Статистика электронов в металле

Обновлено: 07.07.2024

Впервые квантовую статистику к электронам в металле (т.е. к электронному газу) применил Зоммерфельд.

6.2.1 Статистика Ферми-Дирака

В основе квантовой статистики лежат следующие основные положения: все электроны системы одинаковы (тождественно неразличимы); состояние электрона определяется набором квантовых чисел; в системе не может быть одновременно более одного электрона в данном квантовом состоянии (принцип запрета Паули).

Свободные электроны находятся в различных состояниях и заполняют дискретные энергетические уровни разрешенной зоны, начиная с самого нижнего. Заполнение уровней электронами задается статистикой Ферми-Дирака:

которая определяет вероятность заполнения электроном энергетического уровня с энергией в условиях термодинамического равновесия электронов в системе. Отметим, что если , то , если , то (при этом единицей в статистике Ферми-Дирака можно пренебречь, и статистика Ферми-Дирака переходит в статистику Максвелла-Больцмана). Всякое отклонение от статистики Максвелла-Больцмана называется вырождением. Вырождению системы фермионов соответствует , при этом если , то газ фермионов будет средне вырожденным, а при говорят о сильно вырожденном газе фермионов.

6.2.2 Полностью вырожденный электронный газ

Рассмотрим полностью вырожденный электронный газ. Полностью вырожденный электронный газ – это газ при температуре абсолютного нуля (Т=0К):

а) если , то при . В этом случае ;

б) если , то . В этом случае .

Энергия называется уровнем Ферми (см. рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Вид распределения Ферми-Дирака при Т  0

Уровень Ферми – это такой энергетический уровень, ниже которого все состояния заняты, а выше которого все состояния свободны при температуре абсолютного нуля. При получим .

Определим энергию, соответствующую уровню Ферми. Для этого воспользуемся условием нормировки:

где – число электронов, энергии которых находятся в интервале от до

где dΩ – число состояний с энергиями от до найдем следующим образом:

Для одной частицы доступный фазовый объем равен:

Для фермионов необходимо учесть возможность спинового вырождения g, которое определяется формулой:

где – спиновое число.

Для электронов , тогда . Таким образом, можно записать:

так как в интервале от 0 до . Число электронов с энергией в интервале от до можно представить в виде:

тогда функция распределения примет вид:

Эту функцию можно рассматривать как плотность разрешенных состояний в зоне. Если вместо взять эффективную массу электрона проводимости , то описывает распределение энергетических уровней в нижней части зоны проводимости. Вообще говоря, если вместо взять эффективную массу дырки , то описывает распределение энергетических уровней в верхней части валентной зоны.

Запишем условие нормировки:

Таким образом, уровень Ферми пропорционален концентрации электронов и обратно пропорционален массе электронов.

Зная уровень Ферми, можно определить среднюю энергию полностью вырожденного электронного газа:

Учитывая выражение для N (6.32), можно записать:

Можно определить давление полностью вырожденного газа. Из статистической физики известно, что уравнение состояния идеального ферми-газа имеет вид:

При Т=0К имеем:

где – концентрация электронного газа.

.2.3 Сильно вырожденный электронный газ.

Рисунок 6.2 – Вид распределения Ферми-Дирака при Т  0

Распределение Ферми-Дирака с ростом температуры имеет вид, показанный на рисунке 6.2.

С ростом температуры на свободные энергетические уровни переходят те электроны, энергия которых порядка уровня Ферми. Когда  ₀, то в тепловом движении будут принимать участие все электроны, ферми-газ перестанет быть вырожденным. Введем температуру Ферми

которая показывает, при какой температуре ферми-газ перестанет быть вырожденным:

Оценим температуру вырождения:

m 10 -30 кг, следовательно

T₀ 10 18 _₁₀ 4 (K) _.

Электронный газ в металлах вплоть до температур плавления является вырожденным. Таким образом, при комнатной температуре электронный газ в металлах можно рассматривать как сильно вырожденный газ фермионов.

Зависимость химического потенциала μ от температуры можно получить из следующего выражения:

Этот интеграл в общем случае не берется. Приближенный расчет для области температур, в которой электронный газ является еще сильно вырожденным, приводит к следующей зависимости:

Так как вплоть до температуры плавления , то можно считать , т.е. уровень Ферми при любой температуре можно считать совпадающим с .

Построим выражение для средней энергии сильно вырожденного электронного газа:

Приближенные вычисления средней энергии вырожденного электронного газа дают следующие коэффициенты: .

Таким образом, имеем:

Теплоемкость электронного газа определяется следующим соотношением:

cледовательно с_v  T. Если бы электронный газ был бы классическим, то его теплоемкость .

Рассмотрим следующее соотношение:

Таким образом, вследствие того, что электронный газ в металлах является вырожденным, термическому возбуждению даже в области высоких температур подвергается лишь незначительная доля свободных электронов; остальные электроны теплоту не поглощают. Поэтому теплоемкость электронного газа незначительна по сравнению с теплоемкостью решетки, и теплоемкость металла в целом практически равна фононной теплоемкости решетки. В области температур, близких к абсолютному нулю, фононная теплоемкость  Т 3 и вклад электронного газа может иметь основное значение, так как  Т.

6.2.4 Теплопроводность металлов

Теплопроводность металлов, как правило, значительно больше теплопроводности диэлектриков. Это объясняется тем, что в металлах перенос тепла осуществляется главным образом свободными электронами. Механизм электронной теплопроводности можно считать аналогичным механизму фононной теплоемкости, если учесть, что в теплообмене участвуют не все электроны проводимости, а только часть их с энергиями, близкими к энергии Ферми. Тогда коэффициент теплопроводности можно представить в виде:

где – теплоемкость единицы объема электронного газа.

Так как в обмене энергией с кристаллической решеткой, а следовательно, в переносе тепла участвуют только электроны с энергиями, мало отличающимися от энергии Ферми, то можно записать:

где – скорость электрона с энергией, близкой к энергии Ферми. Тогда для коэффициента теплопроводности имеем:

Сравним величины коэффициентов электронной и решеточной теплопроводностей:

Для чистых металлов: и , поэтому

Для сплавов это отношение изменяется и

6.2.5 Электропроводность металлов

Под воздействием внешнего электрического поля электроны, расположенные вблизи уровня Ферми, переходят на более высокие энергетические уровни. Это означает, что в формировании электропроводности участвуют не все свободные электроны, а лишь те из них, что располагаются непосредственно у уровня Ферми.

В создании электрического тока участвуют все электроны проводимости. Вакантные состояния при действии внешнего электрического поля создаются сразу для всех электронов, так как каждый электрон, переходя в вакантное состояние, оставленное другим электроном, оставляет после себя вакантное состояние, которое замещается третьим электроном, оставляющим после себя вакантное состояние, и т.д.

Плотность электронного тока определяется выражением:

где – функция распределения электронов в присутствии электрического поля.

В анизотропных кристаллах, вообще говоря, вводят тензор электропроводности. В кубических кристаллах достаточно ввести одну скалярную величину – удельную электропроводность . Расчет величины удельной электропроводности металла в квантовой теории приводит к следующему выражению:

где – средняя длина свободного пробега электронов, обладающих энергиями, близкими к энергии Ферми; – их скорость.

Таким образом, время релаксации определяется энергией Ферми.

Длина свободного пробега определяется характером взаимодействий электронов с дефектами кристаллической решетки, которые разделяются на две группы: примеси и тепловые колебания решетки (фононы).

Так как концентрация фононов зависит от температуры, то зависимость подвижности электронов в металле и, следовательно, электропроводности от Т будет иметь сложный характер. Для чистых металлов зависимость электропроводности (и удельного сопротивления) от Т имеет вид, представленный на рисунке 6.3:

Рисунок 6.3 – Вид зависимости  = f(T)

а) в области высоких температур

б) в области низких температур

где А,В, α и b – коэффициенты пропорциональности.

6.2.6 Закон Видемана-Франца

В квантовой теории для закона Видемана-Франца получается следующее выражение:

Опыт показывает, что закон хорошо выполняется при температурах выше температуры Дебая .

Раздел 2 Основные соотношения и примеры решения задач

*Вероятность заполнения состояний (распределение Ферми-Дирака):

*Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

где dn(Е) - концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от Е до Е + dЕ; m и Е - масса и энергия электрона; Е_f - уровень (или энергия) Ферми.

*Уровень Ферми в металле при Т=0

*Температура Т_кр вырождения

Примеры решения задач.

1. Доказать, что средняя энергия свободных электронов в металле вблизи T=0 К составляет 3/5 энергии Ферми.

Решение

При низкой температуре уровень Ферми Е _f характеризует максимальную энергию электронов проводимости в металле. Распределение электронов по энергиям

dn (Е) = Z (Е) f (Е) d Е

где dn (Е)—число электронов, приходящихся на энергетический интервал от Е до Е+ d Е; Z (Е) —плотность состояний в зоне проводимости, т. е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий; f (Е)—вероятность заполнения квантовых состояний электронами.

В соответствии с распределением Ферми—Дирака для всех состояний с энергией Е < Е _f функция f (Е)=1, а для состояний с энергией Е > Е _f функция f (Е)=0. Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:

где m_n—эффективная масса электрона, получаем

2. Рассчитать положение уровня Ферми и суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см 3 серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра.

Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, поэтому n = N _А r /М, где r- плотность материала, N_A - число Авогадро, М - атомный (молекулярный) вес. Отсюда энергия Ферми

= 8,80-10 -19 Дж.=5,5 эВ

Суммарная кинетическая энергия свободных электронов

3. Определить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов при T» 0К в металле с простой кубической кристаллической решеткой, если на каждый атом кристалла приходится один свободный электрон. Период решетки paвен а.

В кристалле с простой кубической решеткой на объем каждой элементарной ячейки приходится один атом и соответственно один свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов определяется по формуле n=a -3 . С учетом этого минимальная длина волны де Бройля

4. Оценить среднее энергетическое расстояние dE между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в кристалле серебра объемом V= 1 см 3 , если энергия Ферми Е_f=5,5 эВ.

Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями dЕ = Е_f /N, где N-число уровней, заполненных электронами. Концентрация электронов связана с энергией Ферми выражением

Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми Е _f, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находится два электрона. Отсюда следует, что

dЕ = Е_f /n(V/2) = 3.10 -41 Дж == 1,89.10 -22 эВ.

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Основные формулы.

*Законы Ома и Джоуля в дифференциальной форме имеют вид

где j- плотность тока; w - объемная плотность тепловой мощности; g - удельная проводимость; Е - напряженность электрического поля.

*Удельная электрическая проводимость

где е и m - заряд и масса электрона; n- концентрация электронов; - средняя длина свободного пробега; v - средняя скорость хаотического движения электронов.

*Закон Видемана-Франца

где l - теплопроводность.

1. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при T=300K, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм/м.

Согласно представлениям квантовой теории, удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов L соотношением

Концентрация свободных электронов в меди n=N_Аd/М, где d— плотность материала, N_A - число Авогадро, М - атомный(молекулярный) вес меди.

n =dN_A/М = 8.45×10 28 м -3

Отсюда следует, что длина свободного пробега

2. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОм-м, а разность потенциалов на концах проводника U=220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?

Из закона Ома следует, что удельная проводимость g= env/E. Концентрация свободных электронов в меди n =8,45-10 28 м -3 (см. решение примера 1). Тогда средняя скорость дрейфа электронов

Время дрейфа электрона по проводнику t=v/l=10 6 с. При отсутствии столкновений с узлами решетки электрон движется равноускоренно и время пролета

Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся вдоль проводов со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, время передачи сигнала

t =l/с= 10 3 /(3×10 8 )=3,33.10 -6 с.

3. Определить температурный коэффициент линейного расширения a_i и удлинение нихромовой проволоки, если известно, что при повышении температуры от 20 до 1000°С электрическое сопротивление проволоки изменяется от 50 до 56,6 0м. Длина проволоки в холодном состоянии L=50 м. Температурный коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным 15×10 -5 К -1 .

Температурный коэффициент сопротивления проволоки:

Отсюда DL = La_i DT=0,735м.

4. Определить, во сколько раз изменится удельная теплопроводность l_T меди при изменении температуры DT от 20 до 200°С.

Согласно закону Видемана—Франца, l_T /g = L_oT, где g — удельная проводимость; L_o =2,45-10 -8 В 2 К -2 -- число Лоренца. Отсюда следует, что

5. Непрерывные экспериментальные наблюдения за током, наведенным в замкнутом контуре из сверхпроводящего материала, показали, что в течение одного года ток уменьшается в результате релаксации системы к равновесному состоянию всего на 0,01%. Принимая концентрацию электронов проводимости n=4×10 28 м -3 , оцените удельное сопротивление материала в сверхпроводящем состоянии и сравните его с удельным сопротивлением меди в нормальных условиях.

В соответствии с кинетическим уравнением Больцмана затухание тока определяется выражением

где t - время релаксации.

Отсюда следует, что

Для t=3,15×10 7 с (1 год) t =3,15×10 11 с.

Удельная проводимость материала связана с временем релаксации соотношением

g = 1/r = e 2 nt/m = 3.54×10 32 Cм/м

Сравнивая удельные сопротивления сверхпроводника и меди ( r_с_u=1,7×10 -8 Ом×м), получаем

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.018)

Концентрация электронов и дырок в зонах для различных степеней вырождения электронного или дырочного газа

Распределение электронов и дырок по квантовым состояниям в главных энергетических зонах кристалла. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Плотность квантовых состояний для энергетических зон с изотропным и анизотропным законом дисперсии.

Раздел 4. Статистика равновесных носителей заряда

4.1 Распределение электронов и дырок по квантовым состояниям в главных энергетических зонах кристалла. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Плотность квантовых состояний для энергетических зон с изотропным и анизотропным законом дисперсии.

4.2 Концентрация электронов и дырок в зонах для различных степеней вырождения электронного или дырочного газа.

4.3 Статистика примесных состояний. Функция распределения электронов и дырок по примесным состояниям. Плотность примесных состояний. Примесные зоны. Влияние температуры и концентрации примеси на концентрацию свободных электронов и дырок.

4.4 Плотность квантовых состояний в квантово-размерных структурах с квантовыми ямами, квантовыми нитями и квантовыми точками.

Для определения s твердого тела необходимо знать равновесную (темновую) концентрацию электронов (n) и дырок (p).

Для определения n и p необходимо знать параметры зон – плотность квантовых состояний и вероятность их дополнения – функцию распределения электронов и h + по состояниям.

Функции распределения электронов и дырок по квантовым состояниям разрешения зон (зона проводимости и валентная зона).

Электроны в металлах, полупроводниках подчиняются квантовой статистике. Вероятность заполнения уровня E при температуре T определяется функцией Ферми – Дирака:

Электроны проводимости – фермионы – частицы, обладающие полуцелым спином, и подчиняются принципом Паули:

F – уровень (энергия) Ферми, или электрохимический потенциал.

Основные свойства функции f_Ф-Д :

При T ® 0

При T = 0 функция терпит разрыв (то есть функция не определена).

Из графика следует, что f есть уровень, который разделяет занятые электронами состояния в зоне проводимости от свободных.

В металлах при T = 0: уровень F соответствует максимальной энергии электронов в зоне проводимости – энергии Ферми.

которая соответствует энергии E_F.

Внутри сферы Ф – находятся электроны проводимости.

Проводимость по зоне проводимости - есть жесткое смещение сферы Ф в - пространстве под действием внешнего электрического поля на величину Dk_x.

При температурах T > 0:

f_Ф-Д = 0,5 и F имеет смысл уровня, вероятность заполнения которого ½.

Функция f_Ф-Д претерпевает наибольшее изменение для энергий вблизи F.

При (E – F) >> kT функция f_Ф-Д переходит в классическую функцию Максвелла – Больцмана:

Ф-Д.

Уровень F ниже Ec на энергию не меньше kT.

В этом случае действует классическая статистика Максвелла – Больцмана и полупроводников, подчиняющиеся этой статистике – невырожденные (по концентрации).

Невырожденный полупроводник n-типа – полупроводник, в котором уровень F лежит ниже Ec в запрещенной зоне на величину не меньше kT.

Таким образом, в невырожденном полупроводнике на уровне f – нет электронов в отличие от металла!

Невырожденный полупроводник p-типа – уровень F лежит выше Ec на величину kT.

Плотность состояний N(E)

- это число квантовых состояний в зоне, приходящихся на единичный интервал энергии в кристалле единичного объема.

Предположим, что в интервале энергии: (E,E + dE) находится dS состояний.

Тогда для кристалла единичного объема: dS = N(E)dE пропорционально dE

N(E) = dS/dE – плотность состояний.

N(E) связана с формой поверхности равной энергии.

Интервалу dE соответствует шаровой слой объема , которым выделяют поверхности равной энергии:

E, E + dE = const

Число состояний

Плотность состояний в зоне проводимости

Эффективная масса – скалярная величина m_n

N(E) = dS/dE dS – число состояний в интервале E, E + dE в кристалле единичного объема.

- пространства, заключается между поверхностями равной энергии.

E = const и E +dE = const

Найдем n

Поверхности E, E + dE заключают объем (поверхности – сферы; Таким образом

Для изотропной валентной зоны: (m_p – эффективная масса дырки)

Таким образом, плотность состояний пропорциональна:

Зонная модель прямозонного полупроводника с использованием функций N(E)

Используется в физике полупроводниковых приборов.

Плотность состояний в зоне проводимости многодолинного (непрямозонного) полупроводника

Эффективная масса m_n - тензорная величина.

Закон дисперсии

m_C -1 , m_U -1 , m_Z -1 – компоненты эффективной массы.

Поверхности равной энергии – эллипсоидальные с полуосями.

a, b, c:

Объем эллипсоида: V = 4/3p * a b c

Объем , которым выделяют поверхности E и E + dE = const находят как приращение объема dV.

Таким образом, для одной долины:

Приведем эту формулу к виду для прямозонного полупроводника.

Для этого введем понятие эффективной массы для плотности состояний m_nd:

N(E) = 2p (2 m_nd / h 2 ) 3/2 (E – Ec) 1/2

Если поверхности – эллипсоиды вращения (электроны в Ge, Si)

m_^ и m_ï½ определяется из эксперимента по циклотронному резонансу.

Смысл введения m_nd

Позволяет многодолинную зону проводимости с анизотропной эффективной массой mn записать параболичной зоной с изотропной массой с одним абсолютным минимумом (нужно для вычисления концентраций).

Эффективная масса дырок для плотности состояний - m_pd

V₁ и V₂ – стыкуются в точке

V₁ – подзона тяжелых дырок с изотропной массой – m_p₁

V₂ – подзона легких дырок с эффективной массой – m_p₂.

Плотность состояний для валентной зоны:

эффективная масса дырок для плотности состояний.

Таким образом, с введением m_pd сложная V-зона заменяется параболичной невырожденной валентной зоной:

Модель полупроводников с m_nd и m_pd:

Концентрация электронов и дырок в условиях равновесия в темноте

Концентрация электронов в зоне проводимости.

В интервале E, E + dE в зоне проводимости кристалла единичного объема содержится d_n-электронов:

В зоне проводимости: или

Введем новые переменные:

x= E – Ec/ kT – энергия электронов в единичном kT, отсчитывается от дна Ec.

Тогда от параметра Приближенные значения

сильновырожденный электронный газ (металлы, вырожденые полупроводники)

Концентрация электронов проводимости в невырожденных полупроводниках

Общая формула: N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости Рассмотрим:

dn – число электронов в интервале E, E + dE зоны проводимости для V = 1

* - это указывает на незначительную концентрацию электронов в зоне проводимости – что характерно для невырожденного полупроводника.

Электроны распределены в узком интервале энергий вблизи дна зоны проводимости.

Электропроводность полупроводника так же зависит по экспоненте от T:

- слабее зависит от T)

Концентрация электронов проводимости в сильновырожденном полупроводнике

Площадь под кривой

Таким образом, n не зависит от T – признак сильного вырождения электронного газа.

При T = 0 s ¹ 0 (как в металле)

Для промежуточной системы вырождения электронного газа:

Концентрация дырок в полупроводнике p-типа

Невырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильно вырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильновырожденный полупроводник p-типа:

Смысл Nc и Nv в статистике

Таким образом, при расчете n в невырожденном полупроводнике n-типа зону проводимости представляют как набор Nc числа уровней с одинаковой энергией Ec.

Nv – валентная зона состоит из Nv уровней с одинаковой энергией Ev.

Уравнение электрической нейтральности для полупроводников и диэлектриков

Для определения n, p необходимо знать положение уравнения Ферми. Его определяют из уравнения электронейтральности полупроводников (диэлектриков).

Смысл уравнения: в любом физически малом объеме полупроводника (диэлектрика) концентрация отрицательно свободных и связанных зарядов = концентрации свободных и связанных зарядов.

Свободные носители -

Связанные: дырки на уровнях донора – концентрация Pd (D + ) электроны – акцептора - n_a (A - ).

Собственный полупроводник

Уровень Ферми. Собственная концентрация носителей заряда.

G₀ и R₀ – скорости процессов.

Этому состоянию соответствует равенство n = p = n_i

n_i – собственная концентрация носителей заряда.

G₀ – термическая генерация Энергия рекомбинирующих частиц(

Определение Fi

Уравнение электронейтральности: n = p

Для невырожденных собственных полупроводников: Откуда:

F_i линейно зависит от T.

Собственная концентрация n_i

n_i – зависит от DEg, плотности состояний в зонах и температурах:

Угловой коэффициент (

Таким образом, по n_i (T) можно определить DE_g при T = 0 k.

Произведение np в невырожденном полупроводнике

Используется для определения концентрации неосновных носителей заряда по известной концентрации основных носителей заряда.

Вырожденный электронный газ в металлах. Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если m₀— химический поте нциал электронного газа при Т— О К, то, согласно (235.2), среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Еравно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E)ñ = f(E), где f(E)— функция распределения электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если E < m₀ и áN(E)ñ = 0, если E > m₀.График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до m₀ функция áN(E)ñ равна единице. При E = m₀она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т =0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = m₀ заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m₀, свободны. Следовательно, m₀есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е_F (Е_F = m₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Фермн. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми E_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT < Е_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀вырождения (см. § 235) находится из условия kT₀ = E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т₀ = 10 4 К, т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F (рис. 312, 6). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T = 0 К) Это объясняется тем, что при Т > 0небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е< E_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е > Е_F— больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т » 300 К и температуре вырождения T₀=3 - 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (E—E_F) >> kT(«хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (E—E_F) >> T, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E—E_F)

Читайте также: