Расчет стальной пластины на изгиб

Обновлено: 02.05.2024

Люди, при строительстве своего дома собирающиеся делать монолитные железобетонные плиты перекрытия, часто сталкиваются со следующей проблемой: монолитная железобетонная плита будет опираться на четыре несущих стены и, значит, такую плиту имеет смысл рассчитывать как плиту, опертую по контуру. Вот только как это сделать, не совсем понятно. Разработчики различных методик расчета явно ориентируются на читателя, съевшего при изучении сопромата не одну собаку, а как минимум целую упряжку. А не очень добросовестные наборщики текстов официальных документов (назовем их так) не очень заботятся о соблюдении обозначений и тем еще более запутывают дело.

В принципе, ничего сложного в таком расчете нет и ниже мы рассмотрим основные расчетные предпосылки и примеры расчета.

Таблицы для расчета пластин, шарнирно опертых по контуру.

При расчете на прочность прямоугольных пластин с шарнирным опиранием по контуру на действие равномерно распределенной плоской нагрузки необходимо знать значения максимальных изгибающих моментов в пролете, значения максимальных поперечных сил, а также другие данные.

А так как расчет пластин сам по себе - достаточно сложная и трудоемкая задача, то для упрощения расчетов часто используются разного рода таблицы со значениями коэффициентов, необходимых для определения максимального прогиба, моментов, поперечных сил в различных точках и др. По таким таблицам можно достаточно быстро и легко определить значения коэффициентов.

Таблицы для расчета пластин, жестко защемленных по контуру

При расчете на прочность прямоугольных пластин с жестким защемлением по контуру на действие равномерно распределенной нагрузки необходимо знать значения максимальных изгибающих моментов в пролете и на опорах, значения максимальных поперечных сил, иногда максимальный прогиб и значения опорных реакций.

Подобные расчеты могут выполняться несколькими способами, наиболее простой из них - расчет с использованием таблиц, в которых приводятся значения коэффициентов, позволяющих определить максимальный прогиб, значения изгибающих моментов, поперечных сил, опорных реакций в различных точках.

Прогиб стальной пластины, шарнирно опертой по контуру

Особенность работы пластин, с шарнирным опиранием по контуру в том, что чем больше прогиб такой пластины, тем больше ее прочность, как ни странно это звучит.

Дело в том, что геометрическая форма поперечных сечений балок, рассчитываемых на линейную нагрузку, остается неизменной (во всяком случае так предполагается для упрощения расчетов), наличие прогиба никак на эту форму не влияет. А вот геометрическая форма поперечных сечений пластин при наличии прогиба изменяется и там, где прогиб максимальный, изменения формы поперечного сечения также максимально.

А раз изменяется геометрическая форма сечения, значит изменяется момент инерции и момент сопротивления сечения. Так как прогиб увеличивает условную высоту рассматриваемого сечения, то это и приводит к увеличению момента инерции и к увеличению момента сопротивления.

К расчету пластин на действие равномерно распределенной нагрузки

Расчет пластин, а тем более оболочек - занятие не из простых и не для слабонервных. Достаточно сказать, что различные методы расчета пластин и оболочек не являются предметом рассмотрения общего курса теории сопротивления материалов. Это, так сказать, высшее знание теории упругости, доступное лишь немногим избранным, постигшим таинство неопределенных интегралов и дифференциального исчисления, в добавок к тому вооруженным сверхсовременными компьютерами и программами.

Для остальных есть таблицы в толстых справочниках, содержание которых также маловразумительно, как труды Аристотеля, а с недавнего времени еще и форумы. В целом за последние две с половиной тысячи лет ситуация с доступом к знаниям изменилась мало.

Расчет ж/б плиты перекрытия, опертой по контуру на наружные и внутренние стены

Иногда при строительстве небольшого дома в пару этажей возникает следующая ситуация:

Под наружные и внутренние стены залит ленточный фундамент и вот по этому фундаменту хочется сделать монолитную железобетонную плиту, так сказать, одним махом. Такая плита представляет собой пластину с шарнирным опиранием по контуру, если длина опирания плиты на наружные стены будет составлять около 10-15 см, а кроме того у такой плиты будут дополнительные промежуточные опоры - фундамент под внутренние стены. План ленточного фундамента выглядит следующим образом:

Таблицы для расчета пластин, шарнирно опертых по 3 и с жестким защемлением по 4 стороне

При расчете прямоугольных пластин с шарнирным опиранием по 3 сторонам и жестким защемлением по четвертой стороне на действие равномерно распределенной плоской нагрузки для определения максимального изгибающего момента нужно сначала вычислить значения осевых изгибающих моментов в пролете и на жесткой опоре. Также может потребоваться определение максимальных осевых поперечных сил, максимального прогиба, иногда значений распределенных и сосредоточенных опорных реакций.

Таблицы для расчета пластин с 2 шарнирными опорами и 2 жесткими защемлениями, сходящимися в вершине

При расчете на прочность прямоугольных пластин с жестким защемлением по двум сторонам и шарнирным опиранием по другим двум сторонам, сходящимся в одной из вершин, на действие равномерно распределенной нагрузки необходимо знать значения максимальных изгибающих моментов в пролете и на опорах, иногда максимальный прогиб.

Кроме того могут потребоваться данные о значении поперечных сил и опорных реакций, однако такие данные я пока предоставить не могу.

Подобные расчеты могут выполняться несколькими способами, наиболее простой из них - расчет с использованием таблиц, в которых приводятся значения коэффициентов, позволяющих определить значения изгибающих моментов в пролете и на жестких опорах, а также значения прогиба.

Для наглядности я добавил эпюры в характерных сечениях к расчетной схеме. При этом нельзя забывать о том, что вид данных эпюр зависит от соотношения сторон, поэтому данные эпюры являются приблизительными.

Виды пластин

Пластины - это физические тела, один из размеров которых значительно меньше двух других. Например, высота значительно меньше ширины и длины, или ширина значительно меньше высоты и длины.

Впрочем, такие понятия как ширина, длина, высота, являются достаточно условными. С тех пор, как Декарт придумал систему координат, понятия высоты, ширины и длины более удобно заменять значением параметра относительно выбранной оси, а все остальное - это уже проблема выбора системы координат.

Расчет квадратной плиты, опертой по контуру, на действие сосредоточенной нагрузки посередине

Необходимость в таком расчете появляется тогда, когда на плиту (пластину), опертую по контуру, устанавливается колонна или какая другая стойка. Если проектируемая плита будет железобетонной, то конечно же лучше всего предусмотреть усиление арматурой места приложения сосредоточенной нагрузки, а то и вовсе сделать ребра в плите.

Однако иногда необходимость установить колонну появляется уже после того, как железобетонная плита изготовлена. Да и материал плиты (пластины) может быть любым. Для упрощения рассмотрим случай, когда на стальную квадратную пластину, имеющую шарнирное опирание по контуру, устанавливается стальная стойка.

Расчет прогиба пластины

При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется получить быстрый ответ на простые вопросы — .

. на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.

Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух. ) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!

Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.

Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.

Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.

Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.

Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a .

Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w :

гибкие — 0,25 h < w

абсолютно гибкие — w >5 h

Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.

Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.

Расчет в Excel прогиба пластины. Пример.

Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.

Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.

Исходные данные:

Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.

1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм 2 записываем

в ячейку D3: 245

Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.

2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм 2 заносим

в D4: 210000

3. Коэффициент Пуассона μ вписываем

в D5: 0,28

В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.

4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h , a и b в мм

в ячейку D6: 5,0

в D7: 500

в D8: 1000

В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.

7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм 2 вносим

в D9: 0,016

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny-NEW (xlsx 174KB).

Результаты расчета:

8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем

в ячейке D11: D =( E * h 3 )/(12*(1- μ 2 )=2373589

9.,11. Безразмерные коэффициенты k₁ и k₂ , зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k₂ зависит еще и от μ , а в таблицах приведены значения только для стали μ ≈0,3 и бетона μ ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…

Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов

в ячейке D12: при 0,5< a / b

k₁ =0,16747*( a / b ) 6 -0,766*( a / b ) 5 +1,4455*( a / b ) 4 -1,4342*( a / b ) 3 +0,78433*( a / b ) 2 -0,22506*( a / b )+0,029239=0,0254

k₁ =-0,00012*( a / b )+0,0026=0,0254

k₂ =0,71922*( a / b ) 6 -3,1489*( a / b ) 5 +5,6353*( a / b ) 4 -5,1372*( a / b ) 3 +2,3658*(a/b) 2 -0,50294*( a / b )+0,12003=0,0829

k₁ =-0,0008*( a / b )+0,0833=0,0829

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δ_абс и относительным Δ_отн погрешностям, так и по величине достоверности R 2 .

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w = k₁ * q * a 4 / D =1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины M_max возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: M_max = k₂ * q * a 2 =332

13. Наибольшие напряжения в пластине σ_max в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм 2

в ячейке D16: σ_max =6* M_max / h 2 =80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов k₁ и k₂ также индивидуальны!

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

P. S. (27.03.2022)

В файл с расчетами добавлены вычисления максимальных прогибов и напряжений по двум схемам для круглых пластин.

Расчет пластин

За предоставленные сканы огромная благодарность Nosferatus.

Книга содержит формулы, таблицы и примеры расчета пластин, применяемых в строительстве, гидротехнике, на транспорте, в судостроении, авиации, машиностроении и других отраслях техники.
Рассматриваются круглые, кольцевые и прямоугольные пластины постоянной и переменной жесткости, пластины, усиленные системой ребер, а также пластины из анизотропных материалов, находящиеся под действием распределенных и местных нагрузок при различных краевых условиях.
Книга рассчитана на инженеров-конструкторов всех специальностей, аспирантов, студентов и на научных работников.

РАЗДЕЛ I. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ 9
Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоянной толщины 9
§ 1. Исходные уравнения и зависимости 9
§ 2. Пластина, свободно опертая по контуру 13
§ 3. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической к контуру 37
§ 4. Пластина, опертая по контуру и по концентрической окружности, под действием равномерно распределенной нагрузки 49
§ 5. Пластина, опертая по контуру и в центре, под действием равномерно распределенной нагрузки 51
§ 6. Пластина, опертая в центре 52
§ 7. Пластина с жестко закрепленным контуром 61
Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин постоянной толщины 81
§ 8. Пластина, свободно опертая по наружному контуру 81
§ 9. Пластина с центральным абсолютно жестким диском, свободно опертая по наружному контуру 98
§ 10. Пластина, свободно опертая по внутреннему контуру 101
§ 11. Пластина, внутренний контур которой оперт, а внешний прогибается, но не поворачивается, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 115
§ 12. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической к контуру, под действием нагрузки, равномерно распределенной по окружности, расположенной между опорным и внутренним контурами 117
§ 13. Пластина, жестко закрепленная по внешнему контуру 117
§ 14. Пластина с центральным диском, жестко закрепленная по внешнему контуру 126
§ 15. Пластина с жестко закрепленным внутренним контуром 128
§ 16. Пластина, внутренний контур которой жестко закреплен, а внешний прогибается, но не поворачивается 135
§ 17. Пластина, жестко закрепленная по обоим контурам, под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль концентрической окружности 139
Глава третья. Несимметричный изгиб круглых и кольцевых пластин постоянной толщины 141
§ 18. Основные дифференциальные уравнения и зависимости 141
§ 19. Круглая пластина, свободно опертая по контуру 143
§ 20. Круглая пластина, жестко закрепленная по контуру 154
§ 21. Кольцевая пластина, жестко закрепленная по внутреннему контуру и не опертая по наружному, под действием поперечной нагрузки, приложенной ко всей поверхности пластины и изменяющейся по закону плоскости 161
§ 22. Круглая пластина под действием сосредоточенной поперечной силы, приложенной к контуру, и уравновешенной силой и моментом, действующим на центр пластины 163
§ 23. Круглая пластина, опертая в отдельных точках 168
§ 24. Круглая пластина, нагруженная вдоль нескольких равностоящих радиусов 172
Глава четвертая. Круглые и кольцевые пластины переменной толщины 197
§ 25. Основные дифференциальные уравнения и зависимости 197
§ 26. Свободно опертая круглая пластина толщиной, убывающей от центра по линейному закону 198
§ 27. Пластина толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по экспоненциальному закону, под действием равномерной нагрузки 204
§ 28. Кольцевая пластина толщиной, убывающей от центра по линейному закону, под действием поперечной нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через пластины, при любых условиях на контуре 207
§ 29. Круглая пластина переменной толщины, опертая в равностоящих точках контура 219
§ 30. Круглая пластина гиперболического профиля под действием кон¬турной нагрузки, обладающей циклической симметрией 220
Глава пятая. Изгиб круглых пластин, лежащих на сплошном упругом основании 226
§ 31. Основные предпосылки расчета и классификация пластин 226
§ 32. Абсолютно жесткая пластина постоянной толщины под действием нагрузки, симметричной относительно центра 226
§ 33. Пластина конечной жесткости под действием нагрузки, симмет¬ричной относительно центра 232
Литература 239

РАЗДЕЛ II. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 240
Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоянной толщины, усиленных кольцевыми ребрами 240
§ 1. Пластина с одним кольцевым ребром, свободно опертая по контуру 240
§ 2. Пластина с одним кольцевым ребром, жестко закрепленная по внешнему контуру 245
§ 3. Пластина с двумя кольцевыми ребрами, свободно опертая по внешнему контуру 247
Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин постоянной толщины с кольцевыми ребрами 251
§ 4. Пластина с подкрепленным отверстием, свободно опертая по окружности, концентрической с контуром 251
§ 5. Пластина с подкрепленным отверстием, жестко закрепленная по внешнему контуру, под действием осесимметричной нагрузки 255
§ 6. Пластина с подкрепленным внешним контуром, свободно опертая по этому контуру 258
§ 7. Пластина с подкрепленными наружным и внутренним контурами, свободно опертая по наружному контуру 259
Глава третья. Изгиб круглых пластин, усиленных равноотстоящими радиальными ребрами 260
§ 8. О методе расчета 260
§ 9. Пример расчета ребристой пластины 264
§ 10. Расчетные таблицы и пользование ими 266
Литература 268

РАЗДЕЛ III. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН 270
Глава первая. Техническая теория изгиба пластин 270
§ 1. Основные уравнения и соотношения 270
§ 2. О методах решения 274
§ 3. Переход к разностным уравнениям 277
§ 4. Сеточные операторы для некоторых граничных условий 278
Глава вторая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых по контуру 286
§ 5. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 286
§ 6. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности центрального прямоугольника либо вдоль отрезка оси симметрии 291
§ 7. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 298
§ 8. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через опорную кромку пластины 300
§ 9. Пластина под действием нагрузки в виде трехгранной призмы, основанием которой служит равнобедренный треугольник, перпендикулярный к двум кромкам пластины 309
§ 10. Пластина под действием нагрузки в виде двух прямых трехгранных призм с максимальными ординатами вдоль двух параллельных кромок пластины 312
§ 11. Квадратная пластина под нагрузкой в виде пирамиды 313
§ 12. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеим диагоналям и действующей в одну сторону 314
§ 13. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеим диагоналям и действующей в разные стороны 315
§ 14. Квадратная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по диагонали 315
Глава третья. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых тремя кромками и жестко закрепленных четвертой 316
§ 15. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 316
§ 16. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшей интенсивностью вдоль жестко закрепленной кромки 319
§ 17. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшей интенсивностью вдоль параллельной ей свободно опертой кромки 320
§ 18. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку 321
Глава четвертая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных двумя противоположными кромками и свободно опертых двумя другими 322
§ 19. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 322
§ 20. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности центрального прямоугольника 325
§ 21. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку 337
§ 22. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 338
Глава пятая. Изгиб прямоугольных пластин с частично закрепленным контуром 340
§ 23. Пластина, жестко закрепленная двумя кромками, сходящимися в вершине, и свободно опертая двумя другими, под действием равномер¬но распределенной нагрузки 340
§ 24. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под действием равномерной нагрузки 341
§ 25. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 343
§ 26. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости, проходящей через закрепленную кромку 344
Глава шестая. Изгиб прямоугольных пластин с жестко закрепленным контуром 345
§ 27. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 345
§ 28. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через контур пластины 346
§ 29. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 347
Глава седьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых тремя кромками и неопертых четвертой 351
§ 30. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 351
§ 31. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 354
§ 32. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль неопертой кромки 355
§ 33. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 356
§ 34. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной посредине свободной кромки 359
Глава восьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых двумя параллельными кромками, жестко закрепленных третьей и неопертых четвертой 362
§ 35. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 362
§ 36. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 364
§ 37. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной к середине свободной кромки 365
Глава девятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных двумя противоположными кромками, свободно опертых третьей и неопертых четвертой кромкой 366
§ 38. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластины 366
§ 39. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 367
§ 40. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной вдоль неопертой кромки 368
Глава десятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закрепленных тремя кромками и неопертых четвертой 369
§ 41. Пластина под действием равномерно распределенной нагрузки 369
§ 42. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через неопертую кромку 370
§ 43. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленный кран, параллельный свободной кромке 370
§ 44. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 372
§ 45. Пластина под действием силы, приложенной посредине свободной кромки 375
Глава одиннадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, две противоположные кромки которых жестко защемлены и две другие неоперты 378
§ 46. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 378
§ 47. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной в центре 380
§ 48. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной посредине свободной кромки 381
Глава двенадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко защемленных по двум сторонам, сходящимся в одной вершине, и неопертых двумя другими 383
§ 49. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 383
§ 50. Пластина под действием сосредоточенной силы 385
Глава тринадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, опирающихся в углах на несмещаемые опоры 390
§ 51. Пластина, опертая по четырем углам, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 390
§ 52. Прямоугольная пластина, свободно опертая одной стороной и двумя вершинами, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 391
§ 53. Прямоугольная пластина, опертая двумя смежными сторонами и вершиной, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности 394
Глава четырнадцатая. Изгиб квадратной пластины на упругих опорах под действием равномерно распределенной нагрузки 395
§ 54. Пластина, свободно лежащая двумя параллельными кромками на жестких опорах и двумя другими — на упруго оседающих балках 395
§ 55. Пластина, свободно лежащая по периметру на упруго оседающих балках одинаковой жесткости 396
Глава пятнадцатая. Изгиб многопролетных пластин 397
§56. Бесконечная пластина, опертая в вершинах прямоугольной сетки, под действием равномерно распределенной нагрузки 397
§ 57. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по поверхности двух панелей 399
§ 58. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной по средним линиям, параллельным промежуточным опорам 399
§ 59. Приближенный расчет многопролетных пластин, состоящих из прямоугольных панелей 400
§ 60. Приближенный расчет безбалочного перекрытия, опирающегося на несколько рядов равноотстоящих колонн, под действием равномерно распределенной нагрузки 405
§ 61. Квадратная, шарнирно опертая по контуру пластина, поддерживаемая четырьмя промежуточными колоннами 407
Глава шестнадцатая. Изгиб ортотропных пластин 408
§ 62. Приближенная теория расчета 408
§63. Свободно опертая по периметру пластина под действием равномерно распределенной нагрузки 410
§ 64. Пластина, двумя параллельными сторонами свободно опертая и двумя другими, жестко защемленная под действием равномерно распре¬деленной нагрузки 414
§ 65. Свободно опертая полоса под действием нагрузки, равномерно распределенной по прямой, перпендикулярной к опорам 415
§ 66. Свободно опертая полоса под действием сосредоточенной силы, приложенной на оси полосы 416
Глава семнадцатая. Прямоугольные ребристые пластины под действием равномерно распределенной нагрузки 417
§ 67. Приведенные жесткости ребристых и гофрированных пластин 417
§ 68. Свободно опертая пластина, усиленная большим числом ребер 421
§ 69. Пластина, защемленная по всему периметру и подкрепленная посредине одним ребром 423
§ 70. Пластина, жестко защемленная по контуру и подкрепленная двумя параллельными ребрами 425
§ 71. Пластина, жестко защемленная по контуру и усиленная тремя параллельными ребрами 426
§ 72. Пластина, свободно опертая тремя сторонами и снабженная прямоугольным ребром на четвертой кромке 427
§ 73. Полоса, свободно опертая по краям и усиленная рядом равноотстоящих ребер 427
Литература 428

Теоретическое определение прогиба пластины с учетом плоских напряженных состояний материала пластины и изменяющимся моментом инерции - задача не из простых. Однако в большинстве случаев в решении подобной задачи нет необходимости, так как эту задачу другие люди уже решили и составили для упрощения расчетов соответствующие таблицы расчетных коэффициентов. Таким образом для определения прогиба пластины достаточно воспользоваться соответствующей таблицей.

Впрочем, такой подход может иметь место только при расчете гибких пластин. При расчете абсолютно гибких пластин - мембран следует учитывать не линейную зависимость между нагрузкой и прогибом.

определение прогиба стальной пластины с шарнирным опиранием

Рассмотрим следующую ситуацию: планируется на даче сварить бак для воды, потому как на даче с водой проблемы. Размеры бака 1х1х1 м (размеры очень условные для упрощения расчетов). В наличии имеется стальной лист толщиной h = 5 мм.

Наиболее нагруженным элементом конструкции будет дно бака, на которое будет действовать нагрузка от воды и собственного веса примерно 1000 кг/м 2 (0.1 кг/см 2 ). Если у бака будут опоры по углам, то дно бака можно рассматривать как пластину с шарнирным опиранием по контуру. При этом соотношение h/b = 0.5/100 = 200, а значит такая пластина является тонкой, возможно даже мембраной.

Тем не менее попробуем определить максимальный прогиб дна бака (расчет на прочность в данной статье не рассматривается), используя расчетные коэффициенты.

Согласно данных таблицы 374.1 коэффициент для определения прогиба будет иметь значение k₁ = 0.0443 (при соотношении сторон b/l = 1), а максимальный прогиб такой плиты составит:

f = k₁ql 4 /(Eh 3 ) = 0.0443·0.1·100 4 /(2·10 6 ·0.5 3 ) = 1.772 см

где длина пластины l = 100 см, модуль упругости стали Е = 2000000 кг/см 2 .

Соотношение f/h = 1.772/0.5 = 3.544 или f = 3.544h, что меньше прогиба для мембран, составляющего f = 5-6h. В связи с этим мы можем считать нашу пластину гибкой, а результат более менее верным.

К тому же в данном случае боковые стенки бака, не обеспечивают защиту от горизонтальных перемещений дна бака ближе к середине стенок, а значит и нет оснований рассматривать дно бака, как мембрану.

Вот собственно и весь расчет.

Для сравнения определим прогиб шарнирно опертой стальной балки длиной l = 1 м, шириной b = 1 см, высотой h = 0.5 см, на которую действует линейная равномерно распределенная нагрузка 0.015 кг/см 2 . Такая балка, хотя и очень приблизительно, будет соответствовать полосе шириной 1 см, вырезанной из рассмотренной выше пластины. Почему приблизительно - отдельная большая тема. Так вот прогиб такой балки составит (согласно расчетной схеме 2.1 таблицы 1):

f = 5ql 4 /(1.3·384EI) = 5·0.05·100 4 /(1.3·384·2·10 6 ·0.01) = 2.404 см

где момент инерции I = bh 3 /12 = 1·0.5 3 /12 = 0.01042 см 4 , 1.3 - коэффициент, учитывающий приблизительность определения прогиба при принятом виде нагрузки.

Как видим, разница при определении прогибов различными способами составляет 1.4 раза, возможно из-за того, что в приблизительном методе не учитывается изменение момента инерции пластины.

Примечание: скорее всего со временем стенки и дно бака начнут ржаветь, а потому прогиб будет только увеличиваться. Однако вопрос антикоррозионной защиты к теме данной статьи отношения не имеет. Просто отметим, что чем толще будут стенки и дно бака, тем больше лет он прослужит.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины - номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

не "h/b = 0.5/100 = 200", а b/h = 100/0.5 = 200. результат верный, формула обратная.

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).

Читайте также: