Уровень ферми в металлах

Обновлено: 14.05.2024

Фе́рми-эне́ргия — значение энергии, ниже которой при температуре абсолютного нуля Т=0 К, все энергетические состояния системы частиц, подчиняющихся Ферми — Дирака статистике, заняты, а выше — свободны. Уровень Ферми — некоторый условный уровень, соответствующий энергии Ферми системы фермионов; в частности электронов твердого тела, играет роль химического потенциала для незаряженных частиц. Статистический смысл уровня Ферми — при любой температуре его заселенность равна 1/2.

Положение уровня Ферми является одной из основных характеристик состояния электронов (электронного газа) в твердом теле. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами, определяется функцией Ферми F(E):

То есть все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, полностью заняты электронами, а выше него свободны.

Энергия Ферми E_F — максимальное значение энергии, которое может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. Энергия Ферми совпадает со значениями химического потенциала газа фермионов при Т =0 К, то есть уровень Ферми для электронов играет роль уровня химического потенциала для незаряженных частиц. Соответствующий ей потенциал j_F = E_F/е называют электрохимическим потенциалом.

Таким образом, уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше1/2 свободны от электронов.

Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.

С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2. В реальных условиях изменение E_Fсувеличением температуры мало. Например, для Ag, имеющего при Т=0 значение E_F равное 5,5 эВ, изменение энергии Ферми при температуре плавления составляет всего около 0,03% от исходного значения.

В полупроводниках при очень низких температурах уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны. (Для донорных полупроводников — полупроводников n-типа проводимости — уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем). С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, и уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны. Аналогичные закономерности проявляются и полупроводниках р-типа проводимости.

Существование энергии Ферми является следствием Принципа Паули. Величина энергии Ферми существенно зависит от свойств системы. Понятие об энергии Ферми используется в физике твердого тела, в ядерной физике, в астрофизике и т. д.

Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне при температуре Т определяется функцией Ферми – Дирака:

где W_F – энергетический уровень, называемый уровнем Ферми.

При Т=0°К вероятность занятия электронами уровней W > W_F равна нулю:

а уровней W < W_F единице:

Энергия для перахода в зону проводимости берется от тепловых колебаний. Поэтому при Т=0°К свободных электронов в полупроводнике нет (ни один уровень в ЗП не занят электроном), все электроны находятся на орбитах (в ВЗ), следовательно, энергетические ЗП соответствуют условию W > W_F, а энергетические уровни ВЗ – условию W < W_F. Это говорит о том, что уровень Ферми W_F расположен ниже «дна» ЗП W_П и выше «потолка» ВЗ W_В, т.е. в ЗЗ. На рис. 3 приведены кривые функции Ферми – Дирака.

При Т=0°К фуекция f_n(W) имеет ступенчатый характер. Вероятность занятия электронами уровней в ЗП = 0, а в ВЗ = 1.

При Т > 0°К появляется небольшая вероятность занятия электронами уровней в ЗП, а вероятность занятия уровней в ВЗ соответственно снижается.

Из формулы Ферми – Дирака видно, что при температуре, отличной от абсолютного нуля (Т>0), уровень Ферми – это такой энергетический уровень W = W_F, формальная вероятность заполнения которого электроном равна 0,5 (т.к. е° = 1).

Формальное потому, что уровень Ферми находится в запрещенной зоне и фактически не может быть занят электроном. Таким образом, конкретный смысл имеют только те участники кривой распределения f_n(W), которые расположены в ЗП и в ВЗ.

Кривая распределения Ферми – Дирака всегда симметрична относительно уровня Ферми. Из этого, в частности, следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен посередине ЗЗ. При повышении температуры от нуля появляется определенная вероятность занятия электронами энергетических уровней в ЗП. Но при этом на такую же величину снижается вероятность нахождения электронов в ВЗ. Нетрудно видеть, что при симметричном размещении кривой распределения f_n(W) относительно уровня Ферми это возможно только в случае, если уровень Ферми будет находиться посередине ЗЗ.

Уровни Ферми

Концентрация электронов в зоне проводимости (и образовавшихся дырок в валентной зоне) при заданной температуре Т пропорциональна вероятности "заполнения" электроном уровня Е при этой температуре.

Эта вероятность описывается функцией распределения Ферми–Дирака

в которой Е_F - энергия Ферми (или уровень Ферми), наименьшая энергия, необходимая для возбуждения одной частицы и перехода ее в зону проводимости. За начало отсчета энергии удобно выбрать (в энергетической диаграмме кристалла) нулевое значение.

а). Если в полупроводнике электрон "перебрасывается" с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости, на это затрачивается энергия, равная ΔЕg (ширине запрещенной зоны). У чистого полупроводника при переходе электрона в зону проводимости в валентной зоне появляется другой носитель тока - дырка, т.е. на образование одного носителя тока необходима энергия ΔЕg/2. Следовательно, уровень Ферми чистого полупроводника расположен в центре запрещенной зоны (рис.7а).

Энергия Ферми представляет собой среднюю энергию возбуждения электронов, "перебрасываемых" в зону проводимости. При абсолютном нуле и вблизи него уровень Ферми полупроводников-доноров расположен вблизи донорных уровней, т.к. в этой области температур переходы электронов через всю запрещенную зону (с верхнего уровня валентной зоны в зону проводимости) маловероятны.

Однако, с увеличением температуры вещества увеличивается число электронов, переходящих через всю запрещенную зону в зону проводимости, благодаря тепловому хаотическому движению и тепловым флуктуациям.

При каждом из таких переходов образуются два носителя тока (электрон и дырка). Следовательно, для образования одного носителя тока необходима энергия ΔЕg/2. Уровень Ферми перемещается (опускается) из области донорных уровней к своему предельному положению – в центр полосы запрещенных энергий (рис.7б).

в). В акцепторных полупроводниках при абсолютном нуле и вблизи него уровни Ферми расположены вблизи акцепторных уровней (у верхней границы валентной зоны). С увеличением температуры увеличивается число электронов, переходящих через всю запрещенную зону в зону проводимости, и уровень Ферми перемещается (поднимается), стремясь, как и в донорных полупроводниках, к своему предельному положению – в центр запрещенной зоны (рис.7в).

IV. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ.

1. Металлы. Удельная электропроводность металла σ, полученная в электродинамике при выводе закона Ома в дифференциальной форме j = σ Е на основе классической электропроводности, выражается формулой

где n - концентрация "свободных электронов", - их средняя длина свободного пробега, r> - средняя арифметическая скорость теплового хаотического движения.

В металле n и практически не зависят от температуры (при Т=0 К и температуре плавления концентрация электронов проводимости практически одинакова), а r> прямо пропорциональна , следовательно, согласно классической теории электропроводности, σ должна быть пропорциональна . Однако, экспериментально в широкой области температур получена зависимость , подтвержденная расчетами, проведенными на основе квантовой теории электропроводности.

В ней доказано, что внешнее электрическое поле ускоряет не все свободные электроны в металле (как принято считать в классической теории), а лишь электроны, находящиеся на уровне Ферми или вблизи него. Электроны на более "глубоких" уровнях не принимают участие в электропроводности.

Кроме того, следует учесть, что электроны проводимости перемещаются не только под действием внешнего электрического поля напряженности Е, но и в периодическом поле кристаллической решетки, действие которой следует учесть, введя эффективную массу электрона m*;

где - сила, обусловленная действием на электрон поля кристаллической решетки.

2. В чистом полупроводнике носителями тока также являются электроны проводимости, но механизм их возникновения отличается от механизма возникновения электронов проводимости в металлах.

Главные факторы их образования: тепловое хаотическое движение и наличие тепловых флуктуаций - отклонение энергий ионов (атомов) кристаллической решетки от их среднего значения (эти отклонения существуют при любой температуре, большей абсолютного нуля).

Такие атомы отдают валентные электроны, которые переходят через зону запрещенных энергий ΔЕg в зону проводимости. Поэтому при любой температуре, большей абсолютного нуля, в зоне проводимости полупроводника имеется некоторое количество электронов.

Одновременно с появлением в зоне проводимости электронов в ранее заполненной (валентной) зоне возникают дырки, перемещающиеся под действием внешнего электрического поля в направлении, противоположном перемещению электронов в зоне проводимости. При этом концентрации электронов и дырок одинаковы, n_э = n_д = n, а суммарная плотность тока j, обусловленная движением электронов и дырок

u_э - подвижность электронов проводимости,

u_д - подвижность дырок.

Для установления зависимости σ от Т, необходимо знать зависимость n, u_э и u_д от Т.

Концентрация электронов проводимости в полупроводнике при температуре Т пропорциональна вероятности заполнения уровня Е в зоне проводимости, которая определяется формулой

то есть где A - постоянная величина.

Примем E за нижнюю границу зоны проводимости, на которую переходит электрон с верхней границы валентной зоны Е_в

E = Е_в +ΔЕ_g/2 (уровень Ферми расположен посередине ΔЕ_g)

Отсюда следует, что

Е - Е = ΔЕ_g/2 , а

При ΔЕ_g >> kT, , и, следовательно, концентрация электронов проводимости

Зависимость подвижности носителей тока (электронов и дырок) от температуры обусловлена рассеянием электронов при столкновении их с атомами (ионами) кристаллической решетки (при взаимодействии с атомами происходит изменение скорости электронов, как по величине, так и по направлению). С повышением температуры полупроводника тепловое хаотическое движение атомов становится интенсивнее, рассеяние увеличивается, подвижность носителей тока u = v>/E (где - средняя скорость направленного движения электронов) уменьшается.

Опытным путем, на основе исследования эффекта Холла, установлено, что в области температур Т≥Т_с (Т_с - температура собственной проводимости) температурная зависимость подвижных носителей тока в атомных полупроводниках имеет вид u ~ T -3/2 , в ионных – u ~ Т –1/2 .

Таким образом, при сравнении температурной зависимости n(T) и u(T) становится очевидной определяющая роль температурной зависимости n(T) в выражении для удельной электропроводности

Удельная электропроводность такого полупроводника описывается выражениями:

Первый член в выражении для σ − составляющая собственной проводимости, второй - примесной. В этом выражении ΔЕ_g - энергия диссоциации (ионизации) - ширина запрещенной зоны, ΔЕ₁ и ΔЕ₂ - энергии активации. У донорных примесей - это энергия, необходимая для перехода с донорного уровня на нижний уровень зоны проводимости (ΔЕ₁, рис.6а), у акцепторных полупроводников - энергия, необходимая для перехода электрона с верхнего уровня валентной зоны (ΔЕ₂, рис.6б).

В примесных полупроводниках при достаточно высоких температурах проводимость является собственной, а при низких – примесной.

Энергия Ферми

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ₀ – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число Е равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов f(Е), где f(Е) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений E < μ₀, и E > μ₀,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ₀ функция E = μ₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ₀, свободны. Следовательно, μ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Фермии обозначается Е_F.( Е_F = μ₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F_:, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T₀ вырождения находится из условия kT₀ = E_F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т₀ ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е_F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е < Е_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е_F. — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T₀ = 3 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е — Е_F) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана.

Уровень ферми в металлах

Читайте также: