициенты соответствующих зависимостей, определяемые энергиями активации примесных уровней и валентной зоны соответственно для примесной и собственной проводимости.
Подвижность носителей существенное влияние оказывает на температурную зависимость электропроводности примесного полупроводника в области истощения примеси (участок б - в, рис. 4.6). В слаболегированных полупроводниках в области истощения примеси электропроводность даже уменьшается с ростом температуры, так как уменьшается подвижность носителей за счет механизма рассеяния их на фононах.
Рис. 4.7. Схематические зависимости логарифма удельной электропроводности от обратной температуры примесных полупроводников с разной степенью легирования
Температурная зависимость логарифма удельной электропроводности от обратной температуры в зависимости от степени легирования схематически показана на рис. 4.7. Кривые 1, 2, 3 последовательно представляют зависимости по мере увеличения степени легирования полупроводника. Для сильно легированного полупроводника (кривая 3 на рис. 4.7), в котором электронный газ является вырожденным, концентрация основных носителей вплоть до температуры перехода к собственной проводимости Ti 3 слабо зависит от температуры. Подвижность вырожденного газа носителей тоже не зависит от температуры, поэтому ln s до температуры, близкой к Ti3, практически не зависит от температуры.
Теоретическая часть. Концентрация и подвижность носителей заряда до некоторой величины напряженности электрического поля не зависят от напряженности электрического поля
Концентрация и подвижность носителей заряда до некоторой величины напряженности электрического поля не зависят от напряженности электрического поля, следовательно, и удельная электропроводность полупроводника s не зависит от напряженности электрического поля. Электрические поля, которые практически не меняют подвижность и концентрацию носителей заряда, называются слабыми.
Минимальная напряженность поля Eкр, при которой начинается заметная зависимость подвижности и концентрации носителей заряда от напряженности электрического поля, называется критической. Критическая напряженность Eкр электрического поля зависит от природы полупроводника, температуры и концентрации примесей. Электрические поля, для которых подвижность или концентрация носителей заряда зависит от напряженности электрического поля, называются сильными. При напряженности поля выше критической линейность закона Ома уже не выполняется, т.е. величина плотности тока j не будет прямо пропорциональна напряженности поля, так как s начинает зависеть от напряженности поля. Для значительного числа полупроводников величина Eкр колеблется вблизи 10 6 В/м, для селена Eкр≈10 3 В/м. Напряженность Eкр определяется тем условием, что дополнительная дрейфовая скорость, приобретаемая носителем заряда в поле, становится сравнимой с тепловой скоростью. При уменьшении температуры напряженность Eкр уменьшается, так как Eкр зависит от подвижности носителей заряда, а чем ниже температура, тем больше подвижность μ.
Критические поля в неоднородных полупроводниках могут появляться при очень малых напряжениях, так как на неоднородном слое малой толщины падает почти все приложенное напряжение и локальная напряженность поля сильно возрастает. В зависимости от доминирующего механизма рассеяния носителей заряда в полупроводниках подвижность μ может увеличиваться или уменьшаться при увеличении напряженности электрического поля выше критической. Подвижность начинает зависеть от поля с того момента, как скорость V перестает быть постоянной, т.е. когда добавкой Vд к скорости V за счет поля нельзя пренебречь, по сравнению с тепловой скоростью. Так, например, в атомных кристаллах (Ge , Si) при тепловом механизме рассеяния l не зависит от скорости V, a V(V=Vт+Vд) растет с ростом напряженности, подвижность уменьшается с ростом поля:
μ~E -1/2 . (2.136)
При рассеянии носителей заряда на ионизированных примесях l~V 4 , V~E 1/2 подвижность μ увеличивается с ростом напряженности E поля:
μ~E 3/2 . (2.137)
Однако изменение подвижности носителей заряда, как показывают результаты опытов, незначительное. С ростом поля концентрация носителей заряда более заметно возрастает.
Основными причинами изменения концентрации носителей заряда в сильных электрических полях могут быть термоэлектронная ионизация Френкеля, ударная и электростатическая ионизация.
Термоэлектронная ионизация Френкеля. При увеличении напряженности электрического поля (E>10 6 В/м) увеличивается сила eE, действующая на электрон и изменяющая энергетическое состояние электрона в кристалле. Уменьшение величины потенциального барьера, разделяющего два соседних узла решетки, можно оценить величиной
где e – заряд электрона;
E – напряженность поля.
Пусть r0 – расстояние электрона от ядра, на котором сила притяжения к ближайшему ядру уравновешивается внешней силой, т.е.
е 2 /(4pee0r0 2 )=еE, (2.139)
Подставляя значение r0 в формулу (2.138) , получим выражение для уменьшения величины потенциального барьера DЕП:
DЕП =2е[еE/(4pee0)] 1/2 . (2.141)
Вследствие этого энергия, которую необходимо затратить на перевод электронов в зону проводимости, уменьшается на величину DП, а вероятность тепловой ионизации возрастает. Согласно статистике Больцмана вероятность термического возбуждения увеличивается на величину
b=2/kT∙[e 3 /(4pee0)] 1/2
При этом концентрация носителей увеличивается по закону Френкеля
Этот эффект играет роль при Е > 10 7 – 10 8 В/м и экспоненциально растет с увеличением температуры.
Ударная и электростатическая ионизация. Сильное электрическое поле ( Е > 10 6 В/м), действуя на электроны атомов полупроводника, вызывает наклон энергетических зон (рис. 2.45), так как потенциальная энергия электрона во внешнем электрическом поле напряженностью Е будет определяться его координатой x
а полная энергия электрона в полупроводнике при наличии внешнего электрического поля
где Е0 – энергия электрона в отсутствие поля.
Рис. 2.45. Энергетические зоны донорного полупроводника; а – без электрического поля; б – в сильном электрическом поле (искривление зон энергии)
На вертикальный переход 1 и 3 требуется затрата энергии (термоэлектронная ионизация или ударная ионизация), а на горизонтальный переход 2, 4, 5 и 6 не требуется затраты и изменения энергии (туннельный переход или эффект Зинера).
В сильных полях ( Е ~ 10 6 – 10 8 В/м) свободный электрон (или дырка) может приобрести энергию за время свободного пробега λ, достаточную для ионизации примесного атома DEд, или атома основной решетки DE, и перевести электроны с этих уровней в зону проводимости (рис. 2.45, переходы 3, 1) или из валентной зоны на акцепторные уровни Eа, при этом сам электрон сохранит энергию, достаточную для пребывания в зоне проводимости, т.е. в результате ударной ионизации электрон лишь смещается в пределе зоны проводимости с верхнего уровня на нижний. Свободный электрон, двигаясь в зоне проводимости к аноду, при столкновении с атомом примеси или атомом основной решетки опускается по энергетическим "ступенькам" 7, где λ – средняя длина свободного пробега, dE – средняя величина энергии, которую теряет электрон при каждом акте соударения.
Так как энергия активации примесей DEд, DEа обычно меньше ширины запрещенной зоны Eg, то в сильном электрическом поле сначала ионизируются примесные атомы, а затем уже атомы основной решетки. Явление ударной ионизации может происходить и в результате действия внутренних полей, обусловленных локальными неоднородностями кристалла или полем р-n перехода. Ударная ионизация проявляется при тем меньших полях, чем меньше температура и энергия активации и больше подвижность.
Теоретические оценки и опыт показывают, что ударная ионизация начинает играть существенную роль при полях 10 6 – 10 8 В/м. При еще больших полях ( Е>10 9 В/м) возможна электростатическая ионизация, горизонтальные переходы 2, 4 электронов с донорных уровней или из валентной зоны в зону проводимости. Электростатическая ионизация становится возможной благодаря тому, что в достаточно сильном электрическом поле электрон имеет определенную вероятность перехода через запрещенную зону без изменения энергии, т.е. туннельным эффектом.
Вероятность электростатической ионизации (туннельного перехода), например типа 2, при напряженности поля Е
w=exp[p 2 (2m * ) 1/2 (Eg) 3/2 /(heE)], (2.144)
где m * – эффективная масса электрона.
Вероятность туннельного перехода одинакова как для перехода из валентной зоны в зону проводимости, так и из зоны проводимости в валентную. Но поскольку концентрация электронов в валентной зоне превосходит концентрацию электронов в зоне проводимости, то поток электронов будет направлен из валентной зоны в зону проводимости. Еще более вероятен туннельный переход на контакте полупроводника и металла (переходы 5, 6),если при этом ширина барьера не увеличивается областью объемного заряда.
Наряду с ростом дополнительных носителей заряда за счет ионизации при повышении напряженности поля происходит и обратный процесс – рекомбинация электронов с дырками. В результате этих двух процессов устанавливается определенная стационарная концентрация носителей заряда при заданном поле, увеличивающаяся с ростом напряженности поля. При слишком больших электрических полях происходит лавинообразное нарастание носителей заряда и пробой полупроводника, обусловленный главным образом электростатической и ударной ионизацией.
Рис. 2.46. Зависимость электропроводности полупроводников от напряженности электрического поля
Типичная кривая зависимости электропроводности полупроводников от напряженности электрического поля приведена на рис. 2.46. На нем можно четко различить область слабых полей ab, когда ЕЕк, и область сильных полей bcde при Е>Екр. В слабых полях s=s0=const. В более сильных полях s возрастает либо по эмпирическому закону Пуля (при сравнительно слабых полях E):
s=s0e a (E-Eк) (2.145)
(α – некоторый коэффициент, зависящий от температуры), либо по закону Френкеля (при более сильных полях Е):
s=s0exp(BE 1/2 ) (2.146)
Участок cd соответствует электростатической ионизации, а за ним следует пробой (участок de).
Полупроводниковый прибор, действие которого основано на использовании зависимости электропроводности (сопротивления) полупроводника от напряженности электрического поля, называется варистором. В качестве материала для изготовления варисторов используется карбид кремния (CH1) и селен (СН2).
Варисторы представляют собой нелинейные полупроводниковые сопротивления (резисторы). Они получили широкое практическое применение в технике: защита элементов маломощной и низковольтной аппаратуры от перенапряжений, стабилизации напряжения, преобразование частот, в счетно-решающих устройствах и др.
Проводимость и подвижность носителей
В отсутствие внешнего электрического поля электронный газ в твердом теле находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения Ферми-Дирака (вырожденное состояние) или Максвелла-Больцмана (невырожденное состояние). На рис. 5.1, а, б приведены графики распределения fФ(υx) и fM(υx). Они симметричны относительно оси ординат, что говорит об одинаковой плотности заполнения состояний, отличающихся направлением скорости υх. По этой причине и алгебраическая средняя скорость движения электронов равна нулю. Такая картина вполне естественна в случае теплового движения.
Рис. 5.1. Графики функций распределения Ферми-Дирака (а)
и Максвелла-Больцмана (б): 1 – Е=0; 2 – Е≠0
Равновесие в электронном газе устанавливается в результате взаимодействия электронов с кристаллической решеткой. Электроны взаимодействуют как с колебаниями решетки – электрон-фононное рассеяние, так и с дефектами твердого тела, например, электрон-ионное рассеяние. Такой обмен энергиями приводит к установлению энергетического равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой. В этом случае электроны называют равновесными.
Если к кристаллу приложить внешнее электрическое поле напряженности Е, то в нем возникнет смещение функций распределения (рис. 5.1, а, б) и появится электрический ток, плотность которого i, пропорциональна Е
i=σЕ, (5.1)
где σ – удельная электропроводность проводника.
У хороших проводников, таких, например, как металлы, электропроводность достигает величины 10 7 …10 8 Ом -1 м -1 , у хороших изоляторов – 10 -12 …10 -14 Ом -1 м -1 .
Обратная σ величина ρ называется удельным сопротивлением проводника
ρ=1/σ. (5.2)
Возникновение тока в проводнике говорит о том, что под действием электрического поля электроны совершают направленное движение, характеризуемое дрейфовой скоростью – Jд. Сила, действующая на электрон со стороны внешнего поля Fе, пропорциональна величине Е и заряду электрона е. Поскольку заряд электрона отрицателен, Fе и Е противоположно направлены
Как мы уже говорили, электрон взаимодействует с кристаллической решеткой, и на него действует сила сопротивления, пропорциональная его массе mn * и дрейфовой скорости. Поскольку сила сопротивления Fс направлена против движения электрона, можно записать основное уравнение динамики в следующем виде:
где 1/τ – коэффициент пропорциональности, входящий в выражение для силы сопротивления.
Из выражения (5.4) видно, что после включения поля дрейфовая скорость электрона будет возрастать, пока сила сопротивления не окажется равной силе электрического поля. Когда эти силы сравняются, ускорение электрона будет равно нулю.
Выражение (5.4) примет вид
Отношение дрейфовой скорости электрона к напряженности поля называют его подвижностью μn
Выясним теперь физический смысл введенного в (5.4) коэффициента τ. Для этого рассмотрим картину в проводнике при выключении электрического поля, E=0. Выражение (5.4) примет вид
Дифференциальное уравнение (5.8) имеет решение
где Jд0 – дрейфовая скорость электрона сразу после выключения поля при t = 0.
Последние уравнения описывают процесс релаксации – самопроизвольное возвращение системы в положение равновесия. Время релаксации – τ характеризует время уменьшения возбуждения в е раз. В нашем случае возбуждением системы является смещение функции распределения и придание электронному газу дополнительной энергии дрейфового движения.
Движение электронов в кристалле удобно описывать, используя понятие длины их свободного пробега λ. По аналогии с кинетической теорией газов можно считать, что электрон движется в кристалле прямолинейно до тех пор, пока не встретится с дефектом или фононом решетки и не рассеется на нем. Этот средний отрезок, который проходит электрон между двумя актами рассеяния и называют длиной свободного пробега.
Если электрон в единичном акте рассеяния теряет всю избыточную энергию дрейфового движения, то для процесса релаксации можно записать простое соотношение
где JТ – тепловая скорость электрона.
Часто, однако, для полной потери энергии электрону требуется не одно, а несколько актов рассеяния – ν. Очевидно, что путь, который электрон пройдет при этом, будет в ν раз больше и время релаксации также возрастет
Подставив последнее выражение в (5.6), получим соотношение, которое связывает подвижность носителей заряда с их параметрами
Теперь вернемся к выражению (5.1) и уточним физический смысл понятия удельной проводимости. Для этого мысленно выделим в проводнике параллелепипед, ребра которого параллельны линиям тока и равны величине Jд, а площадь поперечного сечения равна единице. Пусть все электроны объема в единицу времени пройдут через поперечное сечение. Их заряд можно выразить как
Q = Ven = Jдen, (5.13)
где V – объем параллелепипеда;
n – концентрация электронов.
Одновременно выражение (5.13) имеет смысл плотности тока i. Сравнивая (5.13) и (5.1), можно записать
i = enJд = enμЕ, (5.14)
т.е. σ = enμ, (5.15)
или с учетом выражения (5.12)
Выражения (5.11) и (5.14) позволяют определить значения подвижности и электропроводности электронного газа. Однако в начале раздела мы привели два возможных варианта: вырожденный и невырожденный газ. Теперь попытаемся установить, как влияет состояние электронного газа на его свойства.
В случае невырожденного газа электроны практически не встречаются друг с другом и их поведение не ограничивается постулатом Паули. Все электроны проводимости невырожденного газа принимают независимое друг от друга участие в создании электрического тока. Тогда формулы (5.12) и (5.16) должны содержать средние параметры газа
Другая картина наблюдается в случае вырожденного газа. На рис. 5.1, б видно, что в этом случае все состояния в интервале –υФ. υФ заняты электронами. Поэтому внешнее поле может воздействовать только на электроны, расположенные близ уровня Ферми, переводя их из левой области распределения в правую, как показано стрелками на рис. 5.1, а. Для выражений (5.12) и (5.16) в случае вырожденного газа необходимо использовать параметры λФ. υТФ, τФ, νФ
Проводимость и подвижность носителей тока
При отсутствии внешнего поля электронный газ в кристалле находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения Максвелла-Больцмана, если газ невырожден, и Ферми- Дирака, если газ вырожден. Эти функции зависят от квадрата скорости движения электронов (энергия электронов Е ~ о 2 ) и поэтому являются симметричными относительно изменения знака скорости: при замене v на -v функция не меняется. Физически это означает, что плотность заполнения состояний, отличающихся друг от друга направлением скорости, одинакова. По этой причине средняя скорость движения электронов в любом направлении равна нулю. Этим и объясняется тот факт, что в кристалле, содержащем сколь угодно большое число свободных носителей заряда, электрический ток отсутствует.
Установление равновесия в электронном газе происходит в результате взаимодействия электронов с дефектами решетки. Кроме того, электронная волна, распространяясь в кристалле, может также взаимодействовать с тепловыми колебаниями решетки и рассеиваться. Рассеяние при отсутствии внешнего электрического поля и приводит к установлению равновесного распределения. Если к кристаллу приложить внешнее поле
напряженностью Е, то в нем возникает электрический ток, плотность которого j согласно закону Ома пропорциональна Е :
Коэффициент пропорциональности о называется удельной электропроводностью кристалла твердого тела, а величина /?, обратная о, называется удельным сопротивлением кристалла твердого тела:
Появление тока в кристалле свидетельствует о возникновении в нем под действием поля направленного движения электронов, которое называют дрейфом. Так как заряд электрона отрицателен, то дрейф происходит
в направлении, противоположном Е. Обозначим его среднюю скорость
Каждый электрон дает вклад в общий ток quE, а плотность полного тока, создаваемого всеми электронами, находящимися в 1 см’, равна
Знак «минус» указывает на то, что вектор плотности тока направлен противоположно ок. Сравнивая (3.7) и (3.9), находимИз (3.10) видно, что средняя плотность дрейфа электронов пропорциональна напряженности поля. Коэффициент пропорциональности
называется подвижностью носителей.
На основании (3.11) формулу (3.10) можно переписать так:
Из выражения (3.12) видно, что - это величина, численно равная средней скорости дрейфа электронов оЕ в электрическом поле Е= 1 В/см и имеющая размерность [см 2 /(В с)]. Из формулы (3.11) следует, что
Таким образом, вопрос об определении удельной проводимости твердого тела сводится к определению концентрации и подвижности носителей заряда в нем.
В случае примесного полупроводника, содержащего электроны и дырки, выражение (3.13) обобщается следующим образом:
где п, р — концентрации электронов и дырок соответственно; и др - их подвижности.
В беспримесном (собственном) полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы: п = р = пь а подвижности различны, так как подвижность носителя заряда зависит от эффективной массы (jun > jup).
Следовательно, электропроводность собственного полупроводника определяется соотношением
Механизм электропроводности, обусловленный генерацией пар электрон-дырка, при любом способе возбуждения называют собственным, а носители, образующиеся за счёт генерации пар электрон-дырка, называют собственными носителями заряда.
Электропроводность металлов и полупроводников. Эффект Холла
Как известно, электропроводность (удельная электрическая проводимость) о — это величина, связывающая плотность электрического тока и напряженность в локальном законе Ома: j — оЕ (см. формулу (14.15) ч. 1). Все вещества по характеру электропроводности делятся на три класса: металлы, полупроводники и диэлектрики.
Характерной особенностью металлов является их металлическая проводимость — уменьшение электропроводности при повышении температуры (при постоянной концентрации носителей тока). Физической причиной электрического сопротивления в металлах является рассеяние электронных волн на примесях и дефектах решетки, а также на фононах.
Наиболее существенной особенностью полупроводников является их способность изменять свои свойства в чрезвычайно широких пределах под влиянием различных воздействий: температуры, электрического и магнитного полей, освещения и т.д. Например, собственная проводимость чистых полупроводников при их нагревании экспоненциально возрастает.
При Т > 300 К удельная проводимость о материалов, относящихся к полупроводникам, изменяется в широком интервале от 10~ 5 до 10 6 (Ом • м) -1 , тогда как у металлов о составляет более 10 6 (Ом • м) -1 .
Вещества, обладающие малой удельной проводимостью, порядка 10~ 5 (Ом • м) -1 и менее, относятся к диэлектрикам. Проводимость у них возникает при очень высоких температурах.
Квантовая теория приводит к следующему выражению для электропроводности металлов:
где п — концентрация свободных электронов; т — время релаксации; т* — эффективная масса электрона.
Время релаксации характеризует процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного, например, внезапным включением внешнего поля Е.
Термин «свободный электрон» означает, что на электрон не действуют никакие силовые поля. Движение электрона проводимости в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны кристаллической решетки в ряде случаев может быть описано как движение свободного электрона, на который действует только сила F (второй закон Ньютона, см. формулу (3.5) ч. 1), но с эффективной массой т*, отличной от массы те свободного электрона.
Расчеты с использованием выражения (30.18) показывают, что электропроводность металлов о~1/Т. Эксперимент подтверждает данный вывод квантовой теории, в то время как согласно классической теории
В полупроводниках концентрация подвижных носителей значительно ниже, чем концентрация атомов, и может изменяться при изменении температуры, освещения, при облучении потоком частиц, воздействии электрического поля или введении относительно малого количества примесей. Носителями заряда в полупроводниках в зоне проводимости являются электроны (электроны проводимости), а в валентной зоне — положительно заряженные квазичастицы дырки. Когда в валентной зоне по какой-либо причине отсутствует электрон, то говорят, что в ней образовалась дырка (вакантное состояние). Представления о дырках и электронах проводимости используются для описания электронной системы полупроводников, полуметаллов и металлов.
В состоянии термодинамического равновесия концентрации электронов и дырок в полупроводниках зависят как от температуры и концентрации электрически активных примесей, так и от ширины запрещенной зоны АЕ.
Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники (например, германий Ge, селен Se). Число электронов в них равно числу дырок. Проводимость таких полупроводников называется собственной.
В собственных полупроводниках при Т = О К валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости — свободна. Поэтому при Т= О К и отсутствии внешнего возбуждения собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении температуры вследствие термического возбуждения электроны с верхних уровней валентной зоны будут переходить в зону проводимости. Одновременно становится возможным переход электронов валентной зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне будут давать вклад в электропроводность.
Необходимая для переброски электрона из валентной зоны в зону проводимости энергия называется энергией активации собственной проводимости.
При наложении на кристалл внешнего электрического поля электроны перемещаются против поля и создают электрический ток. Во внешнем поле, когда на вакантное место перемешается соседний валентный электрон, дырка «перемешается» на его место. В результате дырка, так же как и перешедший в зону проводимости электрон, будет двигаться по кристаллу, но в направлении, противоположном движению электрона. Формально по кристаллу в направлении поля движется частица с положительным зарядом, равным абсолютной величине заряда электрона. Для учета действия на элементарные заряды внутреннего поля кристалла для дырок вводят понятие эффективной массы ш*. Поэтому при решении задач можно считать, что дырка с эффективной массой движется только под действием одного внешнего поля.
Во внешнем поле направление скоростей движения электронов и дырок противоположны, но создаваемый ими электрический ток имеет одинаковое направление — направление электрического поля. Таким образом, плотность тока при собственной проводимости полупроводника складывается из плотности тока электронов уэ и дырок уд :
Электропроводность о пропорциональна числу носителей, значит, можно доказать, что для собственных полупроводников
и зависит от температуры по экспоненциальному закону. Вклад в о электронов и дырок различен, что объясняется различием их эффективных масс.
При сравнительно высоких температурах во всех полупроводниках преобладает собственная проводимость. Иначе электрические свойства полупроводника определяются примесями (атомами других элементов), и тогда говорят о примесной проводимости. Электропроводность будет слагаться из собственной и примесной проводимостей.
Примесными полупроводниками называются полупроводники, отдельные атомы которых замещаются примесями. Концентрация электронов и дырок в них значительно отличается. Примеси, являющиеся источниками электронов, называются донорами. Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны, называются акцепторами.
В результате введения примеси в запрещенной зоне возникают дополнительные разрешенные электронные уровни энергии, расположенные в запрещенной зоне близко или ко дну зоны проводимости (донорные уровни), или к потолку валентной зоны (акцепторные уровни). Это существенно увеличивает электропроводность полупроводников.
В полупроводниках я-типа (от англ, negative — отрицательный) с донорной примесью реализуется электронный механизм проводимости. Проводимость в них обеспечивается избыточными электронами примеси, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов.
В полупроводниках р-типа (от англ, positive — положительный) с акцепторной примесью реализуется дырочный механизм проводимости. Проводимость в них обеспечивается дырками вследствие введения примеси, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов.
Убедительное доказательство реальности положительных дырок дает эффект Холла (1879). Данный эффект заключается в возникновении в металле (или полупроводнике) с током плотностью у, помещенном в магнитное поле В, дополнительного электрического поля в направлении, перпендикулярном В и у. Использование эффекта Холла (измерение коэффициента Холла, зависящего от вещества) позволяет определять концентрацию и подвижность носителей заряда в проводнике, а также устанавливать природу проводимости полупроводника (электронная или дырочная).
В настоящее время при разработке материалов для микроэлектроники создаются различные полупроводниковые материалы, в том числе с широкой запрещенной зоной. Полупроводниковые микросхемы считаются одним из перспективных направлений микроэлектроники, позволяя создавать надежные и достаточно сложные в функциональном отношении интегральные схемы.
Читайте также: