Металлический шар радиусом r имеет заряд q
Обновлено: 04.10.2024
Небольшой шарик соединяют проводом с заземленным электрометром (см. рис. 1.87). Касаясь шариком различных точек проводника, ограниченного цилиндрической и коническими поверхностями, наблюдают одинаковое отклонение стрелки электрометра при любом положении шарика. Затем соединительный провод убирают и наблюдают, что отклонение стрелки электрометра, к стержню которого подносят шарик, неодинаково и зависит от того, какой точки поверхности проводника (внутренней или внешней) предварительно коснулись шариком. Почему?
Решение. Электрометр измеряет разность потенциалов между данным телом и землей. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то в первом случае стрелка отклоняется на один и тот же угол при любом положении шарика.
Во втором случае отклонение стрелки определяется потенциалом шарика относительно земли в тот момент, когда его приводят в соприкосновение с электрометром. Этот потенциал зависит от заряда шарика, его размеров и расположения окружающих предметов. В момент соприкосновения шарика с проводником его потенциал делается равным потенциалу проводника, но его заряд будет зависеть от того, какого участка поверхности касаются. Если касаются внутренней конической поверхности проводника, то заряд шарика равен нулю, так как весь заряд проводника распределен по его внешней поверхности. Если же касаются шариком внешней поверхности проводника, то заряд шарика будет отличен от нуля.
Во время перемещения шарика его потенциал непрерывно меняется, так как меняется положение шарика относительно окружающих предметов. Различные значения потенциала шарика в момент соприкосновения его со стержнем электрометра обусловлены только различием в значениях заряда шарика, так как расположение относительно него окружающих предметов в этот момент неизменно. Максимальный заряд будет на вершине конической поверхности (острие).
Задача 5
Незаряженный металлический шар радиусом г окружен концентрической проводящей сферой радиусом R. Сфера заряжена до потенциала φ0 (относительно земли). Чему станет равен потенциал внешней сферы, если незаряженный шар заземлить (рис. 1.94)?
Решение. До заземления заряд внешней сферы q создает на ее поверхности потенциал 1 (см. рис. 1.94), который можно найти из условия, что потенциал заземленного шара равен нулю.
Согласно принципу суперпозиции полей потенциал шара равен:
Потенциал на внешней сфере после заземления шара создается зарядами q и q1:
Задача 6
Положительный заряд +q0 равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом R. В центре кольца находится точечный заряд -q, масса которого m. Этому заряду сообщается начальная скорость Решение. Полная энергия заряда в начальный момент равна сумме кинетической энергии 0q, гдеПри W ≥ 0 заряд уйдет на бесконечность. Причем его скорость на бесконечно большом расстоянии будет равна нулю, если W = 0. Если W > 0, скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от кольца равна:
Задача 7
Уединенный металлический шар радиусом R = 10 см окружен диэлектриком (ε = 2). Диэлектрик образует сферический слой с радиусами R1 = 10 см и R2 = 20 см. Найдите потенциал шара, если его заряд q = 10 -18 Кл.
Решение. Диэлектрик, окружающий шар, под действием поля шара поляризуется. В результате на внутренней поверхности диэлектрика появляется поляризационный заряд -q', знак которого противоположен знаку заряда шара q, а на внешней поверхности диэлектрика — поляризационный заряд q', одинаковый по знаку с зарядом q. Следовательно, потенциал шара, согласно принципу суперпозиции, равен сумме потенциалов полей, образуемых зарядами q, -q’ и q':
Примеры решения задач
Небольшой шарик соединяют проводом с заземленным электрометром (см. рис. 1.87). Касаясь шариком различных точек проводника, ограниченного цилиндрической и коническими поверхностями, наблюдают одинаковое отклонение стрелки электрометра при любом положении шарика. Затем соединительный провод убирают и наблюдают, что отклонение стрелки электрометра, к стержню которого подносят шарик, неодинаково и зависит от того, какой точки поверхности проводника (внутренней или внешней) предварительно коснулись шариком. Почему?
Решение. Электрометр измеряет разность потенциалов между данным телом и землей. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то в первом случае стрелка отклоняется на один и тот же угол при любом положении шарика.
Во втором случае отклонение стрелки определяется потенциалом шарика относительно земли в тот момент, когда его приводят в соприкосновение с электрометром. Этот потенциал зависит от заряда шарика, его размеров и расположения окружающих предметов. В момент соприкосновения шарика с проводником его потенциал делается равным потенциалу проводника, но его заряд будет зависеть от того, какого участка поверхности касаются. Если касаются внутренней конической поверхности проводника, то заряд шарика равен нулю, так как весь заряд проводника распределен по его внешней поверхности. Если же касаются шариком внешней поверхности проводника, то заряд шарика будет отличен от нуля.
Во время перемещения шарика его потенциал непрерывно меняется, так как меняется положение шарика относительно окружающих предметов. Различные значения потенциала шарика в момент соприкосновения его со стержнем электрометра обусловлены только различием в значениях заряда шарика, так как расположение относительно него окружающих предметов в этот момент неизменно. Максимальный заряд будет на вершине конической поверхности (острие).
Задача 5
Незаряженный металлический шар радиусом г окружен концентрической проводящей сферой радиусом R. Сфера заряжена до потенциала φ0 (относительно земли). Чему станет равен потенциал внешней сферы, если незаряженный шар заземлить (рис. 1.94)?
Решение. До заземления заряд внешней сферы q создает на ее поверхности потенциал 1 (см. рис. 1.94), который можно найти из условия, что потенциал заземленного шара равен нулю.
Согласно принципу суперпозиции полей потенциал шара равен:
Потенциал на внешней сфере после заземления шара создается зарядами q и q1:
Задача 6
Положительный заряд +q0 равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом R. В центре кольца находится точечный заряд -q, масса которого m. Этому заряду сообщается начальная скорость Решение. Полная энергия заряда в начальный момент равна сумме кинетической энергии 0q, гдеПри W ≥ 0 заряд уйдет на бесконечность. Причем его скорость на бесконечно большом расстоянии будет равна нулю, если W = 0. Если W > 0, скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от кольца равна:
Задача 7
Уединенный металлический шар радиусом R = 10 см окружен диэлектриком (ε = 2). Диэлектрик образует сферический слой с радиусами R1 = 10 см и R2 = 20 см. Найдите потенциал шара, если его заряд q = 10 -18 Кл.
Решение. Диэлектрик, окружающий шар, под действием поля шара поляризуется. В результате на внутренней поверхности диэлектрика появляется поляризационный заряд -q', знак которого противоположен знаку заряда шара q, а на внешней поверхности диэлектрика — поляризационный заряд q', одинаковый по знаку с зарядом q. Следовательно, потенциал шара, согласно принципу суперпозиции, равен сумме потенциалов полей, образуемых зарядами q, -q’ и q':
Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Потенциал. Проводник в электростатическом поле , страница 5
После введения диэлектрика разность потенциалов между обкладками найдем как:
На границе раздела воздуха и диэлектрика свободных зарядов нет, и в данном случае вектор D перпендикулярен границе раздела, поэтому вследствие граничных условий (): D2 = D1.
Перепишем это через напряженности E1 и E2 с учетом диэлектрической проницаемости сред:
Учитывая это, перепишем соотношение (*):
Задача №2
Найти энергию взаимодействия заряженного отрезка длиной l = 1.7 см и точечного заряда q = 3 мкКл, расположенного на продолжении этого отрезка на расстоянии а = 1 см от ближайшего конца. Линейная плотность заряда на отрезке t = 1 мКл/м.
Энергию взаимодействия данной системы проще всего посчитать как энергию заряда q, помещенного в определенную точку поля, создаваемого заряженным отрезком: .
Потенциал поля, создаваемого элементарными зарядами dq, выделенными на отрезке, найдется как сумма:
Задача №3
Металлический шар радиуса R несет заряд q. Шар окружен слоем диэлектрика толщиной d. Определить энергию электрического поля в слое диэлектрика и собственную энергию проводника.
Найдем поле, создаваемое заряженным шаром. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D:
Из очевидной симметрии задачи в качестве замкнутой поверхности выберем сферу радиуса r, концентрическую с данным шаром.
Учитывая связь между векторами D иE, получим:
Тогда энергию поля, заключенного в слое диэлектрика, найдем по формуле:
В качестве элементарного объема dV следует выбрать узкий сферический слой радиуса r и толщины dr, где объемная плотность энергии почти не меняется: .
Собственную энергию проводника можно вычислить как энергию создаваемого им электрического поля, учитывая вычисленные значения напряженности в различных областях пространства:
Второй интеграл был только что посчитан.
Задача №4
Сфера радиуса R1 заряжена равномерно с зарядом q. Найти работу, совершенную электрическими силами, при увеличении радиуса сферы до R2.
Работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы: .
Поле сферы внутри нее равно 0, а снаружи совпадает с полем точечного заряда, которым заряжена сфера, расположенным в центре этой сферы: .
Поэтому поле в области пространства, где r > R2, одинаково до увеличения радиуса сферы и после него. Поэтому и энергия в этой области пространства не изменяется. Изменение энергии происходит в области, где R1 r R2, т.к. после увеличения радиуса сферы до R2 напряженность поля, а вместе с ней и энергия поля, здесь становятся равными нулю. Поэтому:
, где в качестве элементарного объема выбран узкий сферический слой из соображений симметрии задачи.
Задача №5
Внутри плоского конденсатора находится параллельная пластинка, толщина которой составляет h части зазора между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствии пластинки С. Конденсатор с пластиной зарядили до напряжения U, затем отключили от источника и после этого медленно извлекли пластинку из зазора. Найти работу, затраченную на извлечение пластинки, если диэлектрическая постоянная ее материала e.
Работа по извлечению пластинки производилась против сил поля, поэтому:
W1 – энергия конденсатора с пластинкой,
W2 – энергия конденсатора без пластинки.
Емкость воздушного плоского конденсатора .
Емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой найдем как общую емкость двух последовательно соединенных конденсаторов:
Примеры решения задач
На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой действует на него пластина?
Решение. Под влиянием заряда +q на пластине появляются наведенные отрицательные заряды. Они распределяются по поверхности пластины таким образом, что результирующая напряженность электрического поля, созданного этими зарядами и зарядом +q, внутри пластины равна нулю (индуцированные положительные заряды уходят на удаленные края пластины, и их влиянием можно пренебречь). Поскольку плас тина большая, модуль суммарного наведенного заряда равен q.
Справа от пластины (рис. 1.67) электрическое поле создается точечным зарядом + q и распределенным по поверхности пластины наведенным отрицательным зарядом -q. Слева электрическое поле отсутствует (эффект электростатической защиты).
Представим себе, что мы поместили слева от пластины на расстоянии d точечный отрицательный заряд —q (заряд-изображение). Он наведет на левой поверхности пластины положительные заряды, которые распределятся по ней точно так же, как отрицательные заряды на правой поверхности. При этом электрическое поле справа от пластины не изменится (опять действует электростатическая защита).
Можно сказать, что справа от пластины поле создается двумя точечными зарядами +д и —q и зарядами (отрицательными и положительными), индуцированными на обеих сторонах пластины. (Ведь суммарная напряженность электрического поля от точечного отрицательного заряда и наведенных положительных зарядов справа от пластины равна нулю.) Если пластина тонкая (ее толщина мала по сравнению с расстоянием d), то напряженность поля наведенных зарядов вне пластины равна нулю.
Таким образом, оказывается, что справа от пластины электрическое поле, создаваемое зарядом +q и наведенными отрицательными зарядами, совпадает с полем, созданным двумя точечными зарядами +q и -q, находящимися на расстоянии 2d друг от друга (рис. 1.68). Это означает, что напряженность поля индуцированных зарядов в точке, где находится заряд +q, равна напряженности поля точечного заряда -q. Тогда для искомой силы притяжения получим:
Задача 5
Найдите напряженность электрического поля вблизи участка поверхности проводника с известной поверхностной плотностью электрического заряда σ.
Решение. Очень близко к заряженной поверхности напряженность электрического поля (в СИ) определяется по формуле (ε = 1)
так как очень малый участок поверхности АВ (рис. 1.69) можно считать плоским, и вблизи этого участка справедлива формула (1.12.5) для напряженности поля равномерно заряженной плоскости. Это поле создается по обе стороны заряженной поверхности: 1 = - 1. Кроме того, вблизи данного элемента поверхности зарядами, расположенными на всей остальной поверхности проводника, создается поле напряженностью 2. Так как поле является непрерывным, то 2 = 2. Внутри проводника поле отсутствует, т. е. 2 = 0. Значит, 1 = - 1 = 2. Поэтому искомая напряженность
Задача 6
Внутри заряженного шара с постоянной объемной плотностью электрического заряда ρ имеется сферическая полость. Расстояние между центрами шара и полости равно а. Найдите напряженность 
Решение. Заряженный шар с полостью эквивалентен шару, равномерно заряженному по всему объему, внутри которого имеется сфера с зарядом противоположного знака и той же по модулю объемной плотностью заряда ρ. Тогда суммарный заряд этой части шара равен нулю, что соответствует наличию полости в шаре.
Напряженность поля в произвольной точке А полости равна векторной сумме напряженностей поля, созданного сплошным заряженным шаром, и поля, созданного шаром, занимающим сферическую полость (рис. 1.70):
Как видно из полученного результата, напряженность поля в полости не зависит от положения выбранной точки А. Она во всех точках одинакова и направлена параллельно прямой, соединяющей центр шара и центр полости; поле однородно.
Задача 7
Металлический шар радиусом R, имеющий заряд q, находится внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Определите поляризационный заряд, возникающий в диэлектрике у поверхности заряженного шара, и поверхностную плотность поляризационного заряда.
Решение. Если бы вокруг шара не было диэлектрика, то он создавал бы в окружающем пространстве поле с напряженностью
При наличии диэлектрика возникает поле с напряженностью
очевидно, равна напряженности поля, которое создает поверхностный поляризационный заряд q', появляющийся возле заряженного шара (рис. 1.71). Заряд q' противоположен по знаку заряду q. Так как поляризационный заряд распределен равномерно по поверхности сферы, то
Сопоставляя выражения (1.16.5) и (1.16.6) для Е, найдем:
Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна
где σ — поверхностная плотность заряда q на шаре.
Задача 8
Найдите напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ.
Решение. Проще всего решить задачу с помощью теоремы Гаусса.
Вычислим поток напряженности через цилиндр, ось которого совпадает с заряженной нитью (рис. 1.72). Радиус цилиндра r, атего высота l. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженностиМеталлический шар радиусом r имеет заряд q
Тип 15 № 16857На уединённой неподвижной проводящей сфере радиусом R находится положительный заряд Q. Сфера находится в вакууме. Напряжённость электростатического поля сферы в точке A равна 36 В/м. Все расстояния указаны на рисунке. Выберите все верные утверждения, описывающих данную ситуацию.
1) Потенциал электростатического поля в точке A выше, чем в точке F:
2) Потенциал электростатического поля в точках B и D одинаков:
3) Потенциал электростатического поля в точках A и B одинаков:
4) Напряжённость электростатического поля в точке C EC = 9 В/м.
5) Напряжённость электростатического поля в точке B EB = 0.
Для точечного заряда и поля снаружи заряженной сферы верны формулы: где Q — величина точечного заряда или заряда сферы, r — расстояние до точечного заряда или центра сферы. Потенциал на границе сферы равен потенциалу любой точки внутри сферы. Напряжённость поля внутри сферы равна нулю.
Рассмотрим предложенные утверждения.
1) Расстояние от точки A до центра сферы больше, чем расстояние от центра сферы до точки F, следовательно, потенциал в точке F больше потенциала в точке A. Утверждение 1 неверно.
2) Как известно из сказанного выше, потенциал внутри сферы равен потенциалу на границе сферы. Утверждение 2 верно.
3) Потенциал в точке B равен потенциалу на поверхности сферы, расстояние от точки A, до центра сферы больше радиуса сферы, следовательно, потенциал в точке A меньше потенциала в точке B. Утверждение 3 неверно.
4) Заметим, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы, следовательно, напряжённости поля в этих точках равны и равны 36 В/м. Утверждение 4 неверно.
5) Как известно из сказанного выше, напряжённость поля внутри сферы равна нулю. Утверждение 5 верно.
Тип 15 № 17661На уединённой неподвижной проводящей сфере радиусом R находится положительный заряд Q. Сфера находится в вакууме. Напряжённость электростатического поля сферы в точке A равна 36 В/м. Все расстояния указаны на рисунке. Выберите все верные утверждения, описывающих данную ситуацию.
1) Потенциал электростатического поля в точке C выше, чем в точке D:
2) Напряжённость электростатического поля в точке C EC = 36 В/м.
3) Напряжённость электростатического поля в точке B EB = 576 В/м.
4) Потенциал электростатического поля в точках B и C одинаков:
5) Потенциал электростатического поля в точках F и D одинаков:
Для точечного заряда и поля снаружи заряженной сферы верны формула: где Q — величина точечного заряда или заряда сферы, r — расстояние до точечного заряда или центра сферы. Потенциал на границе сферы равен потенциалу любой точки внутри сферы. Напряжённость поля внутри сферы равна нулю.
Рассмотрим предложенные утверждения.
1) Расстояние от точки C до центра сферы больше, чем расстояние от центра сферы до точки D, следовательно, потенциал в точке D больше потенциала в точке C. Утверждение 1 неверно.
2) Заметим, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы, следовательно, напряжённости поля в этих точках равны и равны 36 В/м. Утверждение 2 верно.
3) Как известно из сказанного выше, напряжённость поля внутри сферы равна нулю. Утверждение 3 неверно.
4) Потенциал в точке B равен потенциалу на поверхности сферы, расстояние от точки С до центра сферы больше радиуса сферы, следовательно, потенциал в точке С меньше потенциала в точке B. Утверждение 4 неверно.
5) Заметим, что точки F и D находятся на границе сферы, следовательно, потенциалы поля в этих точках равны. Утверждение 5 верно.
Читайте также: