По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии h от нее

Обновлено: 02.07.2024

5.1. Вблизи незаряженного металлического шара находится положительный точечный заряд q. Через какие замкнутые поверхности (одну или несколько, см. рис.) поток вектора напряженности равен нулю?

5.2. q расположен внутри полости в проводнике (см. рис.), то заряд на внутренней поверхности S полости:

А)	равен нулю;
Б)	равен –q;
В)	зависит от положения заряда q и формы полости.

5.3. В однородное электрическое поле перпендикулярно силовым линиям внесли тонкую заряженную металлическую пластину. При этом на поверхности пластины, в которую «входят» силовые линии, плотность заряда оказалась равной s, а на противоположной поверхности пластины 3s. Определите величину напряженности

5.4. S каждая расположены параллельно друг другу на малом расстоянии друг от друга (как в плоском конденсаторе). Заряд одной из пластин равен q. Найдите поверхностные плотности заряда на внутренней и внешней сторонах другой пластины, если ее заряд Q равен

а)

б)

–q;

в)

г)

2q.

5.5. Точечный заряд q находится в центре проводящего шарового слоя, внутренний и внешний радиусы которого r и R, а полный заряд q. Найдите поверхностную плотность заряда s на внешней поверхности слоя.

5.6. Во сколько раз увеличится сила электрического взаимодействия между неподвижным незаряженным проводником и расположенным вблизи него точечным зарядом, если величину этого заряда увеличить в 2 раза?

Потенциал во всех точках проводника одинаков

5.7. Два металлических шарика радиусами r и 2r расположены на большом расстоянии друг от друга. Заряд шара меньшего радиуса равен q, заряд другого шара (–2q). Определите заряды шаров после их соединения тонкой проволочкой.

5.8. Два металлических шарика радиусами r и 2r расположены на большом расстоянии друг от друга и соединены тонкой проволочкой. Суммарный заряд шариков Q. Определите отношение зарядов шариков и поверхностных плотностей зарядов.

5.9. Проводящей сфере радиуса R сообщили заряд q. На каком расстоянии l от центра сферы нужно поместить точечный заряд –2q, чтобы потенциал сферы стал равным нулю?

5.10. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер. На внутренней сфере радиуса a находится положительный заряд q₁. Какой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиуса b, чтобы потенциал внутренней сферы стал j = 0?

Метод электростатических изображений

5.11. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Определите поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

5.12. Точечные заряды q и Q, расположены на расстоянии 2l друг от друга и на одинаковом расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости с одной стороны от нее. Определите поверхностную плотность индуцированных зарядов в точке, расположенной на плоскости на минимальном расстоянии от заряда q.

5.13. Точечный заряд q = 10 нКл находится на расстоянии l = 1 см от проводящей плоскости. Какую работу следует совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между зарядом и плоскостью в n раз?

Ответы

5.1. Ответ: Б, В. Шар в целом электронейтрален. Поэтому поток вектора напряженности через поверхность Б равен нулю. Равен нулю также поток через поверхность В, так как индуцированный заряд располагается на поверхности проводника.

5.2. Ответ: Б. Поток вектора напряженности через воображаемую замкнутую поверхность, которая целиком находится в проводнике и охватывает полость, равен нулю, поскольку напряженность поля в проводнике равна нулю. По теореме Гаусса этот поток равен на внутренней поверхности полости равен –q.

5.3.

5.4. a) , б) ,

в) , г) .

5.5. 5.6. Ответ: в 4 раза. Напряженность поля в любой точке A внутри проводника равна нулю: - напряженность поля заряда q в точке A, A, q увеличить в 2 раза, то поле A внутри проводника останется равным нулю, если заряд каждой малой площадки поверхности проводника увеличится в 2 раза. Сила взаимодействия между зарядом q и каждым из зарядом

1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (Савченко 2008 Задачи по физике), страница 36

PDF-файл из архива "Савченко 2008 Задачи по физике", который расположен в категории " ". Всё это находится в предмете "механика и теория относительности" из раздела "", которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 36 страницы из PDF

Определите разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2, если известно, что электрон, двигаясь в этом электрическом поле вотсутствие других сил, в точке 1 имел скорость 109 см/с, а в точке 2 — скорость2 · 109 см/с. Чему была бы равна скорость электрона в точке 2, если бы в точке 1электрон имел нулевую скорость?156б. В электронной лампе электроны «ускоряются разностью потенциалов » 220 В. Чему равна скорость электронов при попадании их на анод?6.3.3. Заряд 0,1 Кл удален от заряда 0,2 Кл на расстояние 20 м. Чему равенпотенциал поля в середине отрезка, соединяющего заряды?6.3.4. В вершинах квадрата со стороной l находятся четыре заряда q. Чемуравен потенциал поля в центре квадрата?♦ 6.3.5.

Заряды 10−9 Кл каждый находятся в углах квадрата со стороной 10 см. Найдите разность потенциалов в полеэтих зарядов между центром квадрата (1) и серединой однойиз сторон квадрата (2).6.3.6. Заряды 100, 10, 1, −10, −1, −10 СГС находятсяв вершинах правильного шестиугольника со стороной 2 см.Чему равен потенциал поля в центре шестиугольника в СИи СГС?6.3.7. Сфера радиуса R имеет заряд Q. Чему равен потенциал поля в центресферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере?Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда посфере?6.3.8. Почему электрическое поле внутри проводника равно нулю? Почемуэлектрическое поле на поверхности проводника перпендикулярно к ней? Достаточно ли этих условий, чтобы потенциал в любой точке проводника был одинаков?6.3.9.

Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотностьзаряда проводника σ связана с напряженностью электрического поля E вне проводника вблизи его поверхности соотношением E = σ/ε0 .6.3.10. а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи6.1.20а перпендикулярно его поверхности.б.

Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полныйзаряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнегоэлектрического поля вблизи поверхности эллипсоида.♦ в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малойполуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ.♦ 6.3.11.

Две бесконечные проводящие изолированные плиты заряжены так,что суммарная поверхностная плотность заряда обеих сторон первой плиты равна σ1 , а второй σ2 . Плиты параллельны друг другу. Найдите поверхностнуюплотность заряда на каждой стороне плит.6.3.12. а. Две параллельные разноименно заряженные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии 1 см, много меньшем размеровпластин. Поверхностная плотность заряда пластин ±3 СГС/см2 .

Определите разность потенциалов между пластинами в СГС и СИ.б. Две параллельные разноименно заряженные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии 5 см, много меньшем размеров пластин.157Поверхностная плотность заряда пластин ±10−10 Кл/см2 . Определите разностьпотенциалов между пластинами в СГС и СИ.6.3.13. Чему равна разность потенциалов между крайними пластинами всистеме, состоящей из трех параллельных бесконечных пластин, заряженных одноименными зарядами с поверхностной плотностью заряда σ1 , σ2 , σ3 ? Средняяпластина находится на расстоянии h1 от первой и на расстоянии h2 от третьейпластины.6.3.14. Найдите напряженность электрического поля между тремя пластинами в случае, если средняя пластина заземлена.

Расстояния между средней пластиной и крайними a и b. Потенциал крайних пластин ϕ.♦ 6.3.15. а. Между двумя заземленными металлическими пластинами находится одинаковаяс ним по размерам тонкая пленка с поверхностнойплотностью заряда σ. Расстояние от нее до верхней пластины a, до нижней b (a и b много меньшелинейных размеров пластин).

Найдите напряженность электрического поля вблизи верхней и нижней пластин. Определите поверхностную плотность заряда, индуцируемого на них.б∗ . Между заземленными параллельными пластинами на расстоянии a и bот них находится заряд q. Линейные размеры пластин много больше расстояниямежду ними. Докажите, что заряды, индуцируемые на заземленных пластинах,не изменятся, если заряд q распределить по плоскости, лежащей между пластинами на том же расстоянии, что и заряд q. Определите заряд пластин.♦ 6.3.16. В полости металлического шара радиуса R находится заряд Q.

Найдите заряд, индуцируемый этим зарядом на поверхности полости. Почему наповерхности шара заряд будет распределен с постоянной плотностью? Чему равна поверхностная плотность заряда шара, если его полный заряд равен нулю?Найдите напряженность электрического поля вне шара на расстоянии L от егоцентра в случае, если его полный заряд равен q. Зависит ли это поле от месторасположения полости в шаре? от ее формы?♦ 6.3.17∗ .

Внутри полости длинного незаряженного проводника, радиус которого r, находится заряд q. Проводник окружен цилиндрическим экраном радиуса R. Длина проводника L R. Как зависит в средней части системы напряженность электрического поля вне полости от расстояния до оси этой системы?6.3.18. В однородном электрическом поле находится проводник, суммарныйзаряд которого равен нулю. Изменится ли поверхностная плотность заряда, есливсе размеры проводника уменьшить в n раз?♦ 6.3.19.

Металлический шар радиуса 10 см помещен внутрь сферической металлической оболочки, имеющей внешний радиус 30 см и толщину 10 см, так,что их центры совпадают. На шаре находится заряд 10−5 Кл, на оболочке — заряд 8 · 10−5 Кл. Постройте график зависимости потенциала электрического поляот расстояния до центра шара.1586.3.20. Три проводящие концентрические сферы радиуса r, 2r и 3r имеютзаряд соответственно q, 2q и −3q. Определите потенциал на каждой сфере.6.3.21. Потенциал внутренней сферы радиуса r равен нулю (сфера заземлена). Потенциал внешней сферы радиуса 2r равен ϕ. Определите заряд сфер.Центры сфер совпадают.6.3.22. Металлический шар радиуса R1 , заряженный до потенциала ϕ, окружают концентрической проводящей незаряженной оболочкой радиуса R2 . Чемустанет равен потенциал шара, если заземлить оболочку? соединить шар с оболочкой проводником?♦ 6.3.23.

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса R1 и внешней радиуса R2 . Внутренняя сфера имеет заряд q, авнешняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля взависимости от расстояния до центра сфер.6.3.24. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса R1 и внешней радиуса R2 . Внешняя сфера имеет заряд q, а внутренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля взависимости от расстояния до центра сфер.6.3.25. Равномерно заряженный шар радиуса R имеет объемную плотностьзаряда ρ.

Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра.6.3.26. Чему равна разность потенциалов между центром и поверхностьюравномерно заряженного шара радиуса R, имеющего объемную плотность заряда ρ? Между осью и поверхностью равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, имеющего объемную плотность заряда ρ? Между поверхностьюравномерно заряженной пластины толщины h, имеющей объемную плотность заряда ρ, и серединой пластины?6.3.27. Бесконечный заряженный цилиндр радиуса r имеет объемную плотность заряда ρ и окружен соосной с ним заземленной цилиндрической металлической поверхностью радиуса R.

Найдите зависимость потенциала поля этойсистемы от расстояния до оси цилиндра.6.3.28. Точечный заряд Q находится на расстоянии h от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости?6.3.29. По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии h от нее находятся два одинаковых заряда Q. Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними 2h.♦ 6.3.30. Две бесконечные проводящие плоскости, пересекаясь под прямым углом, делят пространство на четыре области.

В области I находится заряд q наодинаковом расстоянии l от обеих плоскостей. Есть ли электрическое поле в областях II–IV? Какая сила действует на заряд q?6.3.31∗ . Точечный заряд q находится на расстоянии L от центра изолированного металлического шара радиуса R < L. Полный заряд шара равен нулю.Чему равен потенциал шара?159♦ 6.3.32∗ .

Однородно заряженный положительным зарядом обруч опирается начетыре ролика и может вращаться. Один участок обруча проходит через отверстие, сделанное в параллельных разноименно заряженных пластинах. По мыслиизобретателя, участок обруча, находящийся между пластинами, будет притягиваться к отрицательной пластине и отталкиваться от положительной. Вне пластин поля нет. Таким образом, будет поддерживаться вращение обруча дажепри наличии сопротивления движению — получается вечный двигатель. В чемошибка изобретателя? Докажите, что момент сил, действующий на такой обручв любом электростатическом поле, равен нулю.♦ 6.3.35. Из капельницы 1 в полый изолированный металлический шар 2 радиуса R падают капли воды, каждой из которых сообщают заряд q.

Какой должнабыть наименьшая высота падения капель для того, чтобы шар заполнился водой?Радиус капли r R.♦ 6.3.36. С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можнозарядить до заряда Q. Затем, через соприкосновение с металлическим же шариком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении нашарик 2 перешел заряд q. Определите, до какого заряда, многократно повторяяпроцесс, можно зарядить шарик 2.6.3.37. Как, имея металлический шарик с зарядом Q, зарядить другой проводник зарядом, бо́льшим Q?1606.3.38. Известно, что вблизи поверхности Земли существует электростатическое поле напряженности порядка 100 В/м.

Точечный заряд и проводящая плоскость

Пусть точечный заряд +q находится на расстоянии a от бесконечной проводящей, например, металлической плоскости с нулевым потенциалом (рис. 1). Какая сила действует на него?

По индукции заряд +q будет наводить заряд противоположного знака на поверхности. Заряды, создающие у поверхности отрицательный заряд - это свободные заряды (в металлах - электроны), притянутые положительным зарядом с каких-то далеких областей плоскости, либо, пришедшие из земли, если поверхность заземлена. Суммарный индуцированный заряд равен -q и будет каким-то образом распределен по поверхности.

На точечный заряд +q cо стороны поверхности действует сила притяжения к поверхности (так как наведенные заряды отрицательны). Величина силы притяжения не равна kq 2 /a 2 , поскольку отрицательный заряд не сосредоточен в одной точке, а распределен по плоскости. Поэтому значение силы меньше, чем величина kq 2 /a 2 . Здесь k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерений физических величин, в СИ k = 9·10 9 Н м 2 /Кл 2 .

Нарисуем картину силовых линий электростатического поля заряда +q и поверхности с наведенным на ней зарядом -q. Поверхность проводника эквипотенциальна, что означает, что все точки этой поверхности имеют равный потенциал (в нашем случае потенциал поверхности равен нулю). Силовые линии поля перпендикулярны поверхности (cоставляющая электрического поля, параллельная поверхности, вызовет движение зарядов в проводнике, которое прекратится лишь тогда, когда эта составляющая поля в проводнике будет полностью скомпенсирована полем, создаваемым индуцированными зарядами). Вблизи точечного заряда картина силовых линий близка к той, которую мы имеем для одиночного заряда. Силовые линии начинаются на заряде +q, поскольку он положительный. Таким образом имеем картину силовых линий, которая изображена на рис. 2.

Здесь пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности, они перпендикулярны силовым линиям в точке пересечения.

Картина силовых линий двух одинаковых по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на расстоянии 2а (рис. 3).

В случае двух точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей - плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему заряды и делящая его пополам, то есть она расположена там же, где металлическая плоскость. Потенциал любой точки этой плоскости равен нулю. В обоих случаях поле вблизи заряда +q одно и то же. А поскольку поле одно и то же, то и силы, действующие на заряд +q в обоих случаях одинаковы. Таким образом, искомая сила равна F = k q 2 / 4a 2 .

Вернемся теперь к рис. 2 и 3 и предположим, что все полупространство ниже проводящей плоскости занято проводником. В области вне проводника, где находится заряд +q ничего не изменилось, электростатическое поле там осталось таким же, что и раньше. Причем здесь поле заряда +q и проводника совпадает с полем системы заряда +q и заряда-изображения -q. А в той области пространства, где находится проводник в том случае, если мы рассматриваем задачу со сплошным проводником и зарядом, поле равно нулю, а в задаче с зарядом и его изображением поле нулю не равно. Но нас интересует только та область, где поля совпадают, так как мы хотим поле определить именно там. Предположим теперь, что мы изготовили очень тонкую поверхность из металла так, что ее форма в точности совпадает с формой какой-либо эквипотенциальной поверхности, например MN (рис. 4).

Если теперь эту металлическую поверхность поместить на место эквипотенциальной и создать на ней нужный потенциал, то опять же ничего не изменится. Точечный заряд находится точно в таком же поле, что и раньше, на него действует точно такая же сила, что и без изогнутого проводника. Но теперь мы имеем уже новую задачу - не о двух точечных зарядах, а о заряде и металлической поверхности заданного потенциала. Эта поверхность должна быть замкнутой. Внутри нее поле равно нулю, а вне такое же, как у системы двух точечных зарядов. Даже если внутреннее пространство поверхности мы заполним проводником, не меняя при этом ее потенциал, то поле вне проводника снова останется прежним.

Пункт 5.2 Метод электростатических изображений.

Т +q находится на расстоянии h от плоской поверхности незаряженного полубесконечного проводника (одно полупространство занимает проводник, в другом находится вакуум и точечный заряд). Нужно найти , индуцированного на проводнике.r – расстояние от основания перпендикуляра , опущенного на плоскость из зарядаq, до точки, в которой определяем .

Вообще вся поверхность проводника будет заряжена отрицательно, т.к. наш точечный заряд заряжен положительно. Возникнет некая функция распределения . Вблизи поверхности проводника выделим две позиции:А и В, и будем рассматривать поле в этих точках.

Поле будет создаваться как точечным зарядом+q, так и зарядами, индуцированными на поверхности проводника. Поле в точке А, как было установлено ранее, будет направлено к поверхности проводника (она заряжена отрицательно). Рассмотрим составляющие этого поля и .Как направлено мы знаем, очевидно, будет направлено так, чтобы в сумме с давать . Аналогичные рассуждения проделываем для точкиB, учитывая, что полное поле в этой точке = 0 и то, что .Тогда мы можем найти поле, созданное в точке наблюдения только электронами, находящимися на поверхности проводника.

Введем угол

Поскольку – поле созданное точечным источником на известном расстоянии, то мы можем записать

. Если мы полученные выражения подставим в первое, то

- вот такой вид имеет поле в точке, напомним, что поле в точкеравно нулю.

Теперь для того, чтобы найти поверхностную плотность заряда в том месте, где расположены точки и, мы можем рассмотреть гауссову поверхность (см. рисунок). Цилиндрик этот достаточно мало протяженный по горизонту, так, чтобы почувствовать локальную плотность зарядов. А верхняя и нижняя крышка должны быть тоже очень близко к той поверхности, которую мы рассматриваем, в соответствии с теми позициями, которые были приняты при нахождении полей.

Теорема Гаусса, записываемая для этого цилиндрика, с учетом того, что в нее входит внешняя нормаль, а поле в точке направлено вниз, на боковых гранях потоки равны нулю, на дне тоже, потому что там поля нет, так что ненулевой поток будет даваться только потоком через крышку. Поэтому теорема Гаусса, если мы площадь поверхности верхней крышки обозначим буквой, будет записана в виде:

после сокращения окончательно мы получаем:

Теперь решим еще одну задачу в рамках этого же примера.

Найдем величину со стороны заряда, индуцированного на поверхности.

Понятно, что сила, которую мы ищем, может быть найдена как произведение модуля заряда на напряженность поля отрицательно заряженной плоскости:

Что касается поля , то его можно найти, так как закон, распределения заряда по поверхности проводника нам известен. Видно, что эта функция обладает осевой симметрией, то есть, во всех точках, удаленных от основания перпендикуляра на равное расстояние

Здесь мы просто обратимся к задаче, которая уже решалась:

- вот такая формула для поля, созданного кольцом.

-площадь кольца,

После интегрирования по всей поверхности получим:

Если посмотреть на эту формулу, то нетрудно увидеть, что точно по такой же формуле вычисляется сила взаимодействия двух точечных зарядов , удаленных друг от друга на расстояние.

На рисунке приближенно изображены силовые линии нашего заряда в оригинале и с использованием метода изображений. Обратим внимание, что в верхней половине картинки совпадают, а нижние, конечно же, нет.

В заключение можно написать следующие слова: замена реальных индуцированных зарядов, распределенных с поверхностной плотностью зарядом-изображением, сохраняет конфигурацию поля в области, где расположен заряд. В этом состоит суть метода электростатических изображений. То есть, в том, чтобы заменить реальное довольно сложное расположение зарядов на придуманное, но такое, чтобы поле в области получилось точно такое же, как в исходной задаче.

Метод – это все-таки последовательность действий, с помощью которой можно решить несколько задач, так что то, что мы тут разобрали, сложно охарактеризовать как метод ввиду малости количества решенных задач.

5. Проводники в электростатическом поле

В однородное электрическое поле перпендикулярно силовым линиям внесли тонкую заряженную металлическую пластину. При этом на поверхности пластины, в которую «входят» силовые линии, плотность заряда оказалась равной ₁. Найдите поверхностную плотность заряда на другой поверхности пластины.

Рассмотрим произвольную точку A внутри проводника (рис. 1). Поле в этой точке складывается из внешнего поля и полей поверхностных зарядов ₁ и ₂:

Изобразим на рисунке векторы напряженности , и , предполагая, что и Учитывая, что напряженность поля в проводнике равна нулю, запишем для проекций векторов напряженности на ось x:

Поля и созданы бесконечными однородно заряженными плоскостями, следовательно

, .

После простых преобразований получим

Если знак поверхностных зарядов не известен (как в данном случае), всегда можно изображать на рисунке векторы , , предполагая, что ₁ и ₂ положительны. Нетрудно показать, что полученные формулы будут справедливы и для произвольных знаков ₁ и ₂.

Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы r₁, r₂ и заряды q, –2q. Найдите поверхностные плотности заряда ____на внутренней и внешней поверхностях каждой сферы (рис. 2).

Внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю. Рассмотрим некоторую точку, расположенную внутри «стенки» внешней сферы на расстоянии r от центра сфер. Электрическое поле в этой точке создают только те заряды, которые расположены внутри сферической поверхности радиуса r, то есть заряды с плотностями ₁, ₂ и ₃. Следовательно:

где , - площади поверхности сфер. Аналогично, рассматривая точку, расположенную внутри «стенки» внутренней сферы, получим

Учтем также, что

В результате получим: , , .

Два металлических шара, радиусы которых r₁ и r₂, расположены на большом расстоянии друг от друга и соединены тонкой проволокой. Суммарный заряд шаров Q. Определите заряд каждого шара.

Обозначим заряды шаров q₁ и q₂. Поскольку шары расположены далеко друг от друга, можно считать, что заряды распределены по поверхностям шаров однородно. Тогда для потенциалов шаров можно записать

Эти потенциалы равны друг другу, так как шары соединены проводником:

Имеются две концентрические металлические сферы, в центре которых находится точечный заряд q. Заряд меньшей сферы 3q, заряд больше сферы (–2q). Определите заряд каждой сферы после того, как их соединят тонкой проволокой.

После соединения сфер заряды распределятся так, что потенциалы сфер будут одинаковыми:

где Q₁ и R₁ – заряд и радиус внутренней сферы, Q₂ и R₂ – заряд и радиус внешней сферы. Из этого уравнения следует . Суммарный заряд сфер после их соединения не изменился:

Следовательно, .

Найдите потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l от ее центра находится точечный заряд q . Потенциал в бесконечно удаленной точке, как обычно, считайте равным нулю.

На поверхности проводящей сферы индуцируются заряды , распределенные по поверхности так, что напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю. При этом потенциалы во всех точках, расположенных внутри и на поверхности проводящей сферы, одинаковые. Найдем потенциал в центре сферы:

где R – радиус сферы. Суммарный заряд сферы равен нулю: , поэтому .

Метод электростатических изображений

Точечные заряды q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга и на одинаковом расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости с одной стороны от нее. Определите поверхностную плотность индуцированных зарядов в точке на плоскости, расположенной на минимальном расстоянии от заряда q.

На рис. 3 для удобства дальнейших объяснений заряды снабдим индексами. Модули всех зарядов равны q. Заряды q₁ и (–q₂) – это исходные заряды q и –q, расположенные вблизи проводящей плоскости. Заряд (–q₃) – «изображение» заряда q₁. Этот фиктивный заряд создает в верхнем полупространстве такое же поле, что и заряды, индуцированные на плоскости зарядом q₁. Аналогично заряд q₄ – это «изображение» заряда (–q₂).

Заряды q₁ и –q₃ создают в интересующей нас точке поля

а заряды (–q₂) и q₄ создают в этой точке поля

Результирующее поле перпендикулярно проводящей плоскости, а его модуль равен

Поверхностную плотность индуцированных зарядов найдем при помощи формулы :

Читайте также: