Вокруг оси проходящей через центр неподвижного металлического кольца

Обновлено: 20.09.2024

Разделы

Дополнительно

Задача по физике - 3611

Вертикально расположенный однородный стержень массы $M$ и длины $l$ может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы $m$, в результате чего стержень отклонился на угол $\alpha$. Считая $m \ll M$, найти:
а) скорость летевшей пули;
б) приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара; какова причина изменения этого импульса;
в) на какое расстояние $x$ от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.

Задача по физике - 3612

Горизонтально расположенный однородный диск массы $M$ и радиуса $R$ свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которой может скользить без трения небольшое тело массы $m$. К телу привязана легкая нить, пропущенная через полую ось диска вниз. Первоначально тело находилось на краю диска и вся система вращалась с угловой скоростью $\omega_<0>$. Затем к нижнему концу нити приложили силу $F$, с помощью которой тело медленно подтянули к оси вращения. Найти:
а) угловую скорость системы в конечном состоянии;
б) работу, которую совершила сила $F$.

Задача по физике - 3613

Человек массы $m_<1>$ стоит на краю горизонтального однородного диска массы $m_$ и радиуса $R$, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол $\phi^< \prime>$ относительно диска и остановился. В процессе движения скорость человека относительно диска зависела от времени по закону $v^ < \prime>(t)$. Пренебрегая размерами человека, найти:
а) угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека;
б) момент силы относительно оси вращения, с которой человек действовал на диск в процессе движения.

Задача по физике - 3614

Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны $I_<1>$ и $I_$, а угловые скорости — $\vec< \omega>_<1>$ и $\vec< \omega>_$. После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:
а) установившуюся угловую скорость вращения дисков;
б) работу, которую совершили при этом силы трения.

Задача по физике - 3615

На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси $OO^< \prime>$ (рис.), установлен мотор М и уравновешивающий противовес N. Момент инерции платформы с мотором и противовесом относительно этой оси равен $I$. На оси мотора укреплена легкая рамка с однородным шаром Л, который свободно вращается с угловой скоростью $\omega_<0>$ вокруг оси $BB^< \prime>$, совпадающей с осью $OO^< \prime>$. Момент инерции шара относительно оси вращения равен $I_<0>$. Найти:
а) работу, которую совершит мотор, повернув ось $BB^< \prime>$ на $90^< \circ>$; на $180^< \circ>$;
б) момент внешних сил, удерживающий ось установки в вертикальном положении после того, как мотор повернет ось $BB^< \prime>$ на $90^< \circ>$.

Задача по физике - 3616

Горизонтально расположенный однородный стержень АВ массы $m = 1,40 кг$ и длины $l_ <0>= 100 см$ вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси $OO^< \prime>$, проходящей через его конец A. Точка A находится посередине оси $OO^< \prime>$, длина которой $l = 55 см$. При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси $OO^< \prime>$, будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?

Задача по физике - 3617

Середина однородного стержня массы $m$ и длины $l$ жестко соединена с вертикальной осью $OO^< \prime>$ так, что угол между стержнем и осью равен $\theta$ (см. рис.). Концы оси $OO^< \prime>$ укреплены в подшипниках. Система вращается без трения с угловой скоростью $\omega$. Найти:
а) модуль и направление момента импульса $\vec$ стержня относительно точки С ,а также его момент импульса относительно оси вращения;
б) модуль приращения вектора $\vec$ относительно точки С за полоборота;
в) момент внешних сил $\vec$, действующих на ось $OO^< \prime>$ при вращении.

Задача по физике - 3618

Волчок массы $m = 0,50 кг$, ось которого наклонена под углом $\theta = 30^< \circ>$ к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии $I = 2,0 г \cdot м^<2>$, угловая скорость вращения вокруг этой оси $\omega = 350 рад/с$, расстояние от точки опоры до центра инерции волчка $l = 10 см$. Найти:
а) угловую скорость прецессии волчка;
б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.

Задача по физике - 3619

На полу кабины лифта, которая начинает подниматься с постоянным ускорением $w = 2,0 м/с^<2>$, установлен гироскоп — однородный диск радиуса $R = 5,0 см$ на конце стержня длины $l = 10 см$ (рис.). Другой конец стержня укреплен в шарнире О. Гироскоп прецессирует с угловой скоростью $n = 0,5 об/с$. Пренебрегая трением и массой стержня, найти собственную угловую скорость диска.

Задача по физике - 3620

Волчок, масса которого $m = 1,0 кг$ и момент инерции относительно собственной оси $I = 4,0 г \cdot м^<2>$, вращается с угловой скоростью $\omega = 310 рад/с$. Его точка опоры находится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с постоянным ускорением $\omega = 1,0 м/с^<2>$. Расстояние между точкой опоры и центром инерции волчка $l = 10 см$. Найти модуль и направление вектора $\vec< \omega>^< \prime>$ — угловой скорости прецессии.

Задача по физике - 3621

Однородный шар массы $m = 5,0 кг$ и радиуса $ R = 6,0 см$ вращается с угловой скоростью $\omega = 1250 рад/с$ вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и укрепленной в подшипниках подставки. Расстояние между подшипниками $l = 15 см$. Подставку поворачивают вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega^ < \prime>= 5,0 рад/с$. Найти модуль и направление гироскопических сил.

Задача по физике - 3622

Цилиндрический диск гироскопа массы $m = 15 кг$ и радиуса $r = 5,0 см$ вращается с угловой скоростью $\omega = 330 рад/с$. Расстояние между подшипниками, в которых укреплена ось диска, $l = 15 см$. Ось вынуждают совершать гармонические колебания вокруг горизонтальной оси с периодом $T = 1,0 с$ и амплитудой $\phi_ = 20^< \circ>$. Найти максимальное значение гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны оси диска.

Задача по физике - 3623

Корабль движется со скоростью $v = 36 км/ч$ по дуге окружности радиуса $R = 200 м$. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны вала с маховиком; которые имеют момент инерции относительно оси вращения $I = 3,8 \cdot 10^ <3>кг \cdot м^$ и делают $n = 300 об/мин$. Ось вращения расположена вдоль корабля.

Задача по физике - 3624

Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент инерции ротора турбины относительно собственной оси $I = 240 кг \cdot м^<2>$. Найти добавочную силу давления на рельсы, обусловленную гироскопическими силами, когда локомотив идет по закруглению радиуса $R = 250 м$ со скоростью $v = 50 км/ч$. Расстояние между рельсами $l = 1,5 м$. Турбина делает $n = 1500 об/мин$.

Задача по физике - 3628

Кольцо радиуса $r = 25 см$, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов данное кольцо может разорваться?

Вокруг оси проходящей через центр неподвижного металлического кольца

Задача по физике - 959

Согласно сериалу «Звёздные войны», космические истребители земного флота имеют форму косого креста, где на концах консолей расположены четыре одинаковых ракетных двигателя (вид истребителя спереди изображён на рисунке). Одним из пилотажных манёвров такого истребителя является быстрый разворот на $180^< \circ>$, когда два соседних двигателя работают на «полный вперёд», а два остальных — на «полный назад» с такой же тягой. Вокруг какой оси — А или Б — нужно совершать такой разворот, чтобы он занял меньше времени? Считайте, что практически вся масса истребителя сосредоточена в его двигателях и что сила тяги не зависит от скорости. Манёвр совершается в открытом космосе.

Задача по физике - 960

Зависимость силы натяжения $F$ от удлинения $x$ для лёгкого резинового шнура с начальной длиной $l_ <0>= 20 см$ показана на рисунке. К одному из концов шнура прикрепляют маленький шарик массой $m = 500 г$, другой конец прикрепляют к вертикальной оси, и затем весь шнур с шариком на конце помещают в горизонтальную гладкую трубку, прикреплённую к той же оси. Систему начинают медленно раскручивать вокруг этой оси. При каком значении угловой скорости $\omega_<0>$ шнур разорвётся?

Задача по физике - 961

Витую пружину с начальной длиной $l$, жёсткостью $k$ и массой $m$ свернули в кольцо и соединили концы. После этого её раскрутили с угловой
скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Найдите радиус кольца $R$ как функцию $\omega$. Диаметр витков пружины много меньше её длины.

Задача по физике - 962

Нерастяжимая, но очень гибкая и длинная цепь движется между блоками по траектории, изображённой на рисунке. При какой скорости у движения цепи она практически не будет давить на блоки? Сила натяжения цепи $T$, масса единицы её длины $\rho$; система находится в невесомости.

Задача по физике - 963

К нижнему концу стержня, расположенного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, прикреплена нить длиной $L$. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости расстояния $R$ между шариком и вертикальной линией, на которой расположен стержень, от угловой скорости $\omega$ вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.

Задача по физике - 964

Маленькую шайбу массой $m$ запустили со скоростью $v_<0>$ по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой $M$ и радиусом $a$. Найдите величину силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

Задача по физике - 965

Жёсткий невесомый стержень шарнирно подвешен за один из концов к потолку. К свободному концу и к середине стержня прикреплены два одинаковых маленьких тяжелых шарика. Стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, образуя с этой осью угол $\alpha$. Найдите угол между вертикалью и силой, с которой верхний шарик действует на стержень.

Задача по физике - 966

По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах $h_<1>$ и $h_$ от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок). Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квадратов их периодов обращения вокруг оси конуса.

Задача по физике - 967

Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной $l$. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения $T$. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.

Задача по физике - 968

Закрытая трубка длиной $l$, полностью заполненная жидкостью, составляет угол $\alpha$ с вертикальной осью, проходящей через её нижний конец (см. рисунок). В жидкости плавает лёгкая пробка. До какой угловой скорости $\omega$ нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?

Задача по физике - 969

Цилиндрическое ведро, наполовину заполненное водой, жёстко закреплено на краю лопасти ветряной мельницы (см. рисунок). При какой угловой скорости $\omega$ вращения лопастей вода не будет выливаться из ведра? Длина лопасти $L$ много больше высоты ведра $h$ и диаметра его дна $d$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача по физике - 970

Лёгкая шероховатая планка ВС шарнирно подвешена на параллельных невесомых стержнях АВ и СD (см. рисунок). Длина стержней $L$. На расстоянии $h$ от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой $M$. На планке лежит лёгкая шайба. Система свободно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали $\alpha$ шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.

Задача по физике - 971

Велосипедное колесо радиусом $R = 50 см$ немного деформировали — оно осталось плоским, но превратилось в эллипс с разностью полуосей $\delta = a - b = 1 см$. При какой скорости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать?

Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности $\frac>> + \frac>> = 1$ переходит в уравнение эллипса $\frac>> + \frac>> = 1$.

Задача по физике - 972

На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить длиной $L$, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело массой $m$. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол а. Какова скорость у подъёма конца нити?

Задача по физике - 973

На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом $r$ и, толкнув его, закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости кольцо будет устойчиво вращаться, не падая вниз? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен $\mu$.

Момент инерции кольца

В роль массы при вращательном движении (или движении материальной точки по окружности) выполняет момент инерции ( ).

Если тело, которое нельзя считать материальной точкой, совершает вращение вокруг неподвижной оси, то момент инерции служит мерой инертности тела в этом движении. Для вычисления момента инерции такого тела его разбивают на частицы, которые можно принять за материальные точки массы материальных точек), измеряют расстояния от каждой такой точки до оси вращения ( ), момент инерции тела находят как:

где – количество материальных точек, на которое разбито тело.

Если тело можно считать непрерывным ) , то

$J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV} \qquad (3)$

в выражении (3) интегрирование проводят по всему объему тела. Параметр – функция расположения точки в пространстве; – плотность тела; – элемент объема.

Момент инерции бесконечно тонкого кольца

Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо имеющее радиус , массу , вращающееся вокруг оси, проходящей через его центр нормально плоскости кольца (рис.1) (ось X). Считаем, что масса распределена по кольцу равномерно.

Для вычисления момента инерции воспользуемся формулой:

где расстояния от любого элемента кольца равно его радиусу, то есть:

В таком случае момент инерции тонкого кольца равен:

$J_x=\int_m{R^2dm=R^2\int_m{dm}=mR^2}$

Момент инерции тонкого кольца относительно оси параллельной оси найдем, используя теорему Штейнера:

$J_{AA'}=J_x+mR^2\ \qquad (6)$

условием применения теоремы Штейнера является параллельность осей и , что выполняется в нашем случае. Расстояние между осями равно радиусу кольца. Получаем:

$J_{AA'}=mR^2+mR^2=2mR^2 \qquad (7)$

Момент инерции толстого кольца

Рассмотрим однородное кольцо внешний радиус которого, равен , внутренний радиус — , масса этого кольца

Разобьем это кольцо на тонкие кольца. Одно из таких колец показано на рис. 2 пунктиром, его радиус . Момент инерции этого кольца относительно оси X равен:

где (h — высота кольца, если диск представляем как цилиндр малой высоты), тогда выражение (8) принимает вид:

Момент инерции всего нашего толстого кольца найдем как:

$J=\int^{R_2}_{R_1}{\rho r^32\pi hdr=2\pi h\rho }\int^{R_2}_{R_1}{r^3dr=}\frac{1}{2}\pi h\rho \left(R^4_2-R^4_1\right)=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right) \qquad (10)$

в формуле (10) мы учли, что объем нашего кольца равен:

$V=\pi h\left(R^2_2-R^2_1\right) \qquad (11)$

соответственно масса кольца:

$m=\rho V=\rho \pi h\left(R^2_2-R^2_1\right)\ \qquad (12)$

И так, получили, что момент инерции толстого кольца относительно оси вращения, проходящей через его центр, перпендикулярно плоскости кольца равен:

Примеры решения задач

$J_0=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right) \qquad (1.1)$

Ось параллельна оси , и находится от нее на расстоянии , следовательно, по теореме Штейнера:

$J_{AA'}=J_0+mR^2_2\qquad (1.2)$

Учитывая (1.1), окончательно получим:

$J_{AA'}=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right)+mR^2_2=\frac{3}{2}mR^2_2+\frac{1}{2}mR^2_1$

Сумма моментов инерции тела по отношению к точке пересечения трех взаимно перпендикулярных осей ( у нас точка О) равна моменту инерции рассматриваемого тела относительно этой точки ( ) умноженному на два:

Читайте также: