Вывод основных законов электрического тока в классической теории проводимости металлов

Обновлено: 18.05.2024

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое по­ле напряженностью Е=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F=eE и приобретает ускорение а=F/m=еЕ/т. Таким образом, во время сво­бодного пробега электроны движутся рав­ноускоренно, приобретая к концу свобод­ного пробега скорость

где t>—среднее время между двумя последовательными соударениями элек­трона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце сво­бодного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упо­рядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

Классическая теория металлов не учи­тывает распределения электронов по ско­ростям, поэтому среднее время t> сво­бодного пробега определяется средней длиной свободного пробега l> и средней скоростью движения электронов относи­тельно кристаллической решетки провод­ника, равной +(v) (u>—средняя скорость теплового движения электронов). В §102 было показано, что (v)<< , поэтому

Подставив значение t> в формулу (103.1), получим

Плотность тока в металлическом провод­нике, по (96.1),

откуда видно, что плотность тока пропор­циональна напряженности поля,

т. е. получили закон Ома в дифференци­альной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость ма­териала

которая тем больше, чем больше концен­трация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действи­ем поля приобретает дополнительную ки­нетическую энергию

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испыты­вает с узлами решетки в среднем столкновений:

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит n стол­кновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, переда­ваемую решетке в единице объема провод­ника за единицу времени,

Величина w называется удельной тепловой мощностью тока (см. §99). Коэффициент пропорциональности между w и Е 2 по (103.2) есть удельная проводимость ; сле­довательно, выражение (103.6) —закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

3. Закон Видемана — Франца. Метал­лы обладают как большой электропровод­ностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы — свободные электроны, кото­рые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и прису­щую им энергию хаотического теплового движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспе­риментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности () к удельной проводимости () для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорцио­нально термодинамической температуре:

где  — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение : =3(k/e) 2 , где k — пос­тоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным слу­чайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил =2(k/e) 2 , что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Ви­демана — Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Ви­демана — Франца столкнулась еще с ря­дом трудностей при объяснении различных опытных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротив­ления. Из формулы удельной проводимо­сти (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропор­циональная , должна возрастать пропор­ционально T (в (103.2) n и l> от темпе­ратуры не зависят, а u>~Т). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T (см. §98).

Оценка средней длины свободного про­бега электронов в металлах. Чтобы по формуле (103.2) получить , совпадающие с опытными значениями, надо принимать l> значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон про­ходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемко­сти электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость ди­электриков, у которых нет свободных элек­тронов. Согласно закону Дюлонга и Пти (см. §73), теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоем­кость одноатомного электронного газа равна 3 /2R. Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электрон­ной теорией.

Указанные расхождения теории с опы­том можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а зако­нам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. По­этому объяснить затруднения элементар­ной классической теории электропровод­ности металлов можно лишь квантовой тео­рией, которая будет рассмотрена в даль­нейшем. Надо, однако, отметить, что клас­сическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводи­мости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой тео­рией простой и наглядной.

Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E = const . Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a = F / m = eE / m . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где á t ñ — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоро­стям, поэтому среднее время á t ñ свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега á l ñ и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной á u ñ + á v ñ ( á u ñ — средняя скорость теплового движения электронов). Ранее нами было показано, что á v ñ u ñ , поэтому

Подставив значение á t ñ в формулу (103.1), получим

Плотность тока в металлическом проводнике, по (96.1),

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональности между j и E есть не что иное, как удельная проводимость материала

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем á z ñ столкновений:

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит п á z ñ столкновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

Величина w является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и E 2 по (103.2) есть удельная проводимость g ; следовате­льно, выражение (103.6)—закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

3. Закон Видемана — Франца. Металлы обладают как большой электропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы — свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности ( l ) к удельной проводимости ( g ) для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорциональ­но термодинамической температуре:

где b — постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение b : b =3( k / e ) 2 , где k — постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил b =2( k / e ) 2 , что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана — Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опыт­ных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления. Из формулы удельной проводимости (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональная g , должна возрастать пропорционально (в (103.2) п и á l ñ от температуры не зависят, а á u ñ ~ ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R ~ T (см. § 98).

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах. Чтобы по формуле (103.2) получить g , совпадающие с опытными значениями, надо принимать á l ñ значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти, теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна 3 /2R. Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5 R . Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной классической теории электропроводности метал­лов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концент­рации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качест­венные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем.

По теории Друде — Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов

которая для Т=300 К равна 1,1 · 105 м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов.

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы приобретает ускорение . Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где t> — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время t> свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега l> и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной ( — средняя скорость теплового движения электронов). В § 102 было показано, что , поэтому

Подставив значение (t) в формулу (103.1), получим

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между j и Е есть не что иное, как удельная проводимость материала

2. Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием: поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем столкновений:

Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходит столкновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника зш. единицу времени,

Величина w является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и Е2 по (103.2) есть удельная проводимость ; следовательно, выражение (103.6) — закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.

§ 103. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома.Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E=const. Coстороны поля зарядеиспытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a=F/m=eE/m.Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

где t— среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с иона­ми решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядочен­ного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направлен­ного движения электрона

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоро­стям, поэтому среднее время tсвободного пробега определяется средней длиной свободного пробегаlи средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной u +v (u —средняя скорость теп­лового движения электронов). В § 102 было показано, что vu, поэтому

Подставив значение tв формулу (103.1), получим

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получи­ли закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональ­ности между j и Eесть не что иное, как удельная проводимость материала

2. Закон Джоуля — Ленца.К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем zсто­лкновений:

Если n— концентрация электронов, то в единицу времени происходитпz столкнове­ний и решетке передается энергия

Величина wявляется удельной тепловой мощностью тока (см. § 99). Коэффициент пропорциональности междуwи E 2 по (103.2) есть удельная проводимость; следовате­льно, выражение (103.6)—закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме (ср. с (99.7)).

3. Закон Видемана —Франца.Металлы обладают как большой электропровод­ностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы—свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности () к удельной проводимости () для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорциональ­но термодинамической температуре:

где —постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение :=3(k/e) 2 ,где k—постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил =2(k/e) 2 ,что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Температурная зависимость сопротивления.Из формулы удельной проводимости (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональ­ная, должна возрастать пропорционально (в (103.2)пиlот температуры не зависят, аu~ ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T(см. § 98).

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах.Чтобы по фор­муле (103.2) получить, совпадающие с опытными значениями, надо приниматьlзначительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов.Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Со­гласно закону Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R.Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна 3 /2R.Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классичес­кой электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной классической теории электропроводности метал­лов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концент­рации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качест­венные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и нагляд­ной.

Читайте также: