Для стальной балки жестко защемленной одним концом и нагруженной решение
Обновлено: 25.04.2024
Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.
По способу приложения нагрузки делятся на:
· сосредоточенные – если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке);
· распределенные – если нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.).
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 1).
q — интенсивность нагрузки;
I — длина стержня;
G = ql — равнодействующая распределенной нагрузки.
Жесткая заделка (защемление ) (рис. 2)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Rax и и парой с моментом Mr .
Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде
Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.
Для контроля правильности решений исп ользуют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например
Шарнирно-подвижная опора (рис. 3)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 4)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.
Балка на двух шарнирных опорах (рис. 5)
Не известны три силы, две из них — вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:
Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение
Упражнения при подготовке к самостоятельной работе
1. Привести систему сил к точке В, определить главный вектор и главный момент системы сил (рис. 6). АВ = 2м; ВС = 1,5м; CD = 1м. F 1 = 18кН; F 2 = 10кН; F 3 = 30кН; т = 36кН-м.
2. Система сил находится в равновесии. Определить величину момента пары т (рис. 7).
F 1 = F 1 ’ = 10 кН; F 2 = F 2 ’ = 20кН.
3. Нанести реакции в опорах балок 1 и 2 (рис. 8).
4. Определить величину реакции в опоре А. Приложена распределенная нагрузка интенсивностью q = 5кН/м (рис. 9).
5. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опоре защемленной балки.
6. Записать систему уравнений равновесия для определения реакций в опорах двухопорной балки, закрепленной на двух шарнирах.
Примеры решения задач
Пример№1 . Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 10). Определить реакции заделки.
Решение
1. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими ( R Ay , R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
2. Используем систему уравнений:
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.
3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример №2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F , распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 11). Определить реакции опор.
1. Левая опора (точка А) — подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Правая опора (точка В) — неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Ох совмещаем с продольной осью балки.
2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:
G = ql; G = 2*6 = 12 кН.
Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 2б).
4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде
6. Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:
7. Используя уравнение проекций, получим:
RBx — горизонтальная реакция в опоре В.
Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.
8. Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия
Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:
-5,1 - 12 + 34,6 – 25 -0,7 = 0.
Порядок выполнения работы:
1. Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей и указать точку ее приложения (если действует на балку).
2. Освободить балку от связей, заменив их реакциями.
3. Выбрать систему уравнений равновесия.
4. Решить уравнения равновесия.
5. Выполнить проверку решения.
Задания для самостоятельной работы:
Задание №1: Определить величины реакций в опоре защемленной балки. Провести проверку правильности решения.
 |
Задание №2: Определить величины реакций в шарнирных опорах балки. Провести проверку правильности решения.
Контрольные вопросы
1. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?
2. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?
3. Сколько уравнений равновесия необходимо составить при параллельных внешних силах?
4. Как определить равнодействующую силу равномерно распределённой нагрузки?
Построение эпюры изгибающих моментов балки
Пример решения задачи на построение эпюры внутренних изгибающих моментов Mx для стальной консольной балки нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.
Задача
Пример решения
Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.
Для построения эпюры изгибающих моментов Mx запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.
Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:
Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Qy.
Рассмотрим I силовой участок:
Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.
Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.
Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.
По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:
В выражении переменная z1 в первой степени, поэтому эпюра Mx на первом участке будет иметь вид прямой линии.
Рассчитаем значения MxI на границах участка, т.е. при z1=0 и при z1=0,5м
Переходим на второй силовой участок:
Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.
Получено выражение с переменной z2 во второй степени, значит, эпюра Mx на втором участке будет иметь вид параболы.
Видео про построение эпюр:
Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения Mx на границах и в середине II силового участка, то есть при z2=0, z2=1м и z2=0,5м.
По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов Mx (готовую эпюру Qy перенесем из ранее рассмотренной задачи)
Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Qy.
Qy — первая производная от Mx. Поэтому в том месте, где Qy пересекает базовую линию (т.е. Qy=0) на эпюре Mx будет экстремум.
Видео про расчет экстремума эпюры:
Рассчитаем значение экстремума эпюры Mx на II участке балки.
- приравняем к нулю
- Выразим из него z2
z2=40/100=0,4м - Подставим z2 в выражение для MxII
MxIIэкстр(z2=0,4м)= -50∙0,4 2 +40∙0,4=8кНм
QyII=100z2-40=0
Отметив эту точку в области эпюры где Qy=0 соединим ее с тремя другими параболой.
Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры Mx.
Решение задач, контрольных и РГР
Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.
Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.
НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ
- Рамки A4 для учебных работ
- Миллиметровки разного цвета
- Шрифты чертежные ГОСТ
- Листы в клетку и в линейку
Читайте также: