Для стальной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Обновлено: 19.05.2024
Пример решения задачи на построение эпюр внутренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx для стальной балки на двух шарнирных опорах, нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.
Задача
Решение задачи
Опорные реакции для данной расчетной схемы были определены здесь.
Балка имеет 3 силовых участка. Обозначим их римскими цифрами, например, справа налево.
Для расчета внутренних силовых факторов по участкам балки воспользуемся методом сечений.
Расчет значений
Начнем с первого силового участка (CD).
Проведем поперечное сечение в пределах участка, в любом месте между точками C и D.
Данное сечение делит балку на две части (левую и правую). Для определения внутренних факторов можно выбрать любую из них, но лучше выбирать менее нагруженную часть балки. Очевидно это будет ее правая часть.
Расстояние от правой границы участка до рассматриваемого сечения обозначим переменной z1, которая может принимать значения от 0 до 1,5 метров (т.е. 0 ≤ z1 ≤ 1,5м).
Подробно, все расчеты значений и построение эпюр Q и M для балки показаны в нашем видеоуроке:
Мысленно отбросим на время всю левую часть балки.
Поперечная сила Q в данном сечении первого участка будет равна сумме всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части балки с учетом их знака, т.е.
Здесь сила F записана положительной, т.к. стремится повернуть правую часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения.
В данном выражении отсутствует переменная z1, что говорит о том, что внутренняя поперечная сила будет одинакова для всех сечений этого участка.
Изгибающий момент M в рассматриваемом сечении определяется как сумма изгибающих моментов от всех внешних нагрузок выбранной части балки.
В полученном выражении переменная z1 является плечом момента силы F для данного сечения балки.
Как видно из полученного выражения изгибающий момент по длине участка меняется линейно (т.к. z1 в первой степени), поэтому для построения эпюры на данном участке нам достаточно двух точек.
Этими точками будут значения изгибающего момента на границах I участка, т.е. при z1=0 и при z1=1,5м
На первом участке внутренние усилия определены.
Переходим на второй силовой участок (BC).
Так же начинаем с того, что проводим сечение в любом месте участка и выбираем рассматриваемую часть балки. Здесь также удобнее рассмотреть правую часть балки.
Расстояние до рассматриваемого сечения от правой границы участка обозначим переменной z2. При этом 0 ≤ z2 ≤ 1м.
Запишем выражения и рассчитаем граничные значения внутренней поперечной силы Q
И изгибающего момента M
Здесь опорная реакция RC положительна, потому что сжимает верхний слой, а сила F и распределенная нагрузка q отрицательны, т.к. сжимают нижний слой балки.
Как записывается момент распределенной нагрузки показано здесь.
В выражении для MxII переменная во второй степени, поэтому эпюра моментов на втором участке будет иметь вид параболы.
Как известно, для построения параболы необходимо знать положение минимум трех ее точек. Но как будет показано дальше, в некоторых случаях при построении эпюр, параболы можно вычерчивать всего лишь по двум точкам. Рассчитаем их значения:
Осталось найти внутренние усилия на III силовом участке (AB).
Рассекаем балку между точками A и B. Выбираем менее нагруженную левую часть. 0 ≤ z3 ≤ 2м – интервал возможных положений сечения относительно левой границы участка.
Записываем выражения для Q и M и вычисляем значения в крайних точках
Здесь видно что выражение для QyIII — линейное, а на эпюре Mx на данном участке будет парабола.
По полученным данным строим эпюры.
Построение эпюр
Для построения эпюр рассчитанные значения откладываем от базовой линии на соответствующих участках.
Начинаем с эпюры поперечных сил Q.
На первом участке выражение для Q не зависело от z1 поэтому его значение будет постоянным (QyI=const) по длине участка, т.е. линия эпюры будет параллельна базовой.
На втором участке были получены два значения Q: -58,3 кН при z2=0 и -18,3кН при z2=1м. Переменная z2 откладывалась от правой границы участка, поэтому z2=0 в точке C, соответственно в т. B переменная z2=1м.
Аналогично откладываются значения Q на третьем участке и значения M на эпюре изгибающих моментов.
Точки на II и III участках эпюры Q и на I участке эпюры M соединяются отрезками, так как распределение внутренних сил и моментов там линейное (переменная z в первой степени).
А при соединении точек эпюры M параболами, надо смотреть на эпюру Q.
Дело в том, что эпюра поперечных сил это первая производная эпюры изгибающих моментов. Поэтому в сечениях балки, где Q=0 на эпюре M будет экстремум.
Как видно эпюра Q пересекает нулевую линию только на третьем силовом участке балки. Поэтому, ввиду того что нас интересуют только пиковые значения изгибающих моментов, на втором участке две крайние точки достаточно соединить параболой, не имеющей экстремума, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.
Для более точного построения линии параболы на данном участке можно найти значения момента для промежуточных положений сечения, например при z2=0,5м.
На третьем участке, в сечении, где Q пересекает базовую линию необходимо рассчитать точку экстремума.
Для этого выражение для QyIII приравнивается к нулю и рассчитывается значение z3, при котором изгибающий момент на участке принимает экстремальное значение. Его подставляют в выражение для MxIII
Это значение откладывается на эпюре M под точкой пересечения эпюры Q с базовой линией
после чего три точки соединяются плавной линией.
Эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов построены.
Полный расчет балки на прочность и жесткость
Пример решения задачи полного расчета на прочность и жесткость стальной двутавровой балки при заданной системе внешних изгибающих нагрузок.
Задача
Выполнить полный расчёт на прочность и проверить жёсткость стальной, двутавровой, статически определимой балки на двух опорах
при следующих данных:
Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q=26кН/м, продольный размер a=0,6м, сосредоточенная сила F=2qa, изгибающий момент m=4qa 2 .
Допускаемые нормальные напряжения [σ]=160МПа,
Модуль упругости I рода Е=200ГПа.
Допустимый прогиб балки [f]=l/400.
Последовательность решения задачи
Для расчета балки на прочность
- Вычерчивается схема нагружения в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок;
- Строятся эпюры внутренних силовых факторов Qy и Mx;
- По условию прочности подбирается двутавровое сечение (№ двутавра) стальной балки:
- Для балки двутаврового профиля выполняется полная проверка на прочность, приняв
- Проверяется прочность по главным напряжениям в опасных точках сечения по III гипотезе прочности
- По результатам расчетов дается заключение о прочности балки при выбранном сечении.
- В случае невыполнения условия прочности по главным напряжениям, подбирается новый номер двутавра.
Для расчета балки на жесткость
- С использованием универсальных уравнений метода начальных параметров (МНП) определяются углы поворота θ над опорами и прогибы в характерных сечениях (2-3 сечения), а также, максимальные прогибы балки в пролете и консольной части;
- По этим данным, в соответствии с эпюрой Mx, строится линия изогнутой оси балки;
- Проверяется выполнение условия жесткости балки.
- Если условие жесткости не удовлетворяется, подбирается новое двутавровое сечение, обеспечивающее необходимую жесткость.
Решение
Рассчитаем численные значения силы F и момента m, которые были заданы в виде переменных.
Вычерчиваем расчетную схему нагружения балки в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок.
Показываем оси системы координат y-z и обозначаем характерные сечения балки.
Полный расчет стальной балки на прочность
Определение реакций в шарнирных опорах балки
Направим реакции опор вверх и запишем суммы моментов относительно точек на опорах, нагрузок приложенных к балке
Из составленных уравнений выражаем и находим реакции.
Из первого уравнения
из второго
Положительные значения указывают на то, что произвольно заданное направление реакций вверх оказалось верным.
Выполним проверку найденных реакций опор спроецировав все силы на ось y
Равенство суммы проекций сил нулю говорит о том что реакции опор определены правильно.
Более подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь
А также в нашем коротком видеоуроке:
Построение эпюр внутренних силовых факторов
Рассчитаем значения внутренних поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки на каждом силовом участке методом сечений.
Балка имеет 4 силовых участка.
1 участок (AB)
2 участок (BC)
3 участок (CD)
4 участок (DK)
Здесь, значения Qy на границах участка имеют одинаковый знак, поэтому на этом участке, на эпюре Mx экстремума не будет.
По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.
Проверка построенных эпюр:
— по дифференциальным зависимостям
— в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Qy имеются скачки значений на величину соответствующей силы;
— в сечениях балки, где приложены изгибающие моменты, на эпюре Mx скачки значений на величину соответствующего момента.
Все условия выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
По эпюрам видно, что опасным является сечение балки в точке C, где:
Mx=Mx max=-24,336кНм
Qy=-4,68кН
Подбор двутаврового сечения балки
Подберем двутаврового сечение балки по условию прочности по нормальным напряжениям
где
Mx max – максимальное значение внутреннего изгибающего момента в сечениях балки. Принимается с построенной эпюры Mx;
Wx – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки относительно горизонтальной оси x;
[σ] – допустимые нормальные напряжения.
Выразим и рассчитаем минимально необходимое значение осевого момента сопротивления поперечного сечения балки Wx обеспечивающего её прочность по нормальным напряжениям
По сортаменту прокатной стали выбираем номер двутавра имеющий осевой момент сопротивления близкий к расчетному Wx=152,1см 3 в большую сторону.
Это двутавр №18а у которого Wx=159,0см 3 .
Максимальные нормальные напряжения в сеченииЭтот двутавр будет работать при максимальных нормальных напряжениях в крайних слоях опасного сечения балки.
Максимальные нормальные напряжения выбранного номера двутавра не превышают допустимых значений, значит сечение подобрано верно.
Полная проверка на прочность двутаврового сечения
При изгибе тонкостенных прокатных профилей, таких как, например, двутавр или швеллер, в местах соединения стенки с полкой нормальные и касательные напряжения имеют не максимальные, но достаточно большие значения.
Их совместное действие, выраженное в виде главных (эквивалентных) напряжений, может превышать допустимые значения, что будет означать потерю прочности в этих точках поперечного сечения балки.
В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение балки B, в котором максимально значение поперечной силы при значительном изгибающем моменте:
Для полной проверки на прочность построим эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении B для выбранного номера двутавра.
Построение эпюр нормальных и касательных напряжений в сечении балки подробно рассмотрено здесь:
Для выполнения расчетов, из сортамента выпишем необходимые геометрические характеристики выбранного номера двутавра:
Высота сечения
h=180мм;
Ширина сечения
b=100мм;
Толщина стенки
d=5,1мм;
Толщина полки
t=8,3мм;
Осевой момент инерции поперечного сечения
Ix=1430см 4 ;
Статический момент сечения
Sx=89,8см 3 .
Двутавровое сечение по высоте имеет 5 характерных точек: верхнюю (1), нижнюю (5), среднюю (3) и две точки в местах перехода стенки в полку двутавра (2 и 4).
Для построения эпюр, определим значения напряжений в указанных точках сечения.
Нормальные напряжения в сечении балки распределяются по линейному закону, поэтому для построения эпюры достаточно найти максимальные значения
Касательные напряжения в характерных точках сечения рассчитываются по формуле Журавского
где
Qy — поперечная сила в данном сечении. Принимается с эпюры с учетом знака;
Ix – осевой момент инерции поперечного сечения;
by – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;
Sx* — статический момент части сечения, расположенной между уровнем рассматриваемой точки и верхним (нижним) краем сечения.
Рассчитаем значения касательных напряжений
Так как выше точки 1 и ниже точки 5 площадь сечения равна нулю, то статический момент Sx* для этих точек тоже равен нулю, следовательно
В точке 3
В точке 3 будут максимальные касательные напряжения, т.к. для неё статический момент сечения Sx максимальный при минимальной ширине сечения d
Видно, что прочность сечения по касательным напряжениям обеспечена.
В точках, где стенка двутавра переходит в полку, будут скачки напряжений, так как на уровне этих точек резко меняется ширина сечения
Рассчитаем значения напряжений в этих точках для стенки (с) и полки (п)
Статический момент полки двутавра
Касательные напряжения в точках 2 и 4 полки
Касательные напряжения в точках 2 и 4 стенки
По этим данным строим эпюры нормальных и касательных напряжений для выбранного номера двутавра.
Рассчитаем величину главных напряжений в точках соединения полки со стенкой двутавра (т. 2 и 4)
Нормальные напряжения в рассматриваемых точках
Эквивалентные напряжения в опасных точках сечения
Как видно, величина эквивалентных напряжений не превышает допустимых значений, следовательно, выбранный номер двутавра удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.
Полный расчет балки на жесткость
Для того чтобы балка удовлетворяла условию жесткости, линейные перемещения (прогибы) балки yz не должны превышать заданных допустимых значений [f], т.е. должно выполняться условие жесткостиРасчет перемещений сечений балки
Расчет перемещений сечений балки выполним методом начальных параметров (МНП).
Шаблоны уравнений метода начальных параметров имеют вид:
Здесь:
θz — угловое перемещение (угол наклона) рассматриваемого сечения;
yz — вертикальное линейное перемещение (прогиб) рассматриваемого сечения балки;
z – расстояние от выбранного начала координат балки до рассматриваемого сечения (координата);
θ0, y0 — соответственно угловое и линейное перемещения балки в выбранном начале координат (начальные параметры);
E – модуль упругости I рода для материала балки;
Ix – осевой момент инерции сечения балки;
m, F, q – соответственно моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, приложенные к балке (включая опорные реакции и компенсирующую распределенную нагрузку);
a, b – расстояние от начала координат до соответствующих моментов m и сил F;
c – расстояние от начала координат до сечения балки, где начинается действие распределенной нагрузки q.
Составляем уравнения МНП для заданной балки
Начало координат принимаем в крайнем правом сечении балки, так как оно расположено на опоре.
Распределенная нагрузка не доходит до конца балки, поэтому продляем её действие и на этой же длине добавляем компенсирующую нагрузку той же интенсивности но противоположного направления.
Запишем нагрузки в уравнения МНП последовательно по участкам с учетом знаков
Для определения начальных параметров θ0 и y0 запишем граничные условия.
На опорах прогибы балки равны нулю, т.е.
Из второго граничного условия, используя уравнение прогибов для точки B определим угол поворота сечения в начале координат θ0
Откуда, при z=3м
Для построения линии изогнутой оси балки определим углы наклона сечений балки на опорах θB, θK и прогибы в характерных сечениях yA, yC, yD.
Углы поворота сечений на опорах
Далее, для краткости, сократим дробь перед скобками
Линейные перемещения (прогибы) характерных сечений балки
Прогиб сечения A (yz при z=3,6м)
Прогиб сечения C (yz при z=1,8м)
Прогиб сечения D (yz при z=0,6м)
Расчет максимальных прогибов балки
Экстремумы прогибов балки будут в точках, где угол наклона сечения балки равен нулю.
Для их определения, приравниваем к нулю уравнения углов наклона сечений по каждому участку балки, откуда определяем координаты z экстремумов прогибов на участке (если они есть).
1 участок (KD).
Уравнение решений не имеет (т.е. экстремумов на участке нет), это значит, что максимальный прогиб на этом участке будет на его левой границе (в сечении D), так как правая точка участка расположена на опоре.
2 участок (DC).
То есть, экстремум прогибов на втором участке будет на расстоянии z2=0,782м от начала координат.
3 участок (CB).
Экстремум прогибов на третьем участке в сечении, на расстоянии z3=2,269м от начала координат.
4 участок (BA).
Данное уравнение решений также не имеет, следовательно, максимальный прогиб на конце консоли, так как на правой границе участка – опора.
Значения максимальных прогибов балки на втором и третьем участках определяем из соответствующих уравнений прогибов для найденных значений z.
По полученным данным строим линию изогнутой оси балки в соответствии с эпюрой изгибающих моментов Mx и с указанием углов поворота сечений на опорах.
Проверка балки на жесткость
Проверяем балку на жесткость, сравнивая по модулю максимальные значения прогибов ymax в пролёте и на консольной части с допустимыми [f].
Балка считается жесткой, если прогибы её сечений не превышают допустимых значений, т.е.
Рассчитаем абсолютные значения допустимых прогибов заданной балки:
В пролете
На консольной части
Для проверки на жесткость сравниваем величину рассчитанных ранее максимальных прогибов сечений балки с соответствующими допустимыми значениями.
В пролете
На консоли
Как видно, максимальный прогиб на конце консольной части балки превышает соответствующее допустимое значение, следовательно, балка не удовлетворяет заданному условию жесткости.
Жесткость балки можно увеличить до требуемого значения путем увеличения момента инерции её сечения, т.е. подбором сечения большего размера.
Подберем двутавр другого номера, который будет обеспечивать необходимую жесткость балки.
Определяем, во сколько раз надо уменьшить величину максимального перемещения сечения.
Тогда, расчетный момент инерции нового сечения балки
По сортаменту выбираем двутавр №20 с осевым моментом инерции сечения Ix=1840см 4 .
Для начала требуется пересчитать угол наклона сечения балки в начале координат.
Рассчитываем прогиб сечения A с новым размером сечения
Условие жесткости выполняется.
Таким образом, двутавр №20 обеспечивает необходимую прочность и жёсткость заданной балки.
Полный расчет заданной балки на прочность и жёсткость выполнен.
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Задача на построение эпюр Q и M в балке
Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил (Q).
Составляем уравнения равновесия.
Проверка
Записываем значения RА и RВ на расчетную схему.
2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений. Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения.
сеч. 1-1 ход слева.
Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z1 влево от сечения до начала участка. Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см. здесь.
Строим по найденным значением эпюру Q.
сеч. 2-2 ход справа.
Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.
Строим эпюру Q.
сеч. 3-3 ход справа.
сеч. 4-4 ход справа.
3. Построение эпюры М методом характерных точек.
Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А, В, С, D, а также точка К, в которой Q=0 и изгибающий момент имеет экстремум. Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е, поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.
Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов. Правило знаков — см. здесь.
Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных ), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.
Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D. Сам момент в эти выражения не входит. В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.
Теперь следует определить момент в точке К (Q=0). Однако сначала определим положение точки К, обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х.
Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)
Но поперечная сила в т. К равна 0, а z2 равняется неизвестному х.
Теперь, зная х, определим момент в точке К с правой стороны.
Строим эпюру М. Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».
Методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил
С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При решении задач сопромата, все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых
наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.1,в).
В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.
2. Построение эпюр продольных сил N z
Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.
Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.
Пример 1.Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).
1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.
По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.
3. Построение эпюр крутящих моментов М кр .
Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.
Правило знаков для Мкр: условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.
Пример 2.Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.
1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).
4. Правила контроля эпюр N z и М кр .
Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.
1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.
2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.
3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.
5. Построение эпюр поперечных сил Q y и изгибающих моментов M x в балках
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx .
Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.
Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде
Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.
Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
6. Консольные балки
При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 3.Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру Qy.
3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.
7. Балки на двух опорах
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:
Пример 4. Построить эпюры Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).
1. Вычисляем реакции опор.
2. Намечаем характерные сечения.
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
Строим эпюру Qy.
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
Строим эпюру Mx.
8. Правила контроля эпюр Q у и M x
Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.
Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.
Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.
На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy
Порядок линии на эпюре Qy всегда на единицу меньше, чем на эпюре Mx. Например, если эпюра Mx - квадратная парабола, то эпюра Qy на этом участке - наклонная прямая; если эпюра Mx - наклонная прямая, то эпюра Qy на этом участке - прямая, параллельная оси; если Mx=const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Qy=0.
Читайте также: