Условие прочности при центральном растяжении стальные конструкции

Обновлено: 14.05.2024

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения, можно записать в таком виде:

где – максимальное напряжение в конструкции; – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.

Допускаемое напряжение находится по формуле

где – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (2.26), возможен второй вариант условия прочности

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.

Проектный расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения

Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.

Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.

Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).

Определение допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны. Условие прочности в этом случае записывают в виде

Зная значение , определяют допускаемую нагрузку .

Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.

При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными.

Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).

При проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.2.1) или другим нормам.

Элементы конструкции

Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий: а) сжатых при расчетах на устойчивость б) растянутых в сварных конструкциях Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой

0,95 0,95 0,95 1,1 1,1 0,75

Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

Для хрупких строительных материалов условия прочности принимают вид:

при сжатии: , (2.33)

где и – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; n_t и n_c – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (n_t, n_c>1).

Для центрально сжатых бетонных элементов формула (2.33) записывается в виде:

где – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

В некоторых случаях работоспособность элемента конструкции определяется не только его прочностью, но и жесткостью, т.е. способностью элемента воспринимать нагрузки без недопустимых упругих деформаций. При расчетах на жесткость определяют максимальные перемещения сечений и сопоставляют их с допускаемыми перемещениями.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет следующий общий вид:

где - изменение размеров детали;

- допускаемая величина этого изменения.

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин по участкам

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

Так как перемещение, согласно закону Гука, зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, условие жесткости позволяет решать те же три вида задач, что и условие прочности.

Условие прочности при растяжении-сжатии

Условие прочности при растяжении и сжатии: нормальные напряжения σ в сечениях бруса не должны превышать заданных допустимых напряжений [σ].

При продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные напряжения σ . Поэтому для обеспечения прочности стержней и стержневых систем достаточно выполнение условия:

Здесь
σ _max – максимальные расчетные нормальные напряжения в стержне,
N – внутренние продольные силы (принимаются с построенных эпюр),
А – соответствующая площадь поперечного сечения бруса,
[ σ ] – допустимые напряжения (расчетное сопротивление) для материала стержня, определяемое как:

n – коэффициент запаса прочности, устанавливаемый нормативными документами.

Данное условие означает что для того чтобы стержень при растяжении-сжатии оставался прочным, напряжения σ в его сечениях не должны превышать допустимых значений [ σ ].

В случаях, когда для материала стержней допустимые напряжения на растяжение [ σ ]_р и на сжатие [ σ ]_сж отличаются, при сравнении необходимо учитывать знак напряжений σ , который зависит только от знака соответствующих внутренних сил N.

Так, положительные значения напряжений σ сравниваются с [ σ ]_р, отрицательные напряжения по модулю не должны превышать значения [ σ ]_сж.

Три задачи расчета на прочность

Данное условие прочности позволяет решать три основных задачи сопротивления материалов и технической механики:

Проверка на прочность.

В случае, когда известны внешние нагрузки, а также размеры и материал стержня можно выполнить проверку его прочности. Для этого по каждому участку рассчитывается величина нормальных напряжений σ , после чего максимальная из них сравнивается с заданным допустимым значением [ σ ].

Ответ в данной задаче дается в виде заключения:

если σ _max ≤ [ σ ] стержень прочный,
если σ _max > [ σ ] стержень непрочный.

Подбор размеров сечения (проектировочный расчет)

Эта задача является основной в технической механике. Здесь, по известным схеме нагружения и материалу стержня определяется минимально необходимая площадь поперечного сечения A обеспечивающая его прочность.

Для этого условие прочности записывается относительно искомой величины.

Полученные размеры в случае необходимости можно только увеличивать. Уменьшение размеров приведет к превышению напряжениями допустимых значений.

Определение грузоподъемности стержня.

Данная формула позволяет по известным размерам и материалу рассчитать величину допустимой внутренней силы, которую может выдержать стержень, оставаясь прочным.

В данном случае условие прочности записано относительно внутренней силы N.

Напряжения и прочность при изгибе

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:
где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[σ], [σ]_р, [σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [σ]_с>[σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Растяжение-сжатие.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих - продольные силы N отрицательны (рис. 5).

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме "Растяжение-сжатие" =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l₁ и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε ' имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε ' к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно . В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность , пластичность , хрупкость , упругость и твердость .

Прочность - способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l₀ и начальным постоянным поперечным сечением площади A₀ статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

где Δl = l - l₀ абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l₀ - относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A₀ - нормальное напряжение; E - модуль Юнга; σ_п - предел пропорциональности; σ_уп - предел упругости; σ_т - предел текучести; σ_в - предел прочности (временное сопротивление); ε_ост - остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ_0,2 - напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σ_т глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

где σ_пред - предельное напряжение (σ_пред = σ_т - для пластических материалов и σ_пред = σ_в - для хрупких материалов); [n] - коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [n_т] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [n_в] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки

Сложное сопротивление.

Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.

Косой изгиб.

Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.

В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q_x, Q_y и изгибающие моменты M_x , M_y. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.

Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Условие прочности при косом изгибе:

где y_max, x_max — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.

Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:

где W_x , W_y – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.

Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.

Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:

Изгиб с растяжением (сжатием).

При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.

Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:

К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a - нагружение бруса; б - внутренние силовые факторы в поперечном сечении;

Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:

Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (х_д, у_д), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:

где А — площадь поперечного сечения.

Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:

Условие прочночти имеет вид:

Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.

Внецентренное растяжение или сжатие.

При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.

К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a - нагружение бруса; б - внутренние силовые факторы в поперечном сечении;

Приведём силу F к центру тяжести:

где у_F , x_F — координаты точки приложения силы F.

В произвольной точке Д, с координатами (х_д, у_д), нормальное напряжение определяется по фомуле:

Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:

Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.

Кручение с изгибом.

Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.

Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:

Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом

Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:

Касательное напряжение от крутящего момента M_z достигает максимума также на поверхности вала:

Из третьей и четвёртой теории прочности:

При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:

Читайте также: