Момент инерции полосы стальной
Обновлено: 05.05.2024
Обратите внимание, на этом сайте есть онлайн-сервис для вычисления центра тяжести и моментов инерции составных сечений, которые состоят из прокатных профилей (двутавр, уголок и т.д.) и из простых фигур.
Часто при расчете элементов строительных конструкций приходится определять геометрические характеристики профилей, составленных из элементарных геометрических фигур (прямоугольник, круг и т.п.) и прокатных профилей. Рассмотрим подробно пример расчета.
Необходимо определить геометрические характеристики составного сечения (рис.), который состоит из уголка 20/12,5/1,2, уголка 14/1 и прямоугольника 20х2см.
Определение собственных характеристик отдельных профилей – составляющих сечения
Собственные характеристики прокатных профилей определяются из сортамента.
Для неравнополочного уголка 20/12,5/1,2:
– высота и ширина уголка h = 20 см, b = 12,5 см;
– площадь $A$= 37,9 см 2 ;
– собственные осевые моменты инерции $$=1570 см 4 , $$= 482 см 4 ;
– собственный центробежный момент инерции $>$=505 см 4 ;
– координаты центра тяжести $$= 2,83 см, $$= 6,51 см.
Для равнополочного уголка 14/1:
– высота и ширина уголка h = b = 14 см;
– площадь $A$= 27,3 см 2 ;
– собственные осевые моменты инерции $$= $$= 512 см 4 ;
– собственный центробежный момент инерции $>$=301 см 4 ;
– координаты центра тяжести $$= $$= 3,82 см.
Для прямоугольника 20х2см:
– высота и ширина прямоугольника h = 20 см, b = 2 см;
– площадь $A$= 20 ∙ 2 = 40 см 2 ;
– собственные осевые моменты инерции $ = \frac^3>>>> = 1330$ см 4 , $ = \frac>>> = 13,3$см 4 ;
– собственный центробежный момент инерции $>$= 0, так как профиль имеет ось симметрии.
Определение центра тяжести сечения
Общая площадь всего сечения A = 37,9+27,3+40 = 105см 2 .
Проводим вспомогательные оси $X$ и $Y$ и определяем относительно них центр тяжести сечения:
При этом в координатах центров тяжести составных обязанности ’ обязательно учитываем знак. Откладываем оси, которые проходят через центр тяжести – центральные оси $Xc$ и $$.
Определение центральных моментов инерции
Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяем по формулам перехода между параллельными осями. Для этого находим и показываем на чертеже расстояния между центральными осями всего сечения и собственными осями каждой из фигур.
$ = 505 + ( - 8,01) \cdot ( - 8,27) \cdot 37,9 - 301 + 1,67 \cdot 4,76 \cdot 27,3 + 0 + 6,49 \cdot 4,56 \cdot 40 = 4120$см 4 .
При этом обязанности ’ обязательно учитываем размещения фигур относительно рассматриваемых осей. Так, при определении момента инерции $$ в формулу подставляем собственный момент инерции неравнополочного уголка относительно оси, которая параллельна оси $$, в сортаменте это ось $Y$, и наоборот.
Определение положения главных осей и главных моментов инерции
Угол поворота главных осей относительно осей, для которых известны моменты инерции, определяется по формуле
Если $\alpha > 0$, главные оси откладываются против часовой стрелки, и наоборот.
Главные моменты инерции определяются так
$ = 6360 \cdot ( - 44,7^\circ ) + 6280 \cdot ( - 44,7^\circ ) - 4120 \cdot \sin ( - 2 \cdot 44,7^\circ ) = 10430$см 4 .
$ = 6280 \cdot ( - 44,7^\circ ) + 6360 \cdot ( - 44,7^\circ ) + 4120 \cdot \sin ( - 2 \cdot 44,7^\circ ) = 2210$см 4 .
Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.
Радиусы инерции. Моменты сопротивления
Радиусы инерции сечения
Моменты сопротивления сечения определяем относительно центральных осей. Для этого необходимо определить расстояния $
$
$
X А = – 8,53см Y A =8,57см
X B = – 14,5см Y B = – 18см
x max = – 12,1см y max = – 23см
Партнерская программа
Помощь: сопромат, строймеханика, прикладная механика Telegram bluewhite22 WhatsApp Instagram
Пример расчета центра тяжести и моментов инерции
Момент инерции полосы стальной
Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
Известно, что интеграл вида является моментом инерции сечения относительно нейтральной оси.
Здесь расстояние элементарной площадки dF от нейтральной оси; суммирование охватывает всю площадь сечения. Покажем в качестве примера вычисление этого интеграла для прямоугольника (Рис.1) высотой h и шириной b. Проведем через его центр тяжести О оси симметрии Oz и Оу. Если внешние силы, действующие на балку, лежат в плоскости Oz, то нейтральной осью будет ось Оу. Найдем относительно этой оси сначала момент инерции, а потом и момент сопротивления площади прямоугольника.
Площадки dF, на которые следует разбить всю площадь сечения, выберем в виде узких прямоугольников шириной b и высотой dz (Рис.1а). Тогда:
и интеграл J принимает вид:
Чтобы взять интеграл по всей площади прямоугольника, следует z менять от до Тогда
Момент сопротивления относительно нейтральной оси Оу мы получим, разделив Jy на
Если необходимо вычислить момент инерции и момент сопротивления прямоугольника относительно оси Oz, то в полученных формулах следовало бы b и h поменять местами: и
Заметим, что сумма произведений не изменится, если мы сдвинем все полоски dF = bdz параллельно самим себе так, что они расположатся в пределах параллелограмма ABCD.
Рис.1. Расчетная модель для определения осевого момента инерции прямоугольника.
Иначе, момент инерции параллелограмма относительно оси у равен моменту инерции равновеликого ему прямоугольника
При вычислении момента инерции круга радиуса (Рис.2) также разбиваем площадь на узкие полоски размером вдоль оси Oz; ширина этих полосок b = b(z) тоже будет переменной по высоте сечения. Элементарная площадка
Момент инерции равен:
Рис.2. Расчетная модель для определения осевого момента инерции кругового сечения.
Так как верхняя и нижняя половины сечения одинаковы, то вычисление момента инерции достаточно провести для одной нижней и результат удвоить. Пределами для изменения z будут 0 и :
Введем новую переменную интегрирования угол (Рис.2); тогда
Пределы: при ; при , следовательно,
Для треугольного сечения (Рис.3) момент инерции относительно оси АВ равен
В последующем будет изложен метод вычисления момента инерции для сечения любой сложной формы относительно любой оси.
На практике из симметричных сечений встречаются чаще всего: для дерева прямоугольник и круг, для металлов двутавровое и тавровое сечения. Для прокатных профилей можно пользоваться таблицами ОСТ (сортамент), в которых помещены размеры и
Рис.3. Расчетная модель для определения осевого момента инерции сечения треугольного профиля
величины J и W для профилей, выпускаемых заводами.
В балках из металла обычно применяются сложные поперечные сечения, потому что в них материал может быть использован экономичнее, чем в таких сечениях, как прямоугольник и круг.
Так, известно, что валы делают полыми, чтобы удалить ту часть материала, которая слабо работает. Известно также, что при изгибе балок материал около нейтральной оси принимает на себя малые нормальные напряжения и также не может быть использован полностью. Поэтому целесообразнее переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет работать более интенсивно. Так получается из прямоугольного сечения профиль двутавра, обладающего той же прочностью и меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (большинство металлов).
Сечения в виде тавра, применяются или в случаях, вызываемых специальными конструктивными обстоятельствами, или для таких материалов, как чугун, бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко разнятся между собой; последнее обстоятельство требует, чтобы напряжения в крайних волокнах были различными.
Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее экономичном проектировании сечения следует стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это ведет к размещению большей части материала подальше от нейтральной оси.
Однако для некоторых сечений можно увеличить момент сопротивления не добавлением, а, наоборот, путем срезки некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Так, например, для круглого сечения срезка заштрихованных сегментов (Рис.4) несколько увеличивает момент сопротивления, так как при этом мы уменьшаем момент инерции сечения в меньшей степени, чем расстояние до крайнего волокна .
Рис.4. Срезка сегментов для увеличения осевого момента сопротивления.
Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга.
Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а) кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис.5, б), кольцевое сечение шейки вала или еще более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно показать, что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы ее разбиваем.
Рис.5. Сечения типа тавр а) и кольцо б)
Известно, что момент инерции любой фигуры относительно оси уу равен:
где zрасстояние элементарных площадок до оси уу.
Разобьем взятую площадь на четыре части: , , и . Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подинтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.
Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей, , и :
Каждый из этих интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у у; поэтому
где момент инерции относительно оси у у площади , то же для площади и т. д.
Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в ее плоскости.
Решение этой задачи и составляет содержание настоящей и последующих двух собеседований.
Геометрические характеристики плоского поперечного сечения 3 элемента (полоса, двутавр, уголок) 018
Дано схему поперечного сечения, составленную из трех элементов (рис. 1). Определить геометрические характеристики составного сечения. Площадь, центр тяжести, положение главных осей, главные моменты инерции, главные радиусы инерции, главные моменты сопротивления и построить эллипс инерции.
1) Выписываем из таблицы сортамента (ГОСТ 8239-72 и ГОСТ 8509-86) необходимые геометрические характеристики для двутавра, уголка и вычисляем по формулам прямоугольника:
а) Полоса (прямоугольник) 200Х16
| см 2 , /12=1066,7" /> см 4 , /12=6,83" /> см 4 , >=0 ." /> |
| см 2 , см 4 , см 4 , >=0 ," /> см, см. |
| см 2 , см 4 , см 4 , >= pm(I_max ~-~ I_y_3 ) /image/formula/math_989.5_a19567c05361152178487677e5a03626.png" /> см 4 , см, см. |
2) Определяем положение центра тяжести сечения относительно начальных осей (осей полосы)
На отдельном листе бумаги в масштабе чертим схему поперечного сечения (рис. 2) и указываем положение центральных осей каждого элемента. Выполняем привязку (указываем расстояния) центров тяжести каждого элемента относительно начальных осей Координаты центров тяжести элементов в осяхсм,
см,
см.
Площадь поперечного сечения:
= 32 + 20,2 + 10,61 = 62,81" />
см 2 ,
Координаты центра тяжести сечения:
/>=>>/A=/= 2,28" />
см,
/>=>>/A=/= 1,33" />
см.
Контролируем достоверность определения положения центра тяжести сложного сечения. Для этого вычисляем координаты центров тяжести элементов сечения в координатных осях (расстояния между собственными центральными осями отдельных элементов и центральными осями сечения):
и статические моменты площади сечения относительно центральных осей:
= 32*(~-~1,33) + 20,2*4,62 + 10,61*(~-~4,76) = 93,324 ~-~ 93,064 = 0,26" />
см 3 ,
= 32*(~-~2,28) + 20,2*6,52 + 10,61*(~-~5,51) = 131,704 ~-~ 131,421 = 0,283" />
см 3 ,
3) На основании формул параллельного перехода вычисляем моменты инерции сечения относительно центральных осей
<(I_z_i+
см 4 ,
>=sum<(I_<
*10,61 = 935,9" />
см 4 .
4) Определяем положение главных центральных осей инерции:
>>/=/ = 5,01074 ." />
Отсюда
На рисунке откладываем положительный угол против часовой стрелки и чертим главные центральные оси инерции (рис. 3).
5) Для определения величин главных центральных моментов инерции используем три вида формул.
+sin^2~-~>>sin<2>=1935,6 cos^2+2309,1 sin^2 ~-~ 935,9 sin /image/formula/math_992.5_306a1320c0dc458e030e3631518ccdab.png" />
см 4 ,
+cos^2+>>sin<2>=1935,6 sin^2+2309,1 cos^2 + 935,9 sin /image/formula/math_992.5_ff318228029177a88a1d69ca157bb781.png" />
см 4 ,
Для проверки правильности нахождения главных моментов инерции, определяем центробежный момент инерции относительно главных осей:
> cos + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin = 935,9 cos + 1/2 (1935,6 ~-~ 2309,1) sin /image/formula/math_992.5_ae27e2fc990c29590132f679ea9f4a7d.png" />
,
>>tg= 1935,6 ~-~ 935,9 tg = 1168" />
см 4 ,
>>tg= 2309,1 + 935,9 tg = 3076,7" />
см 4 ,
>=+>/2 pm sqrt<<<(~-~>/2)>^2>+>>^2>=/2 pm sqrt<<<(<1935,6 ~-~ 2309,1>/2)>^2> + ^2> /image/formula/math_992.5_15257166054b86dc66c5f0288ca7d3a7.png" />
.
Поскольку
= 2122,35 ~-~ 954,35 = 1168" />
см 4 ,
= 2122,35 + 954,35 = 3076,7" />
см 4 .
Проверяем условие инвариантности осевых моментов инерции:
=+ ," />
= 1168 + 3076,7 = 4244,7" />
см 4 ,
=1935,6 + 2309,1 = 4244,7" />
см 4 .
6) Вычисляем главные радиусы инерции:
=sqrt/> = 4,31" />
см,
=sqrt/> = 7" />
см,
см, см.
Вычисляем моменты инерции относительно этих осей:
^2 * 62,81 = 1934,7" />
см 4 ,
^2 * 62,81 = 2306,6" />
см 4 ,
и сравниваем с ранее вычисленными значениями:
см 4 , см 4 .
7) Определяем главные моменты сопротивления
Наиболее удаленной точкой от оси а от оси Измеряя на рисунке расстояния до этих точек от соответствующих главных осей, находим: см, см.
Геометрические характеристики плоского поперечного сечения 3 элемента (полоса, швеллер, уголок) 024
1) Выписываем из таблицы сортамента (ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8509-86) необходимые геометрические характеристики для швеллера, уголка и вычисляем по формулам прямоугольника:
а) Полоса (прямоугольник) 240Х18
| см 2 , /12=11,66" /> см 4 , /12=2073,6" /> см 4 , >=0 ." /> |
| см 2 , см 4 , см 4 , >=0 ," /> см, см, см. |
| см 2 , см 4 , см 4 , >= pm(I_max ~-~ I_y_3 ) /image/formula/math_989.5_3f0cb65e9908e4d7139bec02b1e080b4.png" /> см 4 , см, см. |
= 17,4" />
см,
см.
= 43,2 + 46,5 + 4,8 = 94,5" />
см 2 ,
/>=>>/A=<43,2*0+46,5*(~-~ 9,41)+4,8*(~-~ 13,42)>/= ~-~ 5,31" />
см,
/>=>>/A=/= 10,1" />
см.
= 43,2*(~-~10,1) + 46,5*7,3 + 4,8*20,22 = 436,506 ~-~ 436,32 = 0,186" />
см 3 ,
= 43,2*5,31 + 46,5*(~-~ 4,1) + 4,8*(~-~ 8,11) = 229,392 ~-~ 229,578 = ~-~0,186" />
см 3 ,
<(I_z_i+
см 4 ,
>=sum<(I_<
*4,8 = ~-~4489,16" />
см 4 .
>>/=/ = 0,7457 ." />
+sin^2~-~>>sin<2>=16850,15 cos^2+4810,24 sin^2 ~-~" />
см 4 ,
+cos^2+>>sin<2>=16850,15 sin^2+4810,24 cos^2 +" />
см 4 ,
> cos + 1/2 ( I_y_c ~-~ I_z_c ) sin /image/formula/math_982_cb2d7b0ee5c98c08150e61c94028d471.png" />
,
>>tg= 16850,15 ~-~ (~-~4489,16) tg = 18339,68" />
см 4 ,
>>tg= 4810,24 + (~-~4489,16) tg = 3320,71" />
см 4 ,
>=+>/2 pm sqrt<<<(~-~>/2)>^2>+>>^2> /image/formula/math_978.5_6bf4a702d535b3c01a067051a0fed0a9.png" />
.
= 10830,195 + 7509,485 = 18339,68" />
см 4 ,
= 10830,195 ~-~ 7509,485 = 3320,71" />
см 4 .
= 18339,68 + 3320,71 = 21660,39" />
см 4 ,
=16850,15 + 4810,24 = 21660,39" />
см 4 .
=sqrt/> = 13,93" />
см,
=sqrt/> = 5,93" />
см,
^2 * 94,5 = 16842,03" />
см 4 ,
^2 * 94,5 = 4817,57" />
см 4 ,
Читайте также: