Квантовая теория электропроводности металлов

Обновлено: 04.10.2024

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака,— пересмотрела вопрос об электропроводности металлов. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для , но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n — концентрация электронов проводимости в металле, l_f> — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, u_F> —средняя скорость теплового движения такого электрона. Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: ~ 1/T (классическая теория (см. § 103) дает, что ~1/T), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см. § 103).

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде — она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упорядоченному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, ~Т, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость у от температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость u_F> от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур l_F>~Т -1 поэтому, учитывая независимость от температуры, получим, что сопротивление металлов (R~1/) в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория элекропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

Механизмы электропроводности

Существует классификация веществ в зависимости от их проводимости. Так, к проводникам относят вещества, удельная проводимость которых лежит в диапазоне $^6-^8\frac$, к диэлектрикам вещества с удельной проводимостью меньше $^\frac$ . Полупроводники лежат внутри этого диапазона, их проводимость может быть от $^\ до$ $^4\frac$. Такая классификация весьма условна и неточна. Так, у полупроводника с ростом температуры проводимость растет и при комнатной температуре может быть такой же, как и у проводника. При температурах около абсолютного нуля полупроводники являются диэлектриками. К проводникам относят, прежде всего, металлы.

Механизм электропроводности в металлах

Задолго до открытия электронов было экспериментально показано, что прохождение тока в металлах не связано с переносом вещества, атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе тока.

Атомы металла, находящегося в твёрдом (или жидком) состоянии, расщепляются на несколько электронов и положительный ион. Ионы находятся в узлах кристаллической решетки и совершают колебания около положения равновесия. Они составляют «твердый скелет» металлического тела. Электроны же пребывают в свободном беспорядочном движении в промежутках между ионами и составляют так называемый «электронный газ». При отсутствии внешнего электрического поля электроны совершают хаотичное, тепловое движение. Внешнее поле ведет к упорядочению движения электронов, то есть возникновению электрического тока. Электроны в процессе движения сталкиваются с ионами кристаллической решетки, передают ионам избыток кинетической энергии, которую они получили при взаимодействии с полем. Это приводит к интенсификации колебаний ионов, то есть нагреванию металла.

Все металлы не только хорошие проводники электрического тока, но и имеют высокую теплопроводность. С точки зрения представления о механизме тока в металлах, это совпадение объясняется не просто случайностью, а является следствием одной общей причины -- наличием в металлах свободных электронов. В металлах теплопередача происходит не только посредством столкновения атомов, но и свободными, легко подвижными электронами, которые переносят дополнительную энергию в веществе.

Готовые работы на аналогичную тему

Прямое доказательство того, что носителями тока в металлах являются электроны дали опыты Р.Ч. Толмена. Он измерил силу электрического тока, который появляется в металле, когда металлическому телу сообщают ускорение. Возникновение тока вызывается отставанием электронов от движения кристаллической решетки вещества.

То, что в проводниках существуют свободные электроны, объясняют тем, что при образовании кристаллической решетки от атомов металла отделяются валентные (самые слабо связанные) электроны, которые становятся общей собственностью всего вещества.

Механизм электропроводности полупроводников

Особый интерес представляют электронные полупроводники. В таких полупроводниках носителями тока являются, как и в металлах, электроны. Различие в проводимости металлов и полупроводников связано с очень большой разницей в концентрации носителей тока. В полупроводниках концентрация электронов в свободном состоянии в тысячи раз меньше, чем в металлах. В полупроводнике постоянно идут два противоположных процесса: процесс освобождения электронов, при этом используется внутренняя или световая энергия; процесс воссоединения с ионом, который потерял свой электрон. Равновесие между свободными и связанными электронами динамическое. Для того чтобы в полупроводнике перевести электрон из связанного состояния в свободное, необходимо сообщить ему дополнительную энергию. В металлах даже при низких температурах количество свободных электронов велико. Силы межмолекулярного взаимодействия в металлах достаточно для освобождения части электронов.

Сравнительно немногочисленные свободные электроны полупроводника, оторвались от атомов, при этом атомы стали ионами. Каждый ион окружен большим количеством атомов, которые не заряжены. Нейтральные атомы могут отдать свой электрон иону, превращаясь в ион, а ион становится нейтральным. Так, обмен электронами ведет к изменению местоположения положительных ионов в полупроводнике, то есть положительный заряд перемещается. До тех пор пока на полупроводник внешнего поля нет в среднем каждому электрону, который смещается в одном направлении, соответствует перемещение электрона в противоположном направлении. Аналогичный процесс идет с положительным зарядом. При наложении внешнего поля процессы получают преимущественное направление: свободные электроны движутся в направлении противоположном полю, положительные места -- по полю. Возникает ток одного направления (по полю), проводимость вызывается этими двумя процессами. Место, где вместо нейтрального атома имеется положительный ион, называют дыркой. Надо отметить, что фактически всегда имеет место только движение электронов, но движение связанных электронов от атомов к ионам ведет к результату, при котором будто бы движутся дырки, которые имеют положительный заряд.

Механизм электропроводности полупроводников описывает зонная теория. Она базируется на анализе энергетического спектра электронов. Электронный спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками. В том случае, если в верхней зоне имеющей электроны, ими заполнены не все квантовые состояния, то есть в пределах зоны имеется возможность перераспределения энергии и импульсов электронов, то данное вещество является проводником электрического тока. Движение электронов в зоне проводимости подчиняются квантовым законам.

Классическая электронная теория металлов

Интерпретация разных свойств вещества с точки зрения движения и существования электронов является содержанием электронной теории. В классической теории металлов считают, что движение электрона описывают законы Ньютоновой механики. В этой теории считают, что взаимодействие электронов между собой несущественно, а взаимодействие ионов и электронов осуществляется только как соударения. Это значит, что электроны проводимости рассматривают как электронный газ, который подобен идеальному одноатомному газу. Такой газ хорошо изучен и его свойства описаны. В частности он подчиняется закону равномерного распределения энергии по степеням свободы. В соответствии с этим законом средняя кинетическая энергия теплового движения, которая приходится на каждую степень свободы, равна $\frackT$, где $k=1,38\cdot ^\frac$, $T$ -- термодинамическая температура. Средняя энергия теплового движения одного электрона равна:

где $\left\langle v^2_T\right\rangle $- среднее значение квадрата скорости теплового движения.

Классическая электронная теория качественно объясняет многие законы электрического тока.

Задание: Чему равна концентрация свободных электронов, если от каждого атома отщепился один электрон.

Если от каждого атома отщепился один электрон, концентрация свободных электронов равна числу атомов в единице объема ($n$):

где $\rho $ -- плотность металла, $\mu $ -- молярная масса вещества, $N_=6\cdot ^моль^$ - число Авогадро. Для металлов значения $\frac<\mu >$ для металлов равны: калий$:\ \frac<_1><<\mu >_1>$=$2\cdot ^4\frac$, бериллий:$\ \frac<_2><<\mu >_2>$=$2\cdot ^5\frac$.

Тогда концентрация свободных электронов проводимости будут иметь значения порядка:

Задание: Чему равна подвижность электронов в калии? Удельная проводимость металлов равна $\sigma =^6\frac.$

Подвижностью электронов ($b$) является отношение скорости дрейфа ($v_d$) к напряженности электрического поля (E):

можно записать в виде:

где $n$ -- концентрация электронов проводимости, $q_e=1,6\cdot ^Кл$ -- заряд электрона, $\sigma $ -- удельная проводимость. Используя (2.1) и (2.3) выразим подвижность:

Используем результат первого примера, концентрация свободных электронов в калии равна $n=^м^$. Проведем вычисления:

Квантовая теория электропроводности металла

Процесс электропроводности металлов возможно рассмотреть с квантовой точки зрения. Известно, что при объединении атомов в определенную кристаллическую решетку наблюдается постепенное снижение высоты всех стенок основного барьера, расположенного вокруг ядра каждого атома. При этом динамично движущиеся валентные электроны начинают перемещаться по всему кристаллу, а элементы внутренних оболочек не покидают своих позиций и остаются на своих местах.

Рисунок 1. Электропроводимость металлов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Квантовая теория электропроводности металлов - гипотеза электропроводности, которая основывается на принципах квантовой механики и статистике Ферми - Дирака.

Такое предположение отодвинуло закон Больцмана на последнее место, так как его теория была абсолютно не применима к электронам проводимости металла. На самом деле, указанный закон гласит, что общее количество частиц газа, которые находятся в состоянии равновесия, определяется формулой, не имеющей никаких ограничений на число электронов. Все элементы этой системы должны иметь нулевую энергию.

Согласно научной работе Паули, каждый подуровень в электропроводности металлов может содержать только два электрона. Таким образом, надо отказаться от учений Больцмана и найти для электронов проводимости иной статистический закон.

Сверхпроводимость металлов в квантовой физике

В сфере действия низких температур возникает процесс сверхпроводимости в виде резкого падения общего сопротивления материала. Впервые данное явление было обнаружено в начале 1911 года Камерлингом-Оннесом для определения значения ртути при температуре 4.2 К.

Экспериментально сверхпроводимость металлов осуществляется двумя способами:

включив в металлическую цепь звено из сверхпроводника, где в момент перехода в сверхпроводящее условие отличие потенциалов на концах каждого участка будет равна нулю;
разместив кольцо из сверхпроводника в параллельное к нему электромагнитное поле и охладив элемент ниже температуры перемещения в сверхпроводящее состояние, выключают поле.

В итоге в кольце начинает постепенно индуцироваться незатухающий электрический ток, циркуляция которого может длиться бесконечно долго. Такой научный эксперимент подтвердил, что кольцо необходимо поддерживать при определенной температуре, в результате чего ток в нем будет наблюдаться как минимум в течение двух лет.

Для сверхпроводящего состояния вещества, кроме отсутствия электрического сопротивления, присущ так называемый принцип Мейснера: вытеснение магнитного поля из общего объема действующего проводника.

Теория сверхпроводимости металлов была представлена общественности и научному миру в 1957 году Купером, Бардиным и Шиффером. Проведенные на сегодняшний день экспериментальные исследования только подтверждают эту гипотезу. Основная суть ее состоит в следующем: в металле между электронами появляется особый вид напряжение, помимо интенсивности работы кулоновского отталкивания. При крайне низких температурах эта гравитация оказывается значительно сильнее самого отодвигания. В итоге все свободные электроны объединяются в куперовские пары, представляющие собой бозон.

Распределение Ферми-Дирака

При температуре абсолютного нуля в каждом из возможных состояний, энергия которых ниже силы Ферми для определенного металла, можно обнаружить один электрон; в самих процессах электронов нет. Поэтому функция группирования электронов по энергиям равняется вероятности пребывания элемента в состоянии с конкретной энергией.

Для того, чтобы обнаружить эту функцию при температуре выше абсолютного нуля, необходимо изучить неупругие соединения электрона с атомом, расположенном в стабильном узле кристаллической решетки.

Вероятность столкновения электронов, в результате которого элемент трансформируется в состояние с энергией, а атом – в положение с нулевой энергией, пропорциональна:

возможности пребывания электрона в состоянии с теплоэнергией;
допустимость того, что положение электрона в атоме свободно;
вероятности того, что атом металла находится в том же энергетическом состоянии.

Обратный процесс может возникнуть, если энергия атома начнет уменьшаться, а сила электрона увеличиваться при пребывании данного элемента в состоянии с нулевой энергией. Следовательно, в металлах средняя активность теплового движения электронов равна общей энергии Ферми, которая поглощается при температурах примерно 30000 К.

Поэтому коэффициент температуры плавления электронного газа в металлах можно считать вырожденным, так как в проводимых металлах концентрация свободных электронов будет значительно меньше, чем в других материалах. Из этого получается, что уже при комнатной температуре в полупроводниках электронный газ будет невырожденным, полностью подчиняющимся закону Больцмана.

Движение электронов в кристаллической решетке

В кристаллической решетке все неподвижные частицы отсутствуют из-за нарушения периодичности, поэтому электроны ведут себя аналогично оптически однородной среде, которая не распределяет «электронные волны». Это соответствует тому, что металлические элементы не оказывают никакого сопротивления электрическому току.

В действительной кристаллической решетке часто имеются неоднородности, которыми могут быть разнообразные примеси, обусловленные тепловыми колебаниями.

В указанной среде происходит частичное рассеяние «электронных волн» на разнообразии элементов, что и является причиной стабильного электрического сопротивления металлов. Распределение электронных частиц на неоднородностях можно рассматривать как абордаж электронов с фононами.

В квантовой теории средняя скорость практически не зависит от температуры, так как с изменением этого коэффициента уровень Ферми остается неизменным. Однако с увеличением градуса рассеяние «электронных волн» на всех тепловых колебаниях решетки постепенно возрастает, что автоматически провоцирует уменьшение средней длины свободного фонона. При комнатных температурах в результате сопротивления металлов температура будет расти пропорционально. Таким образом, квантовая гипотеза электропроводности металлов смогла устранить эту трудность классической теории.

Простейшая квантовая теория электропроводности металлов

В пределах квантово-механической теории перемещение электронов в металле представляет собой распространение их дебройлевских волн. При этом свет проходит исключительно через мутную среду и определяет сам процесс рассеяния, которое приводит к уменьшению интенсивности определенного пучка. Для возникновения распределения энергии необходимо, чтобы все частицы макросреды находились на расстояниях, сравнимых с длиной волны.

Длина дебройлевской волны электрона всегда участвует в токе проводимости. Расчеты ученых показывают, что общая скорость стабильного движения электронов в конкретном металлическом проводнике характеризуется величиной примерно в 0,1 мм/с. Определив количественные значения в формулу можно определить, что длина волны равняется приблизительно 7 м. другими словами, металлический проводник с наилучшей кристаллической решеткой не обладает электрическим сопротивлением.

Нарушение установленной и строгой периодичности размещения атомов напрямую связано с различного рода изъянами – вакансиями, бесконтрольными примесями других химических элементов, дислокациями и многочисленными тепловыми колебаниями атомов. Следует иметь в виду, что в классической теории электрическое внешнее поле приводит в урегулирование движение все свободные элементы металла, в то время как в квантовой гипотезе ток проводимости возникает только при действии тех электронов, энергия которых близка к уровню Ферми.

Электропроводности металлов. Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для g, но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n— концентрация электронов проводимости в металле, ál_Fñ — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, áu_Fñ — средняя скорость теплового движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: g~ 1/T(классическая теория (см. § 103) дает, что g ~ 1/ÖT, а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле (см. § 103).

Согласно классической теории, áu_Fñ ~ ÖT, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость у от температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость áu_Fñ от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур ál_Fñ ~ Т -1 , поэтому, учитывая независимость áuñ от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ l/g)в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

Вопрос 1 Квантовая теория электропроводности

Квантовая теория электропроводности металлов - теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми – Дирака.

Здесь n- концентрация электронов проводимости в металле, F>- средняя длина свободного пробега электрона F>- средняя скорость теплового движения такого электрона.

Вопрос 2 Атомный механизм диффузии в междоузлии

Возможны три механизма атомных скачков: взаимный обмен местами, движение по вакансиям и перемещение по междоузлиям. Модели механизмов диффузии атомов по вакансиям и междоузлиям были впервые предложены советским ученым Я.Френкелем, эти механизмы можно представить следующим образом. Скорость перемещения атомов, выраженная как вероятность их перехода из одного равновесного положения в другое вследствие статистического характера процесса, возрастает с повышением температуры по экспоненциальному закону где ДЕ — потенциальный барьер (энергия активации), преодолеваемый атомом при переходе из одного положения равновесия в другое, высота которого определяется характером химической связи атомов в кристалле и механизмом диффузии.

Билет 22

Вопрос 1 Сравнение классической теории электропроводности с квантовой

Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми - Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для , но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь п — концентрация электронов проводимости в металле, l_F — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, u_F — средняя скорость теплового движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры:  ~ 1/T (классическая теория дает, что  ~1/ ), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле.

Согласно классической теории, u ~ , поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость  от температуры. В квантовой теории средняя скорость u_F от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур l_F ~Т –1 , поэтому, учитывая независимость u от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/) в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

2) Поглощение света полупроводниками обусловлено переходами между энергетическими состояниями зонной структуры. Учитывая принцип запрета Паули, электроны могут переходить только из заполненного энергетического уровня на незаполненный. В собственном полупроводнике все состояния валентной зоны заполнены, а все состояния зоны проводимости незаполненные, поэтому переходы возможны лишь из валентной зоны в зону проводимости. Для осуществления такого перехода электрон должен получить от света энергию, превышающую ширину запрещённой зоны. Фотоны с меньшей энергией не вызывают переходов между электронными состояниями полупроводника, поэтому такие полупроводники прозрачны в области частот E_g — ширина запрещённой зоны, — постоянная Планка. Эта частота определяет фундаментальный край поглощения для полупроводника. Для полупроводников, которые зачастую применяются в электронике (кремний, германий, арсенид галлия) она лежит в инфракрасной области спектра.

Дополнительные ограничения на поглощение света полупроводников накладывают правила отбора, в частности закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса требует, чтобы квазиимпульс конечного состояния отличался от квазиимпульса начального состояния на величину импульса поглощённого фотона. Волновое число фотона 2π / λ, где λ — длина волны, очень мало по сравнению с волновым вектором обратной решётки полупроводника, или, что то же самое, длина волны фотона в видимой области намного больше характерного межатомного расстояния в полупроводнике, что приводит к требованию того, чтобы квазиимпульс конечного состояния при электронном переходе практически равнялся квазиимпульсу начального состояния. При частотах, близких к фундаментальному краю поглощения, это возможно только для прямозонных полупроводников. Оптические переходы в полупроводниках, при которых импульс электрона почти не меняется называются прямыми или вертикальными. Импульс конечного состояния может значительно отличаться от импульса начального состояния, если в процессе поглощения фотона участвует ещё одна, третья частица, например, фонон. Такие переходы тоже возможны, хотя и менее вероятны. Они называются непрямыми переходами.

Таким образом, прямозонные полупроводники, такие как арсенид галлия, начинают сильно поглощать свет, когда энергия кванта превышает ширину запрещённой зоны. Такие полупроводники очень удобны для использования в оптоэлектронике.

Непрямозонные полупроводники, например, кремний, поглощают в области частот света с энергией кванта чуть больше ширины запрещённой зоны значительно слабее, только благодаря непрямым переходам, интенсивность которых зависит от присутствия фононов, и следовательно, от температуры. Граничная частота прямых переходов кремния больше 3 эВ, то есть лежит в ультрафиолетовой области спектра.

При переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике возникают свободные носители заряда, а следовательно фотопроводимость.

При частотах ниже края фундаментального поглощения также возможно поглощение света, которое связано с возбуждением экситонов, электронными переходами между уровнями примесей и разрешенными зонами, а также с поглощением света на колебаниях решётки и свободных носителях. Экситонные зоны расположены в полупроводнике несколько ниже дна зоны проводимости благодаря энергии связи экситона. Экситонные спектры поглощения имеют водородоподобную структуру энергетических уровней. Аналогичным образом примеси, акцепторы или доноры, создают акцепторные или донорные уровни, лежащие в запрещённой зоне. Они значительно модифицируют спектр поглощения легированного полупроводника. Если при непрямозонном переходе одновременно с квантом света поглощается фонон, то энергия поглощенного светового кванта может быть меньше на величину энергии фонона, что приводит к поглощению на частотах несколько ниже по энергии от фундаментального края поглощения.

Читайте также: