Энергия ферми для металлов

Обновлено: 03.05.2024

Фе́рми-эне́ргия — значение энергии, ниже которой при температуре абсолютного нуля Т=0 К, все энергетические состояния системы частиц, подчиняющихся Ферми — Дирака статистике, заняты, а выше — свободны. Уровень Ферми — некоторый условный уровень, соответствующий энергии Ферми системы фермионов; в частности электронов твердого тела, играет роль химического потенциала для незаряженных частиц. Статистический смысл уровня Ферми — при любой температуре его заселенность равна 1/2.

Положение уровня Ферми является одной из основных характеристик состояния электронов (электронного газа) в твердом теле. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами, определяется функцией Ферми F(E):

То есть все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, полностью заняты электронами, а выше него свободны.

Энергия Ферми EF — максимальное значение энергии, которое может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. Энергия Ферми совпадает со значениями химического потенциала газа фермионов при Т =0 К, то есть уровень Ферми для электронов играет роль уровня химического потенциала для незаряженных частиц. Соответствующий ей потенциал jF = EF/е называют электрохимическим потенциалом.

Таким образом, уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше1/2 свободны от электронов.

Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.

С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2. В реальных условиях изменение EFсувеличением температуры мало. Например, для Ag, имеющего при Т=0 значение EF равное 5,5 эВ, изменение энергии Ферми при температуре плавления составляет всего около 0,03% от исходного значения.

В полупроводниках при очень низких температурах уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны. (Для донорных полупроводников — полупроводников n-типа проводимости — уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем). С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, и уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны. Аналогичные закономерности проявляются и полупроводниках р-типа проводимости.

Существование энергии Ферми является следствием Принципа Паули. Величина энергии Ферми существенно зависит от свойств системы. Понятие об энергии Ферми используется в физике твердого тела, в ядерной физике, в астрофизике и т. д.

Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне при температуре Т определяется функцией Ферми – Дирака:

где WF – энергетический уровень, называемый уровнем Ферми.

При Т=0°К вероятность занятия электронами уровней W > WF равна нулю:

а уровней W < WF единице:


Энергия для перахода в зону проводимости берется от тепловых колебаний. Поэтому при Т=0°К свободных электронов в полупроводнике нет (ни один уровень в ЗП не занят электроном), все электроны находятся на орбитах (в ВЗ), следовательно, энергетические ЗП соответствуют условию W > WF, а энергетические уровни ВЗ – условию W < WF. Это говорит о том, что уровень Ферми WF расположен ниже «дна» ЗП WП и выше «потолка» ВЗ WВ, т.е. в ЗЗ. На рис. 3 приведены кривые функции Ферми – Дирака.

При Т=0°К фуекция fn(W) имеет ступенчатый характер. Вероятность занятия электронами уровней в ЗП = 0, а в ВЗ = 1.

При Т > 0°К появляется небольшая вероятность занятия электронами уровней в ЗП, а вероятность занятия уровней в ВЗ соответственно снижается.

Из формулы Ферми – Дирака видно, что при температуре, отличной от абсолютного нуля (Т>0), уровень Ферми – это такой энергетический уровень W = WF, формальная вероятность заполнения которого электроном равна 0,5 (т.к. е° = 1).

Формальное потому, что уровень Ферми находится в запрещенной зоне и фактически не может быть занят электроном. Таким образом, конкретный смысл имеют только те участники кривой распределения fn(W), которые расположены в ЗП и в ВЗ.

Кривая распределения Ферми – Дирака всегда симметрична относительно уровня Ферми. Из этого, в частности, следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен посередине ЗЗ. При повышении температуры от нуля появляется определенная вероятность занятия электронами энергетических уровней в ЗП. Но при этом на такую же величину снижается вероятность нахождения электронов в ВЗ. Нетрудно видеть, что при симметричном размещении кривой распределения fn(W) относительно уровня Ферми это возможно только в случае, если уровень Ферми будет находиться посередине ЗЗ.

Энергия Ферми

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число Е равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов f(Е), где f(Е) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений E < μ0, и E > μ0,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ0 функция E = μ0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ0, свободны. Следовательно, μ0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Фермии обозначается ЕF.( ЕF = μ0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF:, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.


Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT EF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T0 вырождения находится из условия kT0 = EF . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности ЕF (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при Е < ЕF заполнение электронами меньше единицы, а при Е >ЕF. — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T0 = 3 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е — ЕF) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана.

Энергия ферми для металлов

Исследование распределения Ферми-Дирака. Энергия Ферми

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией

,

(число состояний с энергией

при абсолютном нуле температуры),

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры есть вероятность того, что состояние с энергией

Обратите внимание, что энергетический уровень . Теперь можно произвести простую модификацию:

.

Энергия Фе́рми ( ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии приабсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.


При ненулевой температуре ферми-газ не будет являться вырожденным, и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним.

В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

где — постоянная Больцмана, и . Характерная температура имеет порядок 10 5 K для металла, следовательно при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака.

13. Идеальный Ферми-газ. Связь энергии Ферми и концентрации электронов. Средняя энергия электрона.

Фе́рми-газ(или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.

Вопрос 14. Виды связей атомов и молекул в кристаллах. Аморфное и кристаллическое состояния. Кристаллическая решетка. Период решетки.

В кристаллах имеют место следующие типы связей:
● Ковалентная связь;
● Ионная связь;
● Металлическая связь;
● Молекулярная связь;
● Водородная связь.

Рассмотрим их подробнее.

Ковалентная связь
Нейтральные атомы размещены в узлах кристаллической решётки. Связь образуется направленными валентными электронными облаками.

.Ионная связь
В узлах кристаллической решетки помещаются положительно и отрицательно заряженные ионы. Силы взаимодействия между узлами являются в основном электростатическими (кулоновскими). Связь между такими частицами называется гетерополярной или ионной.
Кристаллы с ионной связью при низких температурах являются диэлектриками. При тепературах близких к температуре плавления они становятся проводниками электричества. Примером кристаллов с ионной решёткой являются кристаллы каменной соли (NaCl).
Металлическая связь
Во всех узлах кристаллической решетки расположены положительные ионы металла. Между ними беспорядочно, подобно молекулам газа, движутся электроны, отщепившиеся от атомов при образовании ионов. Эти электроны играют роль цемента, удерживая вместе положительные ионы; в противном случае решетка распалась бы под действием сил отталкивания между ионами. Вместе с тем и электроны удерживаются ионами в пределах кристаллической решётки и не могут её покинут

Молекулярная связь
В узлах кристаллической решетки помещаются определенным образом ориентированные молекулы. Силы связи между молекулами в кристалле имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящие к отклонению газов от идеальности. По этой причине их называют вандерваальсовскими силами.
Для кристаллов с молекулярными связями характерны низкие температуры плавления и высокая сжимаемость.
Водородная связь
Водородные связи, образуемые молекулами воды, обусловливают удивительно высокие точки плавления льда и кипения воды, существование максимума плотности воды, расширение воды при замерзании. Многие особые свойства неорганических и органических молекул, например димеризация жирных кислот, объясняются образованием водородных связей. Водородная связь – особенно важная структура белков особенность белков и нуклеиновых кислот.
Молекулярные связи образуют, например, следующие вещества: H2, N2, O2, CO2, H2O.
Аморфное состояние (от греч. а — отрицательная частица и morphē — форма)

твёрдое состояние вещества, обладающее двумя особенностями: его свойства (механические,тепловые, электрические и т. д.) в естественных условиях не зависят от направления в веществе (изотропия);при повышении температуры вещество, размягчаясь, переходит в жидкое состояние постепенно, т. е. в А. с.отсутствует определённая точка плавления.

Эти особенности обусловлены отсутствием в А. с. дальнего порядка — характерной для кристаллов

Кристалическое состояние вещества, характеризуется наличием дальнего порядка в расположении частиц (атомов, ионов, молекул). ВК. с. существует и ближний порядок, к-рый характеризуется постоянными координац. числами, валентнымиуглами и длинами хим. связей. Инвариантность характеристик ближнего порядка в К. с. приводит ксовпадению структурных ячеек при их трансляционном перемещении и образованию трехмернойпериодичности структуры (см. Кристаллохимия. Кристаллы). Вследствие своей макс. упорядоченности К. с.в-ва характеризуется миним. внутр. энергией и является термодинамически равновесным состоянием приданных параметрах -давлении, т-ре, составе (в случае твердых растворов) и др. Строго говоря, полностьюупорядоченное К. с. реально не м. б. осуществлено, приближение к нему имеет место при стремлении т-ры кО К (т. наз. идеальный кристалл). Реальные тела в К. с. всегда содержат нек-рое кол-во дефектов,нарушающих как ближний, так и дальний порядок. Особенно много дефектов наблюдается в твердых р-рах, вк-рых отдельные частицы и их группировки статистически занимают разл. положения в пространстве.Пери́од кристалли́ческой решётки — длина ребра элементарной ячейки кристаллической решётки. Для самой простой идеальной одноатомной кубической решетки это просто расстояние между соседними атомами. В общем случае — это наименьшее расстояние, при сдвиге на которое решетка точно воспроизводит свой исходный вид, то есть в каждом её узле оказываются такие же атомы, что и до сдвига.

Кристалли́ческая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. Решёткой является совокупность точек, которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с элементами симметрии.

ВОПРОС 15 Модель Кронига-Пени. Волновая функция электрона. Энергетические зоны. Классификация кристаллов по структуре энергетических зон. Зона проводимости и валентная зона. Эффективная масса электрона и дырки.


Модель Кронига — Пенни.Волнова́я фу́нкция, или пси-функция

где — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равнойквадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗОНАквазинепрерывная совокупность одночастичных состояний в энергетич. спектре конденсированной среды (вчастности, твёрдого тела). Возникновение зон можно объяснить, рассматривая либо движение частицы впериодич. поле (приближение слабой связи), либо модификацию энергетич. уровней атомов при ихсближении.


Кристаллические структуры делят на гомодесмические (координационные) и гетеродесмические. В первых все атомы соединены одинаковыми химическими связями, образующими пространственный каркас (напр. , алмаз, галогениды щелочных металлов) . Для вторых характерно наличие структурных фрагментов, внутри которых атомы соединены наиболее прочными (чаще всего ковалентными) связями; атомы, принадлежащие различным фрагментам, связаны существенно слабее. Фрагменты могут представлять собой конечные группировки атомов ("острова"), цепи, слои, каркасы; соотв. выделяют островные, цепочечные, слоистые и каркасные кристаллическая структура Островными кристаллическая структура обладают почти все органические соединения, а также галогены По характеру связи между атомами или структурными фрагментами различают ковалентные кристаллы, ионные кристаллы, металлические кристаллы и ван-дер-ваальсовы кристаллы.

Зона проводимости — в зонной теории твёрдого тела первая из незаполненных электронами зон (диапазонов энергии, где могут находиться электроны) в полупроводниках и диэлектриках. Электроны из валентной зоны, преодолев запрещённую зону, при ненулевой температуре попадают в зону проводимости и начинают участвовать в проводимости, то есть перемещаться под действием электрического поля.

Валентная зона — энергетическая область разрешённых электронных состояний в твёрдом теле, заполненная валентными электронами.

В полупроводниках при T=0 (T — абсолютная температура) валентная зона заполнена электронами целиком, и электроны не дают вклада в электропроводность и другие кинетические эффекты, вызываемые внешними полями. При T>0 К происходит тепловая генерация носителей заряда, в результате которой часть электронов переходит в расположенную выше зону проводимости или на примесные уровни в запрещённой зоне. При этом в валентной зоне образуются дырки, участвующие наряду с электронами в зоне проводимости в переносе электрического тока. Дырки в валентной зоне могут также возникать при нетепловом возбуждении полупроводника — освещении, облучении потоком ионизирующих частиц, воздействии сильного электрического поля, который вызывает лавинный пробойполупроводника, и т. п.

свободный электрон некоторой массы , определяемой соотношением Значение массы носит название эффективной массы электрона в решетке.

Для свободного электрона, энергия которого определяется как , p * > 0, e > 0.

ВОПРОС 16. Определение собственного полупроводника. Возникновение электропроводности собственного полупроводника с точки зрения модельных представлений и зонной теории. Условие электронейтральности. Графикиn = f(T), f(Т), Lnf(1/T)Экспериментальное определение ширины ЗЗ.

Собственный полупроводник или полупроводник i-типа или нелегированный полупроводник (англ. intrinsic — собственный) — это чистый полупроводник, содержание посторонних примесей в котором не превышает 10 −8 … 10 −9 %. Концентрация дырок в нём всегда равна концентрации свободных электронов, так как она определяется не легированием, а собственными свойствами материала, а именно термически возбуждёнными носителями, излучением и собственными дефектами.

Энергетическая диаграмма, иллюстрирую-щая собственную электропроводность полупроводника при разрушении ковалентной связи


Как во всем кристалле, так и в любом физически малом объеме вещества суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю—это и есть условие электронейтраль­ности, справедливое для незаряженного в целом тела.

ВОПРОС 17.Определение донорного полупроводника и донорной примеси. Электропроводность донорного полупроводника при высокой и низкой температурах. Температура примесного истощения. Условие электронейтральности. Графики n = f(T), f(Т), Lnf(1/T). в широком интервале температур.

Примеси, увеличивающие число свободных электронов, называют донорными или просто донорами. ДОНОРНАЯ ПРИМЕСЬ - примесь в полупроводнике, ионизация к-рой приводит к переходу электрона в зону проводимости или на уровень акцепторной примеси.

Температура, при которой F=Ed носит название температуры истощенияTs Как во всем кристалле, так и в любом физически малом объеме вещества суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю—это и есть условие электронейтраль­ности, справедливое для незаряженного в целом тела.

ВОПРОС 18. Определение акцепторного полупроводника и акцепторной примеси. Электропроводность акцепторного полупроводника при высокой и низкой температурах. Температура примесного истощения. Условие электронейтральности. Графики n = f(T), f(Т), Lnf(1/T) в широком интервале температур.

АКЦЕПТОРНАЯ ПРИМЕСЬ (от лат. acceptor - принимающий) - примесь в полупроводнике, ионизация к-рой сопровождается захватом электронов из валентной зоны или с донорной примеси.В невырожденном акцепторном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми лежит посередине между потолком валентной зоны и уровнем акцепторной примеси. При повышении температуры уровень Ферми также стремится к середине запрещенной зоны. В соответствии с положением уровня Ферми концентрация свободных дырок вначале растет по мере ионизации примеси (при этом концентрация свободных электронов пренебрежимо мала).

В акцепторном полупроводнике, как и в случае донорной примеси, при повышении температуры наступает область истощения, характеризующаяся полной ионизацией атомов акцепторной примеси. С дальнейшим ростом температуры уровень Ферми поднимается к середине запрещенной зоны и полупроводник ведет себя как собственный.

Читайте также: