Расчет на смятие металла

Обновлено: 19.05.2024

Товарищи машиностроители, вам такой расчёт наверное более очевиден, чем строителям, подскажите.

Имеется стальной лист толщиной 23 мм [абстрактное упрощение] условно бесконечной длины, лежащий на двух таких же бесконечно длинных опорах. Расстояние между опорами 300 мм.
В листе отверстие д=60 мм
В отверстие вставлен болт М56 [абстрактное упрощение], на котором имеется нагрузка 50 т
Болт подвижен в плоскости перпендикулярной листу (отклонения возможны в пределах +-2 градуса)
Чтобы болт нормально вращался в узле контакта с листовой деталью под его головкой ставится квадратная цилиндрическая подкладка толщиной 50 мм, шириной 180 мм и с радиусом кривизны цилиндрической поверхности 460 мм.

А теперь вопрос (вернее 2):
1. Как определить, достаточно ли данной цилиндрической прокладки, чтобы она не продавила/прорвала листовую деталь?
2. Если (вдруг!) данной подкладки не достаточно, то как посчитать, какой толщины/ширины нужно всунуть плоскую подкладку между цилиндрической подкладкой и листовой деталью?

Имеется стальной лист толщиной 23 мм [абстрактное упрощение] условно бесконечной длины, лежащий на двух таких же бесконечно длинных опорах. Расстояние между опорами 300 мм.

не совсем понятно:
- у Вас радиальное "условно бесконечное" опирание ?
или это квадратный/прямоугольный лист с опиранием по двум сторонам?

это две разные задачи с точки зрения граничных условий

----- добавлено через ~2 мин. -----

1. Как определить, достаточно ли данной цилиндрической прокладки, чтобы она не продавила/прорвала листовую деталь?

Что является критерием "достаточности"?

появление пластических деформаций?
или все же РАЗРЫВ листа?

опять же это две разные задачи с точки зрения конечной цели расчета

в общем данная задача отнюдь не экзотика. она вполне решабельна - нужно только однозначно её сформулировать

нестандартное оборудование, Пневмо-Гидро Системы

Я вижу два способа решения
1. Посчитать напряжения и прогибы МКЭ, например ,в SW Simulation
2. Посчитать вручную контактные напряжения куска сферы с плоскостью.
Прогибы листа в месте контакта и сами посчитает по Сопромату.
Откорректировать размеры после расчётов. Скорее всего менять нужно радиус сферы шайбы (прокладки), а не её толщину/диаметр

Проектирование гидротехнических сооружений

Valerym, попробую прояснить ситуацию - приложил 3д модель и скриншот, как это выглядит
Лист (жёлтый) опёрт шарнирно по его длинным сторонам. Можно считать, что лист имеет ширину 300 мм и длину 3000мм (на самом деле больше, но это, наверное, роли не играет).
Нагрузка статическая. После того, как она будет приложена, узел больше не будет двигаться.

Критериев оценки "достаточности" принятого решения как таковых нет. Усилие (50 т) должно передаваться с болта на лист (а с листа, соответственно, на его "опоры").
Прогиб листа с одной стороны не нормируется (вплоть до кривизны, повторяющей цилиндрическую поверхность подкладки) и переход металла в зону пластических деформаций - тоже допустим
С другой стороны, узел, если будет визуально "смят" - будет вызывать косые взгляды в сторону проектировщика

А вот что с листом будет?

М=PL/4=500*0.3/4=37.5 кНм
Если считать этот лист изгибаемым элементом, то
M/W < сигмы текучести
допустим, сигма = 245 МПа
Wтр > 37,5/245000 = 0,000153 м3 = 153 см3
W = b*h^2 / 6
имея толщину листа 23 мм = 2,3 см, логически приходим к тому, что для восприятия данной нагрузки нужен участок листа шириной
b = 6 * W / h^2 = 6 * 153 / 2.3^2 = 173 см

. формально - вроде всё хорошо, и никаких излишеств не требуется.

Но я, как инженер, в этом расчёте вижу корявость.
Во-первый лист не сплошной, а с отверстием в наиболее нагруженном месте
Во-вторых передача нагрузки на лист не точечная, а размазанная по пятну контакта, которое соизмеримо с "пролётом балки", т.е. этим пренебречь нельзя
В-третьих, длинный узкий лист, нагруженный в одной точке, не будет работать как балка. В данном случае он скорее мембрана.

Техническая механика

Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей.
Смятие стараются предотвратить различными способами, например, подкладывая различные шайбы и подкладки под контактирующие детали.

Для простоты расчетов напряжений, возникающих при смятии, полагают, что по плоскости контакта возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади контакта. Расчетное уравнение на смятие имеет вид:

где: F – сжимающая сила, А_см – площадь контакта, [σ_см] – допускаемое напряжение на смятие.

Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют деталь из более мягкого материала.

При контакте двух деталей цилиндрической поверхности (например, заклепочное соединение) закон распределения напряжений смятия по поверхности контакта сложнее, чем по плоскости, поэтому при расчете на смятие цилиндрических отверстий в расчетную формулу подставляют не площадь боковой поверхности полуцилиндра, по которой происходит контакт, а значительно меньшую площадь диаметрального сечения отверстия (условная площадь смятия, (см. рис. 2 ), тогда:

где d - диаметр цилиндра, δ - толщина соединяемой детали (высота цилиндра).

При различной толщине соединяемых деталей, в расчетную формулу подставляют меньшую толщину.

Допустимые напряжения на смятие для разных материалов определяются опытным путем, их значение можно найти в справочниках.
Так, для низкоуглеродистой стали допускаемое напряжение смятия принимается в пределах 100….120 МПа, для клепаных соединений: 240….320 МПа, для древесины: 2,4….11 МПа и т. д.

Контактные напряжения

Контактными называют напряжения и деформации, возникающие при сжатии тел криволинейной формы, причем первоначальный контакт может быть линейным (например, сжатие двух цилиндров с параллельными образующими), или точечным (например, сжатие двух шаров).

В результате деформации контактирующих тел начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке. Решение вопросов о контактных напряжениях и деформациях впервые дано в работах немецкого физика Г. Герца (1857-1894 г. г.).

Для деталей, в поверхностных слоях которых возникают контактные напряжения (например, подшипники качения, фрикционные катки, зубчатые колеса и т. п. ), решающую роль играет прочность рабочих поверхностей – контактная прочность .

Рассмотрим случай контакта двух цилиндров с параллельными образующими (рис 3) .
Определение контактных напряжений в этом случае производится по формуле Герца , выведенной в предположении, что материалы цилиндров подчиняются закону Гука.
Очевидно, что контактные напряжения по ширине площадки контакта неравномерны.

Максимальные напряжения σ_н определяются по формуле:

σ_н = √ пр / [2π(1 - ν 2 )ρ_пр]> , (здесь и далее √ - знак корня)

где:
q – нагрузка на единицу длины линии контакта;
Е_пр – приведенный модуль упругости, получаемый из соотношения 2/Е_пр = 1/Е₁ + 1/Е₂; (здесь 1/Е - некоторая характеристика податливости материала), откуда: Е_пр = 2 Е₁Е₂ / Е₁ + Е₂;
ν - коэффициент Пуассона;
ρ_пр – приведенный радиус кривизны цилиндров, определяемый из соотношения 1/ρ_пр = 1/R₁ + 1/R₂, (здесь 1/ρ_пр - кривизна поверхности), откуда:

При ν = 0,3 формула Герца приобретает вид:

Формула Герца широко применяется при расчетах на контактную прочность многих деталей машин и механизмов - зубчатых колес, подшипников качения и т. п.

Расчет на прочность при срезе и смятии

Элементы, которыми соединяют различные детали, например, заклепки, штифты, болты (без зазора) в основном рассчитывают на срез.

Расчет носит приближенный характер и основан на следующих допущениях:

1) в поперечных сечениях рассматриваемых элементов возникает лишь один силовой фактор – поперечная сила Q;

2) при наличии нескольких одинаковых соединительных элементов каждый из них воспринимает одинаковую долю общей нагрузки, передаваемой соединением;

3) касательные напряжения распределены по сечению равномерно.

Условие прочности выражается формулой:

Q – поперечная сила ( при нескольких i соединительных элементах при передаче силы P_ср

τ_ср – напряжение среза в плоскости рассчитываемого сечения;

[τ]_ср – допускаемое напряжение на срез.

На смятие, как правило, рассчитывают элементы, которые соединены заклепками, штифтами, болтами. Смятию подвергаются стенки отверстий в зонах установки соединительных элементов. Обычно расчет на смятие выполняют для соединений, соединительные элементы которых рассчитывают на срез.

При расчете на смятие принимают, что силы взаимодействия между соприкасающимися деталями равномерно распределены по поверхности контакта и в каждой точке нормальны к этой поверхности. Силу взаимодействия, принято называть напряжением смятия.

Расчет на прочность выполняется по формуле:

σ_см – действующее напряжение смятия;

P_см – усилие передаваемое соединением;

i – число соединительных элементов;

F_см – расчетная площадь смятия;

[σ]_см – допускаемое напряжение смятия.

Из допущения о характере распределения сил взаимодействия по поверхности контакта следует, что если контакт осуществляется по поверхности полуцилиндра, то расчетная площадь F_см равна площади проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. равна диаметру цилиндрической поверхности d на ее высоту δ:

Стержни I и II соединены штифтом III и нагружены растягивающими силами (рис. 10.4). Определить размеры d, D, d_шт, c, e конструкции, если [σ]_р = 120 МН/м 2 , [τ]_ср = 80 МН/м 2 , [σ]_см = 240 МН/м 2 .

1. Определяем диаметр штифта из условия прочности на срез:

Принимаем d = 16×10 -3 м

2. Определяем диаметр стержня I из условия прочности на растяжение (сечение стержня, ослабленное отверстием для штифта, показано на рис. 10.4б):

94,2 × 10 3 10 d 2 – 1920´10 3 d - 30 ³ 0

Решив квадратное неравенство, получим d³30,8´10 -3 м. Принимаем d = 31´10 -3 м .

3. Определим наружный диаметр стержня II из условия прочности на растяжение, сечения ослабленного отверстием для штифта (рис. 10.4в):

94,2´10 3 ´D 2 -192´10 3 ´D-61³0

Решив квадратное уравнение, получим D = 37,7´10 -3 м . Примем D = 38´10 -3 м .

4. Проверим, достаточна ли толщина стенок стержня II по условию прочности на смятие:

Так как напряжение смятия превышает допустимое напряжение на смятие, то увеличим наружный диаметр стержня так, чтобы выполнялось условие прочности на смятие:

5. Определяем размер c из условия прочности нижней части стержня II на срез:

6. Определим размер e из условия прочности верхней части стержня I на срез:

Проверить прочность заклепочного соединения (рис. 10.5а), если [τ]_ср = 100 Мн/м 2 , [σ]_см = 200 Мн/м 2 , [σ]_р = 140 Мн/м 2 .

Расчет включает проверку прочности заклепок на срез, стенок отверстий в листах и накладках на смятие, а также листов и накладок на растяжение.

Напряжения среза в заклепках определяем по формуле:

В рассматриваемом случае i = 9 (число заклепок по одну сторону от стыка), k = 2 (двухсрезные заклепки).

Подставляя числовые значения, получим:

τ_ср = 550´10 3 / (9´2´((3,14´0,02 2 ) /4)) = 97,2 Мн/м 2

Избыток прочности по срезу заклепок:

Напряжение смятия стенок отверстий определим по формуле:

В заданном соединении площадь смятия стенок отверстий соединяемых листов меньше, чем стенок отверстий в накладках. Следовательно, напряжения смятия для листов больше, чем для накладок, поэтому принимаем δ_расч = δ = 16 ´10 -3 м .

σ_см = 550´10 3 / (9´16´10 -3 ´20´10 -3 ) = 191 Мн/м 2

Избыток прочности по смятию стенок отверстий:

Для проверки прочности листов на растяжение вычислим напряжения по формуле:

N – нормальная сила в опасном сечении;

F_нетто – площадь сечения нетто, т.е. площадь поперечного сечения листа за вычетом его ослабления отверстиями для заклепок.

Для определения опасного сечения строим эпюру продольных сил для листов (рис. 10.5 г). При построении эпюры воспользуемся допущением о равномерном распределении силы между заклепками. Площади ослабленных сечений разные, поэтому не ясно, какое из них опасное. Производим проверку каждого из ослабленных сечений, которые показаны на рисунке 10.5в.

Опасным оказалось сечение I-I ; напряжение в этом сечении выше допускаемого примерно на 2%.

Проверка накладки аналогична проверки листов. Эпюра продольных сил в накладке показана на рисунке 10.5г. Очевидно, что для накладки опасным является сечение III-III, так как это сечение имеет наименьшую площадь (рис. 10.5д) и в нем возникает наибольшая продольная сила N = 0,5P.

Напряжения в опасном сечении накладки:

Напряжения в опасном сечении накладки выше допускаемого примерно на 3,5%.

Как правильно сделать расчёт на смятие или продавливание

Читайте также: