Сечение стальной балки проверяется по условию

Обновлено: 16.05.2024

1. Строят эпюры Q_x и M_x (см. практическую работу № 9).

2. Подбирают сечение стальной балки в следующем порядке:

а) определяют требуемый момент сопротивления сечения балки:

где М_max - наибольший по абсолютному значению изгибающий момент, принимаемый по эпюре M_x; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести (прил. VIII);

б) по ГОСТам прил. I подбираем номер двутавровой стальной балки, которая должна иметь момент сопротивления W_x, наиболее близкий к значению требуемого момента сопротивления

3. Проверяют прочность принятой двутавровой балки по нормальным напряжениям. Такую проверку выполняют для сечения с нибольшим изгибающим моментом:

где Wx – момент сопротивления приятого сечения.

Если условие удовлетворительно, то прочность балки по нормальным сечениям считается обеспеченной, и наоборот.

4. Строят эпюру нормальных напряжений s. Для этого вычерчивают крупно поперечное сечение балки и проводят на отдельном рисунке нулевую линию перпендикулярно нейтральной оси. Затем на уровне крайних точек сечения (верхней и нижней) откладывают найденные ранее значения s_max и s_min и соединяют эти значения прямой линией. Полученный график называется эпюрой s. Значения s_max и s_min откладывают по разные стороны от нулевой линии.

5. Проверяют прочность принятой двутавровой балки по касательным напряжениям. наибольшие касательные напряжения возникают в том сечении по длине балки, в котором действует наибольшая поперечная сила (по абсолютному значению), а по высоте сечения – на уровне нейтральной оси.

Для определения этих напряжений действительное сечение двутавра упрощают: полка и стенка принимаются прямоугольными: полка с размерами b и t, а стенка – d (см. прил. I). таким образом, сечение двутавра теперь состоит из трех прямоугольников.

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси определяют по формуле Журавского:

где Q_x – поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S_x – статический момент сечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; ; J_x – момент инерции всего сечения, принимается по табл. 3 прил. I; b – ширина сечения балки на уровне нейтральной оси.

Проверяют прочность балки по касательным напряжениям

где R_S – расчетное сопротивление материала сдвигу (прил. VIII).

6. Строим эпюру касательных напряжений t. К4асательные напряжения изменяются по высоте балки по криволинейному закону и имеют скачок в месте соединения полки и стенки. Поэтому эпюру t строят по значениям, найденным в пяти точках сечения: крайних точках, на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения стенки и полки — чуть ниже и чуть выше этого сопряжения.

Напряжение в этих точках определяется по формуле Журавского. При этом статический момент S_x и ширина сечения b определяются для каждой точки сечения. Касательные напряжения в крайних точках сечения равны нулю.

Пример 14.Подобрать сечение стальной двутавровой балки (рис. 46, а). Проверить прочность принятого сечения по нормальным напряжениям в сечении с наибольшим изгибающим моментом и по касательным напряжениям в сечении с наибольшей поперченной силой. Материал – сталь марки С-235.

Решение.

1. Строим эпюры Q_x и M_x (см. пример 10, практическая работа № 9). Наибольшее значение поперечной силы Q_max =73,6кН, изгибающего момента M_max=95,4кН∙м (см. рис. 25).

2. Подберем сечение стальной двутавровой балки по наибольшему изгибающему моменту

где R=230 МПа – расчетное сопротивление стали марки С-235 (прил. VIII).

По табл. 3 прил. I принимаем двутавр № 30 с что больше чем

3. Проверим прочность принятого сечения:

Прочность сечения по нормальным напряжениям обеспечена.

4. Строим эпюру нормальных напряжений. Отложим от нулевой линии 0-0 (рис. 26, б) значение и и соединим полученные точки. Верхняя часть испытывает сжатие, нижняя – растяжение, т.к. по эпюре M_x видно, что балка прогибается (обращена выпуклостью) вниз.

5. Проверим прочность балки по касательным напряжениям. заменим действительное сечение упрощенным (рис. 26, в). Размеры приняты по табл. 3 прил. I.

Определим наибольшее касательное напряжение

Подставим числовые значения в формулу:

Проверим прочность сечения по касательным напряжениям:

т.е. прочность обеспечена.

В прокатных балках, которые не несут больших сосредоточенных сил в приопорных участках, это условие обычно соблюдается с большим запасом.

6. Построим эпюру касательных напряжений. Напряжение в сечении 2-2

Напряжение в сечении 3-3

где b=13,5см, т.к. сечение 3-3 проходит в полке.

Напряжение в сечении 4-4 равно нулю, т.к.

По найденным значениям строим эпюру t_y (рис. 26, г).

Задание для практической работы № 13.Подобрать сечение стальной двутавровой балки (рис. 27), проверить принятое сечение по нормальным и по касательным напряжениям и построить эпюры s и t для соответствующих сечений. Материал – сталь С-245.

Расчёт прокатных балок. Подбор сечения, проверка несущей способности и жесткости

В качестве прокатных балок применяются двутавры с уклоном внутренней грани полок, с уклоном параллельных граней полок. Их № подбираются в соответствии с ГОСТ и только тогда, когда мы не можем подобрать прокатный двутавр, а это имеет место при большой нагрузке мы используем сварной двутавр.

1) исходные данные
2) статический расчет. Суть этого блока состоит в выборе расчетной схемы балки и ее статического расчета.
3) конструктивный расчет. Прокатную балку рассчитываем по двум предельным состояниям. По первому предельному состоянию мы должны обеспечить несущую способность балки (прочность, общую устойчивость, местную устойчивость элементов). По второму предельному состоянию мы должны обеспечить пригодность балки к ее нормальной эксплуатации, при этом прогиб балки не должен превышать предельной.
Мы должны гарантировать не наступление первого и второго предельного состояния.
Сечение балки подбираем из условия ее прочности при расчете в пределах упругих деформаций: σ=Mmax/W < Ry*yc.
При благоприятных факторах можно уменьшить размеры сечения за счет развития пластических деформаций: Wreq = Mmax/Ry*yc. Далее по сортаменту принимаем двутавр, момент сопротивления которого равен или больше требуемого, в противном случае условие прочности выполняться не будет.
Проверка несущей способности балки подобранного профиля: проверки на прочность балки, изгибаемой в одной из главных плоскостей при расчете в пределах упругих деформаций в сечение где M=Mmax и Q = 0
σ= Mmax/Wфакт˂Ry* γc Q=Qmax и М=0

При одновременном действии в сечение момента и перерезывающей силы, напряжение приведенное проверяется по формуле:
σef=√σx2+3τxy2

. Проверяются они в уровне сопряжения пояса со стенкой.
Помимо обеспечения прочности балки мы должны обеспечить ее общую устойчивость. Суть явления потери балкой общей устойчивости состоит в следующем: предельное состояние изгибаемого элемента может наступить до того, как балка исчерпает свою прочность, т.е. общей потери устойчивости. Вначале балка изгибается в своей плоскости, совпадающей с плоскостью действия внешней нагрузки, после того, как напряжение в балке достигает критических, она закручивается и выходит из плоскости изгиба, затем, в поясах балках появляются пластически деформации и она теряет несущую способность. M/φb*Wc < Ry*yc. Где φb -коэффициент снижения расчетного сопротивления при потере общей устойчивости балки, Wc - момент сопротивления сечения балки относительно крайнего сжатого волокна.
Пункт 5.16* говорит о том, когда проверку общей устойчивости по этой формуле можно не производить. Последняя проверка несущей способности - это проверка местной устойчивости элементов (только тех, где есть сжимающие напряжения). Но в прокатных балках местная устойчивость элементов не проверяется, т.к. она обеспечивается соотношением их размеров, назначенных с учетом устойчивой работы, при различных напряженных состояниях.
Второе предельное состояние балки обеспечивает ее нормальную эксплуатацию, подсчитывается прогиб балки и сравнивается с предельным. Подсчет ведется по нормативным нагрузкам

11. Составные балки. Генеральные размеры составных балок. Проверка прочности и жесткости составных балок. Понятие об общей устойчивости балок.

Как уже указывалось, составные балки делаются сварными (преимущественно) и клепаными.

Генеральные размеры— пролет и высоту — назначают, исходя из наивыгоднейших (оптимальных) соотношений размеров сооружения.

В промышленных сооружениях назначение пролета, кроме того, в значительной степени зависит от технологии производства проектируемого объекта.

Минимальная высота балки, определяемая из условия жесткости по таблице Отношения минимальной высоты сечения балки к пролету в зависимости от прогиба (для балок из стали марки Ст. 3) или по формуле (4.VI), как правило, не является оптимальной с точки зрения расхода материала. Определение наивыгоднейшего сечения балки сводится к нахождению минимальной площади сечения F при заданном моменте сопротивления W_тр = который необходим для обеспечения прочности балки.

Полный расчет балки на прочность и жесткость

Пример решения задачи полного расчета на прочность и жесткость стальной двутавровой балки при заданной системе внешних изгибающих нагрузок.

Задача

Выполнить полный расчёт на прочность и проверить жёсткость стальной, двутавровой, статически определимой балки на двух опорах

при следующих данных:
Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q=26кН/м, продольный размер a=0,6м, сосредоточенная сила F=2qa, изгибающий момент m=4qa 2 .
Допускаемые нормальные напряжения [σ]=160МПа,
Модуль упругости I рода Е=200ГПа.
Допустимый прогиб балки [f]=l/400.

Последовательность решения задачи
Для расчета балки на прочность

Вычерчивается схема нагружения в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок;
Строятся эпюры внутренних силовых факторов Q_y и M_x;
По условию прочности подбирается двутавровое сечение (№ двутавра) стальной балки:
Для балки двутаврового профиля выполняется полная проверка на прочность, приняв
Проверяется прочность по главным напряжениям в опасных точках сечения по III гипотезе прочности
По результатам расчетов дается заключение о прочности балки при выбранном сечении.
В случае невыполнения условия прочности по главным напряжениям, подбирается новый номер двутавра.

Для расчета балки на жесткость

С использованием универсальных уравнений метода начальных параметров (МНП) определяются углы поворота θ над опорами и прогибы в характерных сечениях (2-3 сечения), а также, максимальные прогибы балки в пролете и консольной части;
По этим данным, в соответствии с эпюрой M_x, строится линия изогнутой оси балки;
Проверяется выполнение условия жесткости балки.
Если условие жесткости не удовлетворяется, подбирается новое двутавровое сечение, обеспечивающее необходимую жесткость.

Решение

Рассчитаем численные значения силы F и момента m, которые были заданы в виде переменных.
Вычерчиваем расчетную схему нагружения балки в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок.

Показываем оси системы координат y-z и обозначаем характерные сечения балки.

Полный расчет стальной балки на прочность

Определение реакций в шарнирных опорах балки

Направим реакции опор вверх и запишем суммы моментов относительно точек на опорах, нагрузок приложенных к балке

Из составленных уравнений выражаем и находим реакции.
Из первого уравнения
из второго
Положительные значения указывают на то, что произвольно заданное направление реакций вверх оказалось верным.

Выполним проверку найденных реакций опор спроецировав все силы на ось y
Равенство суммы проекций сил нулю говорит о том что реакции опор определены правильно.

Более подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем коротком видеоуроке:

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Рассчитаем значения внутренних поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки на каждом силовом участке методом сечений.

Балка имеет 4 силовых участка.

1 участок (AB)

2 участок (BC)

3 участок (CD)

4 участок (DK)

Здесь, значения Q_y на границах участка имеют одинаковый знак, поэтому на этом участке, на эпюре M_x экстремума не будет.

По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_x.

Проверка построенных эпюр:
— по дифференциальным зависимостям
— в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q_y имеются скачки значений на величину соответствующей силы;
— в сечениях балки, где приложены изгибающие моменты, на эпюре M_x скачки значений на величину соответствующего момента.
Все условия выполнены, следовательно, эпюры построены верно.

По эпюрам видно, что опасным является сечение балки в точке C, где:
M_x=M_{x max}=-24,336кНм
Q_y=-4,68кН

Подбор двутаврового сечения балки

Подберем двутаврового сечение балки по условию прочности по нормальным напряжениям
где
M_{x max} – максимальное значение внутреннего изгибающего момента в сечениях балки. Принимается с построенной эпюры M_x;
W_x – осевой момент сопротивления поперечного сечения балки относительно горизонтальной оси x;
[σ] – допустимые нормальные напряжения.

Выразим и рассчитаем минимально необходимое значение осевого момента сопротивления поперечного сечения балки W_x обеспечивающего её прочность по нормальным напряжениям
По сортаменту прокатной стали выбираем номер двутавра имеющий осевой момент сопротивления близкий к расчетному W_x=152,1см 3 в большую сторону.

Это двутавр №18а у которого W_x=159,0см 3 .

Максимальные нормальные напряжения в сечении

Этот двутавр будет работать при максимальных нормальных напряжениях в крайних слоях опасного сечения балки.

Максимальные нормальные напряжения выбранного номера двутавра не превышают допустимых значений, значит сечение подобрано верно.

Полная проверка на прочность двутаврового сечения

При изгибе тонкостенных прокатных профилей, таких как, например, двутавр или швеллер, в местах соединения стенки с полкой нормальные и касательные напряжения имеют не максимальные, но достаточно большие значения.

Их совместное действие, выраженное в виде главных (эквивалентных) напряжений, может превышать допустимые значения, что будет означать потерю прочности в этих точках поперечного сечения балки.

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение балки B, в котором максимально значение поперечной силы при значительном изгибающем моменте:

Для полной проверки на прочность построим эпюры нормальных и касательных напряжений в сечении B для выбранного номера двутавра.

Построение эпюр нормальных и касательных напряжений в сечении балки подробно рассмотрено здесь:

Для выполнения расчетов, из сортамента выпишем необходимые геометрические характеристики выбранного номера двутавра:
Высота сечения
h=180мм;
Ширина сечения
b=100мм;
Толщина стенки
d=5,1мм;
Толщина полки
t=8,3мм;
Осевой момент инерции поперечного сечения
I_x=1430см 4 ;
Статический момент сечения
S_x=89,8см 3 .

Двутавровое сечение по высоте имеет 5 характерных точек: верхнюю (1), нижнюю (5), среднюю (3) и две точки в местах перехода стенки в полку двутавра (2 и 4).

Для построения эпюр, определим значения напряжений в указанных точках сечения.

Нормальные напряжения в сечении балки распределяются по линейному закону, поэтому для построения эпюры достаточно найти максимальные значения
Касательные напряжения в характерных точках сечения рассчитываются по формуле Журавского
где
Q_y — поперечная сила в данном сечении. Принимается с эпюры с учетом знака;
I_x – осевой момент инерции поперечного сечения;
b_y – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;
S_x* — статический момент части сечения, расположенной между уровнем рассматриваемой точки и верхним (нижним) краем сечения.

Рассчитаем значения касательных напряжений

Так как выше точки 1 и ниже точки 5 площадь сечения равна нулю, то статический момент S_x* для этих точек тоже равен нулю, следовательно
В точке 3

В точке 3 будут максимальные касательные напряжения, т.к. для неё статический момент сечения S_x максимальный при минимальной ширине сечения d

Видно, что прочность сечения по касательным напряжениям обеспечена.

В точках, где стенка двутавра переходит в полку, будут скачки напряжений, так как на уровне этих точек резко меняется ширина сечения

Рассчитаем значения напряжений в этих точках для стенки (с) и полки (п)

Статический момент полки двутавра
Касательные напряжения в точках 2 и 4 полки
Касательные напряжения в точках 2 и 4 стенки
По этим данным строим эпюры нормальных и касательных напряжений для выбранного номера двутавра.

Рассчитаем величину главных напряжений в точках соединения полки со стенкой двутавра (т. 2 и 4)

Нормальные напряжения в рассматриваемых точках

Эквивалентные напряжения в опасных точках сечения
Как видно, величина эквивалентных напряжений не превышает допустимых значений, следовательно, выбранный номер двутавра удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.

Полный расчет балки на жесткость

Для того чтобы балка удовлетворяла условию жесткости, линейные перемещения (прогибы) балки y_z не должны превышать заданных допустимых значений [f], т.е. должно выполняться условие жесткости

Расчет перемещений сечений балки

Расчет перемещений сечений балки выполним методом начальных параметров (МНП).

Шаблоны уравнений метода начальных параметров имеют вид:

Здесь:
θ_z — угловое перемещение (угол наклона) рассматриваемого сечения;
y_z — вертикальное линейное перемещение (прогиб) рассматриваемого сечения балки;
z – расстояние от выбранного начала координат балки до рассматриваемого сечения (координата);
θ₀, y₀ — соответственно угловое и линейное перемещения балки в выбранном начале координат (начальные параметры);
E – модуль упругости I рода для материала балки;
I_x – осевой момент инерции сечения балки;
m, F, q – соответственно моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, приложенные к балке (включая опорные реакции и компенсирующую распределенную нагрузку);
a, b – расстояние от начала координат до соответствующих моментов m и сил F;
c – расстояние от начала координат до сечения балки, где начинается действие распределенной нагрузки q.

Составляем уравнения МНП для заданной балки

Начало координат принимаем в крайнем правом сечении балки, так как оно расположено на опоре.

Распределенная нагрузка не доходит до конца балки, поэтому продляем её действие и на этой же длине добавляем компенсирующую нагрузку той же интенсивности но противоположного направления.

Запишем нагрузки в уравнения МНП последовательно по участкам с учетом знаков

Для определения начальных параметров θ₀ и y₀ запишем граничные условия.

На опорах прогибы балки равны нулю, т.е.
Из второго граничного условия, используя уравнение прогибов для точки B определим угол поворота сечения в начале координат θ₀
Откуда, при z=3м

Для построения линии изогнутой оси балки определим углы наклона сечений балки на опорах θ_B, θ_K и прогибы в характерных сечениях y_A, y_C, y_D.

Углы поворота сечений на опорах

Далее, для краткости, сократим дробь перед скобками
Линейные перемещения (прогибы) характерных сечений балки
Прогиб сечения A (y_z при z=3,6м)

Прогиб сечения C (y_z при z=1,8м)

Прогиб сечения D (y_z при z=0,6м)

Расчет максимальных прогибов балки

Экстремумы прогибов балки будут в точках, где угол наклона сечения балки равен нулю.

Для их определения, приравниваем к нулю уравнения углов наклона сечений по каждому участку балки, откуда определяем координаты z экстремумов прогибов на участке (если они есть).
1 участок (KD).
Уравнение решений не имеет (т.е. экстремумов на участке нет), это значит, что максимальный прогиб на этом участке будет на его левой границе (в сечении D), так как правая точка участка расположена на опоре.

2 участок (DC).

То есть, экстремум прогибов на втором участке будет на расстоянии z₂=0,782м от начала координат.

3 участок (CB).

Экстремум прогибов на третьем участке в сечении, на расстоянии z₃=2,269м от начала координат.

4 участок (BA).

Данное уравнение решений также не имеет, следовательно, максимальный прогиб на конце консоли, так как на правой границе участка – опора.

Значения максимальных прогибов балки на втором и третьем участках определяем из соответствующих уравнений прогибов для найденных значений z.

По полученным данным строим линию изогнутой оси балки в соответствии с эпюрой изгибающих моментов M_x и с указанием углов поворота сечений на опорах.

Проверка балки на жесткость

Проверяем балку на жесткость, сравнивая по модулю максимальные значения прогибов y_max в пролёте и на консольной части с допустимыми [f].

Балка считается жесткой, если прогибы её сечений не превышают допустимых значений, т.е.
Рассчитаем абсолютные значения допустимых прогибов заданной балки:
В пролете

На консольной части

Для проверки на жесткость сравниваем величину рассчитанных ранее максимальных прогибов сечений балки с соответствующими допустимыми значениями.

В пролете
На консоли
Как видно, максимальный прогиб на конце консольной части балки превышает соответствующее допустимое значение, следовательно, балка не удовлетворяет заданному условию жесткости.

Жесткость балки можно увеличить до требуемого значения путем увеличения момента инерции её сечения, т.е. подбором сечения большего размера.

Подберем двутавр другого номера, который будет обеспечивать необходимую жесткость балки.

Определяем, во сколько раз надо уменьшить величину максимального перемещения сечения.
Тогда, расчетный момент инерции нового сечения балки
По сортаменту выбираем двутавр №20 с осевым моментом инерции сечения I_x=1840см 4 .

Для начала требуется пересчитать угол наклона сечения балки в начале координат.

Рассчитываем прогиб сечения A с новым размером сечения

Условие жесткости выполняется.

Таким образом, двутавр №20 обеспечивает необходимую прочность и жёсткость заданной балки.
Полный расчет заданной балки на прочность и жёсткость выполнен.

Полная проверка прочности двутавровой балки

3) Проверку по эквивалентным напряжениям выполним для сечения 7 (см. рис. 4.9), в котором действуют близкие к максимальным перерезывающая сила и изгибающий момент. Эквивалентные напряжения определим для точек а стенки в местах ее перехода в полки (см. рис. 4.7):

где статический момент площади полки

Эквивалентные напряжения в точках а по IV теории прочности

Для рассматриваемого опасного сечения построим эпюры распределения нормальных и касательных напряжений (рис. 4.11).

Касательные напряжения в полках в местах сопряжения со стенкой

Рисунок 4.11 – Эпюры распределения нормальных (а) и касательных (б) напряжений в опасном поперечном сечении балки

Вопросы для самоконтроля

1 Какой вид нагружения называют чистым изгибом?

2 Какой вид нагружения называют поперечным изгибом?

3 Какой вид изгиба называют плоским?

4 Каковы принятые правила знаков для внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов? Почему знаки Q_y и M_ux определяют неих непосредственным направлением, а направлением деформаций, которые они вызывают?

5 Каковы основные правила проверки эпюр Q_y и M_ux на основе дифференциальных зависимостей между q, Q_y и M_ux?

6 Какие напряжения возникают в поперечном сечении балки от действия внутреннего изгибающего момента?

7 Какие напряжения возникают в поперечном сечении балки от действия внутренней перерезывающей силы?

8 Как выглядят формулы для s и t в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

9 Каков закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при изгибе?

10 Каков закон распределения касательных напряжений в поперечном сечении балки при поперечном изгибе?

11 В каких точках поперечного сечения возникают максимальные нормальные напряжения при изгибе?

12 В каких точках поперечного сечения возникают максимальные касательные напряжения при поперечном изгибе?

13 Какую величину называют осевым моментом инерции сечения? Какова его единица измерения?

14 Какую величину называют осевым моментом сопротивления сечения изгибу? Какова его единица измерения?

15 По какому условию прочности определяют сечения балок при поперечном изгибе и почему?

16Что понимают под эквивалентными напряжениями?

17 Почему для двутавровых сечений необходима проверка по эквивалентным напряжениям?

СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ

Теоретические сведения

В разделе 3 рассматривается чистое кручение валов, но на практике кручение валов всегда сопровождается поперечным изгибом, в основном усилиями в насаженных на них элементах передач. В результате внутренние усилия в поперечных сечениях вала в общем случае приводятся к пяти силовым факторам: крутящему моменту M_к_p_._z, изгибающим моментам M_ux и M_uy и перерезывающим силам Q_y и Q_x (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Схема внутренних силовых факторов в поперечном сечении вала, работающего на кручение с изгибом

Как правило, у валов касательные напряжения, возникающие от действия перерезывающих сил Q_y и Q_x, невелики и при расчетеих не учитывают. Поэтому расчет валов, работающих на кручение с изгибом, производят по трем внутренним силовым факторам: M_к_p_._z, M_ux, M_uy, которые вызывают в их поперечных сечениях нормальные напряжения s и касательные t (рис. 5.2).

Рисунок 5.2 – Распределение нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении вала, работающего на кручение с изгибом

Максимальные нормальные напряжения от изгиба в поперечном сечении вала возникают у его поверхности в осевой плоскости действия результирующего изгибающего момента – точки a' и a" (см. рис. 5.2).

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении вала также возникают у его поверхности. Таким образом, опасными будут точки a' и a".

Элементарные параллелепипеды, выделенные в окрестности точек a' и a", находятся в условиях такого же плоского напряженного состояния, что и при поперечном изгибе (см. рис. 4.8), для которого эквивалентные напряжения по III и IV теориям прочности определяются формулами (4.7), (4.8). Разница состоит только в том, что при поперечном изгибе касательные напряжения вызваны не крутящим моментом, а перерезывающей силой.

Для конкретного поперечного сечения вала нормальное и касательное напряжения в опасных точках:

Для сплошного поперечного сечения вала осевой и полярный моменты сопротивления сечения:

При этом для вала формулы (4.7), (4.8) принимают вид:

- по III теории прочности

- по IV теории прочности

Здесь М_пр – приведенный момент. Можно считать что М_пр – это условный внутренний изгибающий момент в сечении, эквивалентный одновременно действующим в нем реальным внутренним изгибающему и крутящему моментам М_u_._p и М_кр._z.

При этом условие прочности вала, испытывающего одновременное действие кручения с изгибом,

где по III теории прочности (максимальных касательных напряжений)

по IV теории прочности (энергетической)

Для нахождения сечения c M_np=M_n_р._max необходимо предварительно построить эпюры М_u_._p=f(Z) и M_к_p_._z=f(Z). При этом для построения эпюры М_u_._p вначале должны быть построены эпюры М_ux и М_u_у. Понятно, что для каждого поперечного сечения вала результирующий момент будет иметь свою осевую плоскость действия. Но так как вал имеет круглое поперечное сечение, для которого моменты сопротивления относительно всех осей одинаковы, то без влияния на результаты расчета можно построить условную эпюру М_u_.р, совместив осевые плоскости действия результирующих изгибающих моментов во всех поперечных сечениях с плоскостью чертежа.

Прежде чем строить указанные эпюры, необходимо составить расчетную схему вала, для чего все внешние силы, приложенные к насаженным на него элементам передач, должны быть перенесены на ось вала.

Описанная методика расчета валов соответствует их статическому нагружению и может быть использована для проектировочных расчетов. Валы реальных передач круговращательного движения находятся в условиях переменного циклического нагружения. Поэтому для валов, конструктивно оформленных по найденному из проектировочного расчета диаметру, должен быть выполнен проверочный расчет на усталостную прочность (выносливость). При проектировочном статическом расчете неучтенную цикличность нагружения косвенно учитывают понижением допускаемого напряжения [s].

В некоторых конструкциях валы, помимо скручивания и изгиба, растягиваются или сжимаются осевыми нормальными силами N. Влияние этих добавочных сил на прочность вала может быть учтено добавкой к наибольшим нормальным напряжениям от изгиба нормальных напряжений от растяжения-сжатия , где А - площадь поперечного сечения вала.

Ввести s_p в условие прочности проектировочного расчета (5.1) не представляется возможным, s_p учитывают только при проверочных расчетах.

Пример расчета

Для заданной схемы нагружения промежуточного вала коническо-цилиндрического редуктора (рис. 5.3) определить необходимый диаметр вала, пользуясь теорией максимальных касательных напряжений.

d₁=200 мм; d₂=100 мм; внешний крутящий момент, передаваемый валом Т=150 Hм; a=20º; δ=71,6º - углы между усилиями в зацеплениях; [s]=80 МПа.

Читайте также: