Сжатие металла от температуры

Обновлено: 06.07.2024

Определение и формула коэффициента теплового расширения

Тепловым расширением называют изменение размеров тела при изменении его температуры. Тепловое расширение (сжатие) характеризуют при помощи соответствующего коэффициента. Различают линейное и объемное тепловое расширения. Эти процессы характеризуют коэффициентами теплового расширения: — средний коэффициент линейного теплового расширения, средний коэффициент объемного теплового расширения.

Коэффициент теплового расширения — это физическая величина, которая характеризует изменение линейных размеров твердого тела с ростом или уменьшением его температуры.

Обозначим начальную длину тела , — его удлинение при увеличении температуры тела на , тогда будет равен:

Коэффициент линейного теплового расширения является характеристикой относительного удлинения ( ), которое происходит при увеличении температуры тела на 1К.

При увеличении температуры увеличивается объем тела. Для твердых тел и жидкостей можно считать справедливой формулу:

где — начальный объем тела, — изменение температуры тела.

Коэффициент объемного расширения тела — это физическая величина, характеризующая относительное изменение объема тела ( ), происходящее при нагревании тела на 1 K давление должно быть постоянным. Коэффициент можно определить как:

Тепловое расширение твердого тела связывают с ангармоничностью тепловых колебаний частиц, составляющих кристаллическую решетку тела. В результате данных колебаний при увеличении температуры тела увеличивается равновесное расстояние между соседними частицами этого тела.

Изменение объема тела ведет к изменению его плотности:

где — начальная плотность, — плотность вещества при новой температуре. Так как величина то выражение (4) иногда записывают как:

Коэффициенты теплового расширения зависят от вещества. В общем случае они будут зависеть от температуры. Коэффициенты теплового расширения считают независимыми от температуры в небольшом интервале температур.

Существует ряд веществ, имеющих отрицательный коэффициент теплового расширения. При повышении температуры такие материалы сжимаются. Обычно это происходит в узком интервале температур. Есть вещества, у которых коэффициент теплового расширения почти равен нулю в некотором определенном интервале.

Связь коэффициентов теплового расширения

В первом приближении можно считать, что коэффициенты линейного и объемного расширения изотропного тела связаны соотношением:

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициентов температурного расширения в системе СИ является:

Примеры решения задач

Задание Каков коэффициент теплового расширения некоторого металла, если при его нагревании от до плотность данного металла уменьшается в n раз? При решении задачи считайте, что коэффициент линейного расширения является постоянным в рассматриваемом интервале температур.
Решение Плотность металла при температуре может быть найдена как:

\[{\rho }_1=\frac{m}{V_1}\to V_1=\frac{m}{{\rho }_1}\left(1.1\right)\]

Плотность металла при температуре :

\[{\rho }_2=\frac{m}{V_2}\to V_2=\frac{m}{{\rho }_2}\left(1.2\right)\]

Определим, каким будет относительное изменение объема металла ( ), учитывая выражения (1.1) и (1.2):

\[\frac{\Delta V}{V_1}=\frac{V_2-V_1}{V_1}=\frac{\frac{m}{\rho_2}-\frac{m}{\rho_1}}{\frac{m}{\rho_1}}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1\left(1.3\right)\]

Используя определение коэффициента объемного теплового расширения:

Для изотропного вещества мы знаем, что:

Значит выражение (1.5) перепишем как:

Сравниваем выражения (1.3) и (1.7), имеем:

\[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1={3\alpha }_l\Delta T\to {\alpha }_l=\frac{\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}-1}{3\Delta T}=\frac{n-1}{3(t_2-t_1)}\left(1.8\right),\]

где =( ).

Задание К проволоке радиуса r подвешен груз. Под действием его проволока получает удлинение равное удлинению при нагревании ее на K. Какова масса груза? Модуль Юнга для этой проволоки равен E, линейный коэффициент теплового расширения материала проволоки равен
Решение Сделаем рисунок.

Формула коэффициента теплового расширения

На груз действует сила тяжести ( ) и реакция опоры ( ). В соответствии с третьим законом Ньютона реакция опоры равна по модулю силе упругости ( ), которая действует на проволоку и по закону Гука равна:

По второму закону Ньютона для груза имеем:

В проекции на ось Y выражение (2.2) имеет вид:

\[mg=N\to F_{upr}=mg\left(2.3\right)\]

Учитывая выражение (2.1) получим:

\[ES\frac{\Delta l}{l_0}=mg\to \frac{\Delta l}{l_0}=\frac{mg}{ES}=\frac{mg}{E\pi r^2}\to \Delta l=\frac{mgl_0}{E\pi r^2}\left(2.4\right)\]

Увеличение температуры ведет к увеличении длины проволоки в соответствии с выражением:

Температурные воздействия на конструкции – Часть 2: Термомеханика

В этой части рассмотрены теоретические основы температурных воздействий на конструкции с точки зрения классической механики материалов.

В предыдущей части 1 рассмотрены особенности учета температурных воздействий при проектировании конструкций зданий по российскому своду правил СП 20.13330.2011 (СНиП 2.01.07-85).

В части 3 представлены примеры температурных воздействий на простые конструкции – балки с различными условиями закрепления.

1. Теоретические основы температурных воздействий на материалы

1.1. Температурное расширение-сокращение

Изменения температуры вызывают расширение или сокращение конструкционных материалов, в результате чего в них возникают температурные деформации и температурные напряжения. Простая иллюстрация температурного расширения показана на рисунке 2.1, где брусок материала не закреплен и поэтому имеет возможность свободно расширяться [1].


Рисунок 2.1 – Брусок материала под воздействием увеличения температуры [1]

Когда этот брусок нагревается, каждый элемент материала подвергается температурным деформациям по всем направлениям, и, соответственно, размеры бруска увеличиваются также во всех направлениях. Если взять угол А за точку отсчета и дать стороне АВ возможность сохранять свое исходное направление, то брусок примет форму, которая показана штриховыми линиями.

Для большинства конструкционных материалов температурная деформация εT является пропорциональной изменению температуры ΔT, то есть

εT = α·ΔT, (1)

где α – свойство материала, которое называется коэффициентом температурного расширения. Согласно принятому в мире «знаковому соглашению» температурное расширение считается положительным, а температурное сокращение – отрицательным [1, 2].

1.2. Коэффициент температурного расширения конструкционных материалов

Поскольку деформация является безразмерной величиной, этот коэффициент температурного расширения имеет размерность, обратную изменению температуры. В системе СИ размерность αТ может выражаться как 1/К (величина обратная единице СИ Кельвин) или 1/ºС (величина обратная градусу Цельсия). Величина αТ является одинаковой в обоих случаях, так как изменение температуры является численно одинаковым как в градусах Кельвина, так и в градусах Цельсия.

Удобно представлять величину коэффициента температурного расширения в единицах 10 -6 /ºС или мкм/м·ºС. Последний вид особенно удобен – он наглядно показывает насколько микрометров удлиняется один метр материала при увеличении температуры на один градус температуры.

Информация о коэффициентах температурного расширения некоторых конструкционных материалов представлена в таблице 1.

Таблица 2.1 - Коэффициент температурного расширения конструкционных материалов [1]


1.3. Коэффициент температурного расширения алюминиевых сплавов

Коэффициенты температурного расширения основных алюминиевых сплавов, которые применяются в строительстве, показаны в таблице 2.

Таблица 2.2 - Коэффициент температурного расширения строительных алюминиевых сплавов [3]


Из таблицы 2.2 видно, что коэффициенты температурного расширения различных алюминиевых сплавов различаются незначительно. Поэтому в своде правил СП 128.13330.2012 (СНИП 2.03.06-85) для расчетов алюминиевых конструкций в интервале температуры от минус 70 ºС до 100 ºС для всех применяемых в строительстве алюминиевых сплавов применяется коэффициент температурного расширения 0,23·10 -4 1/ºС [4]. В европейском стандарте EN 1991-1-5 величина расчетного коэффициента температурного расширения составляет 24·10 -6 1/ºС [5].

1.4. Температурные напряжения

Чтобы продемонстрировать относительную важность температурных напряжений, можно сравнить температурные напряжения с напряжениями, которые возникают при силовом нагружении [1]. Предположим, что мы имеем брус, который нагружен силами в осевом направлении с продольными деформациями, которые даются равенством

где σ – напряжение, а Е – модуль упругости. Далее предположим, что мы имеем идентичный брусок, которые подвержен изменению температуры ΔT. Это означает, что этот брусок имеет температурные деформации согласно равенства (1). Приравнивание этих двух видов деформаций дает уравнение

σ = Е·α·ΔT (3)

Вычислим осевое напряжение σ, которое дает такие же деформации, как и изменение температуры ΔT в стержнях из алюминиевого сплава и строительной (малоуглеродистой) стали при увеличении их температуры на 50 ºС.

Для алюминиевого стержня (α = 23·10 6 , Е = 70000 Н/мм 2 ):

σ = 70000·23·10 -6 ·50 = 80,5 Н/мм 2

Для стержня из малоуглеродистой стали (α = 12·10 6 , Е = 210000 Н/мм 2 ):

σ = 210000·12·10 -6 ·50 = 126 Н/мм 2

Отметим известный факт, что при одинаковом изменении температуры температурные напряжения в алюминиевом стержне составляют только 2/3 от величины температурных напряжений в стальном стержне. Так происходит потому, что величина температурных напряжений зависит от произведения модуля упругости и коэффициента температурного расширения (см. формулу (3)). Поэтому, хотя коэффициент температурного расширения алюминия в два раза больше, чем у стали, но модуль упругости алюминия в три раза меньше, чем у стали.

Как видно из приведенных выше расчетов, температурные напряжения могут достигать величин, сравнимых с напряжениями от механических нагрузок. Поэтому термические воздействия на конструкции зданий необходимо учитывать наряду с другими нагрузками, как того и требуют нормативные документы [4, 5].

1.5. Температурные перемещения

Вернемся к бруску материала, показанного на рисунке 1 [1]. Предполагаем, что материал бруска является гомогенным и изотропным, то есть механические свойства материала бруска являются одинаковыми во всем его объеме. Кроме того, предполагаем, что изменение температуры ΔT является однородным, то есть одинаковым, по всему бруску. При таких условиях мы можем вычислить увеличение любого размера бруска путем умножения первоначального размера на температурную деформацию. Например, если один из размеров бруска составляет L, то этот размер увеличиться на величину

δТ = εT· L= α·ΔT·L (4)

Уравнение (4) можно применять для вычисления изменений длин элементов конструкций после однородного нагрева, например, удлинение призматического стержня на рисунке 2.2. Поперечные размеры стержня также изменятся, но эти изменения не показаны на рисунке 2.2, так как обычно они не оказывают влияния на осевые силы, которые передаются этим стержнем.


Рисунок 2.2 – Увеличение длины призматического стрежня
в результате однородного увеличения температуры (уравнение (4)) [1]

Оценим удлинение незакрепленных алюминиевого и стального стержней длиной 3 м при увеличении их температуры на 50 ºС.

Для алюминиевого стержня:

δТ = α·ΔT·L = 23·10 -6 ·50·3000 = 3,5 мм

Для стержня из малоуглеродистой стали:

δТ = α·ΔT·L = 12·10 -6 ·50·3000 = 1,8 мм

При рассмотрении выше температурных деформаций предполагалось, что конструкция не имеет ограничений для своих перемещений, что позволяло ей расширяться или сокращаться совершенно свободно. Такие условия возникают, например, когда объект лежит на гладкой поверхности, на которой не возникает трения [1]. В таких случаях при однородном нагреве всего объекта в целом не возникает напряжений, хотя неоднородные изменения температуры могут вызывать внутренние температурные напряжения. Однако многие конструкции имеют опоры, которые препятствуют свободному расширению и сокращению их размеров. Поэтому в них развиваются температурные напряжения даже, если изменение температуры является однородным по всей конструкции.

1.6. Температурные деформации в статически определимых конструкциях

Рассмотрим ферму АВС из двух стержней, показанную на рисунке 2.3. Предположим, что температура стержня АВ изменилась на ΔТ1, а стержня ВС – на ΔТ2. Поскольку эта ферма является статически определимой, то оба стержня могут свободно удлиняться или укорачиваться, давая в результате перемещение соединения В. Однако в этом случае температурные напряжения в стержнях, а также реакции в опорах, отсутствуют.


Рисунок 2.3 – Статически определимая ферма
с однородным изменением температуры в каждом элементе

Это заключение справедливо в целом для всех статически определимых конструкций, а именно: однородное изменение температуры в элементах конструкции вызывают температурные деформации (и соответствующие изменения длин элементов) без возникновения соответствующих температурных напряжений [1, 2].

1.7. Температурные деформации в статически неопределимых конструкциях

Статически неопределимыми конструкциями называются конструкции, у которых число реакций превышает число уравнений статического равновесия. В отличие от статически определимых конструкций при расчете таких конструкций принимаются во внимание прогибы [1, 2].

В статически неопределимой конструкции температурные напряжения могут возникать или не возникать в зависимости от особенностей конструкции и особенностей температурных изменений. Чтобы проиллюстрировать некоторые из таких возможностей, рассмотрим статически неопределимую ферму, показанную на рисунке 2.4.


Рисунок 2.4 - Статически неопределимая ферма
под воздействием изменений температуры

Опоры этой конструкции позволяют узлу D двигаться горизонтально. Поэтому, когда вся ферма однородно нагревается, в ней не возникает температурных напряжений. Все элементы увеличиваются в длине пропорционально своим первоначальным длинам, а вся ферма в целом становится немного больше в размерах.

Однако, если некоторые из стержней нагреваются, а другие – нет, то возникают температурные напряжения, так как статически неопределимое расположение стержней препятствует их свободному расширению.

Заключение

1) Изменение температуры элементов конструкции вызывает в них температурные деформации. Температурные напряжения возникают только в статически неопределимых конструкциях.

2) Однородный нагрев алюминиевого стержня на 50 ºС способен при жестком закреплении концов стержня вызывать значительные температурные напряжения. При таком нагреве удлинение стержня со свободными концами составляет 3,5 мм.

Источники:

1. James M. Gere & Barry J. Goodno - Mechanics of Materials, 2009

2. Тимошенко С.П., Гере Дж. – Механика материалов, М.: Мир, 1976

3. Aluminum and Aluminum Alloys / ed. J.R. Davis, ASM International, 1993

4. СП 128.13330.2012 (СНИП 2.03.06-85) Алюминиевые конструкции

5. EN 1991-1-5 Еврокод 1: Воздействия на сооружения. Часть 1-5. Основные воздействия. Температурные воздействия

ООО «Алюком»
г. Москва, ул. Нагатинская, д. 16, стр. 9, офис 2-5

Москва, Рязанский проспект, д.8А, стр.17 (цех 17, территория завода ВНИИ МетМаш).
Заезд грузового через КПП ул.Стахановская д.20.

Коэффициент теплового расширения

Коэффициент линейного расширения

Определение и формула коэффициента линейного расширения

При увеличении температуры происходит расширение твердого тела, которое называют тепловым расширением. Его делят на линейное и объемное тепловое расширение.

Коэффициентом линейного расширения называют физическую величину характеризующую изменение линейных размеров твердого тела при изменении его температуры. Оперируют, обычно средним коэффициентом линейного расширения. Обозначают его Коэффициент линейного расширения относят к характеристикам теплового расширения материала.

Допустим, что изначальная длина тела равна — его удлинение при увеличении температуры тела на , в таком случае определен формулой:

Коэффициент линейного удлинения является характеристикой относительного удлинения ( ), которое происходит при увеличении температуры тела на 1К.

Применение коэффициента линейного расширения

Коэффициент линейного расширения используют для нахождения длины тела ( ), после нагревания , она считается равной:

Формулу (2) можно использовать и для нахождения длины тела при его охлаждении.

Величина зависит от вещества, из которого изготовлено тело. В большом количестве случаев .

Величина в общем случае зависит от температуры. Эмпирически установлено, что одно и то же тело при высоких температурах испытывает большее тепловое расширение, чем при низких температурах. Но в большинстве случаев этим пренебрегают и считают, что изменение размеров тела пропорционально температуре.

Для нахождения величины коэффициента линейного расширения измеряют длину стержня ( ) из изучаемого материала. При этом температура стержня поддерживается одинаковой по всей длине. Температуру увеличивают на некоторую величину и измеряют удлинение стержня которое вызвало повышение температуры. Для изменения малой величины удлинения применяют, например, микроскоп. При этом один конец стержня закрепляют и в микроскоп наблюдают за перемещением другого конца при нагревании.

Следует отметить, что коэффициент линейного расширения можно считать постоянной величиной, не зависящей от температуры только при небольших изменениях температур. Так, для железа при температуре, равной o C ; при 0 o C ; при 600 o C . Следовательно, формулу (2) применяют для небольшой величины , используя значение коэффициента линейного расширения для соответствующего интервала температур.

Основной единицей измерения коэффициента линейного расширения в системе СИ является:

Формула коэффициента линейного расширения

\[l_{Zn}=l_0\left({\alpha }_{lZn}\Delta T+1\right)\left(1.1\right);\]

\[l_{Fe}=l_0\left({\alpha }_{lFe}\Delta T+1\right)\left(1.2\right)\]

где длины каждого из стрежней при температуре 0 o , — длина стержня из цинка при 100 o C, — длина стержня из железа при 100 o C.

Вычтем из (1.1) выражение (1.2), получим:

\[l_{Zn}-l_{Fe}=l_0\left({\alpha }_{lZn}\Delta T+1\right)-l_0\left({\alpha }_{lFe}\Delta T+1\right)=d\left(1.4\right)\]

Из формулы (1.4) выразим искомую длину , получим:

{\alpha }_{lZn}=3\cdot {10}^{-5}K^{-1};\ {\alpha }_{lFe}=1,2\cdot {10}^{-5}K^{-1}.

Значения коэффициентов линейного расширения возьмем для соответствующих материалов из справочных таблиц: Переведем в систему СИ d=1мм= м. Проведем вычисления:

\[l_0=\frac{{10}^{-3}}{(3-1,2)\cdot {10}^{-5}\cdot 100}\approx 0,555\ \left(m\right)\]

Задание Длина металлического стержня ( при температуре К) при температуре равна . Каково удлинение этого стержня при температуре .
Решение В качестве основы для решения задачи используем закон линейного расширения:

\[l_1=l_0\left({\alpha }_l\left(T_1-T_0\right)+1\right)\to l_0=\frac{l_1}{{\alpha }_l\left(T_1-T_0\right)+1}\left(2.1\right),\]

\[l_2=l_0\left({\alpha }_l\left(T_2-T_0\right)+1\right)\left(2.2\right),\]

где — длина стержня при его температуре , — длина стержня при его температуре . .

Удлинение стержня можно найти, если из вычесть получим:

Подставим в формулу (2.3) выражение для из (2.1):

\[\Delta l=\frac{l_1\alpha \left(T_1-T_2\right)}{\alpha \left(T_1-T_0\right)+1}\left(2.4\right)\]

Примем во внимание, что величина , зная, что порядок Значит, что формулу (2.4) можно преобразовать к виду:

Читайте также: