Для стального бруса построить эпюру продольных сил
Обновлено: 18.05.2024
Пример решения задачи построения эпюры внутренних продольных сил Nz при растяжении и сжатии прямого стального ступенчатого стержня.
Задача
Для прямого стержня нагруженного системой внешних сил требуется построить эпюру внутренних продольных сил N.
Решение
В предыдущем пункте решения задачи была определена опорная реакция R в заделке стержня.
Для расчета величины внутренних сил обозначим характерные сечения стержня (B, C, D, K и M).
Заданный стержень имеет 3 силовых участка: BC, CK и KM. Обозначим эти участки римскими цифрами, например, справа налево.
Сечение D, где меняется поперечный размер стержня, границей силового участка не является.
На каждом из этих участков определим величину и знак внутренней продольной силы.
Для этого воспользуемся методом сечений.
Начнем с I силового участка (KM):
Проведем мысленно сечение в пределах рассматриваемого участка.
Это сечение делит стержень на две части: левую и правую.
Для упрощения расчетов рекомендуется выбирать ту часть стержня, к которой приложено меньше сил. Очевидно, это будет правая часть стержня (т.к. слева от сечения 4 силы, а справа всего одна).
Внутренняя сила в данном сечении будет равна сумме внешних сил рассматриваемой правой части стержня. С учетом правила знаков при растяжении-сжатии эта сумма будет иметь следующий вид:
Здесь сила F3 записана отрицательной, так как сжимает рассматриваемую часть стержня (направлена в сторону проведенного сечения).
Переходим на второй силовой участок (CK).
Рассекаем стержень в произвольном месте участка и рассматриваем, например левую его часть.
Здесь силы R и F1 положительны, т.к. стремятся растянуть II участок стержня (направлены от сечения).
Аналогично для третьего силового участка (BC)
По полученным данным строим эпюру продольных сил N.
Решение задач, контрольных и РГР
Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.
Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.
НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ
- Рамки A4 для учебных работ
- Миллиметровки разного цвета
- Шрифты чертежные ГОСТ
- Листы в клетку и в линейку
Построение эпюр
Примеры построения эпюр для решения задач сопротивления материалов, строительной и технической механики со всеми расчетами, подробными пояснениями и видеоуроками.
Примечание: студентам строительных специальностей эпюры изгибающих моментов надо строить на растянутых слоях балки, поэтому положительные значения Mx необходимо откладывать вниз, а отрицательные — вверх от базовой линии.
Рассмотрим пару упрощенных и несколько максимально подробных примеров построения эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений для всех способов закрепления и нагружения балок, стержней и валов.
Построение эпюр Qy и Mx для консольной балки
Для заданной консольной балки требуется построить эпюры внутренних силовых факторов Qy и Mx.
Решение
Вычерчиваем расчетную схему нагружения балки в масштабе, с указанием числовых значений приложенных нагрузок.
Показываем оси системы координат y-z и обозначаем характерные сечения балки.
Для построения эпюр внутренних силовых факторов консольных балок, опорные реакции можно не определять.
Тогда для расчета значений Qy и Mx необходимо рассматривать противоположную от заделки часть балки, где все внешние усилия известны.
Балка имеет 2 силовых участка.
Рассчитаем, с учетом правил знаков при изгибе, значения внутренних поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки на каждом силовом участке методом сечений.
На первом участке оба силовых фактора рассчитаны.
Переходим ко второму
Так как эпюра Qy на втором силовом участке не пересекает базовую линию, экстремума на эпюре Mx не будет.
По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.
При ручном оформлении решения, эпюры заштриховываются тонкими линиями перпендикулярно базовой (нулевой) линии.
Оформление в электронном виде допускает сплошную однородную заливку площади эпюры.
Проверка построенных эпюр:
- по дифференциальным зависимостям
- в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Qy имеются скачки значений на величину соответствующей силы;
- в сечениях балки, где приложены изгибающие моменты, на эпюре Mx скачки значений на величину соответствующего момента.
Все условия выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
Построение эпюр для балки на двух опорах
Для заданной расчетной схемы балки на двух шарнирных опорах требуется построить эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
При построении эпюр для участков балки расположенных между опорами необходимо знать величину хотя бы одной из реакций.
Определение реакций в шарнирных опорах балки
Направим реакции опор, например, вверх
и запишем, с учетом правила знаков, суммы моментов нагрузок приложенных к балке относительно точек на опорах
Из составленных уравнений выражаем и находим реакции
Положительные значения указывают на то, что произвольно заданное направление реакций оказалось верным.
Расчет и построение эпюр
Используя метод сечений и соответствующие правила знаков, рассчитаем по каждому участку значения для построения эпюр.
Балка имеет 2 силовых участка.
На первом участке расчет произведем, рассматривая левую отсеченную часть балки
На втором — правую
Значения поперечной силы Qy на границах участка имеют разные знаки, следовательно, на этом участке, на эпюре Mx будет экстремум.
Определим его:
По полученным данным строим эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.
Алгоритм проверки эпюр показан в решении предыдущей задачи.
Более подробно ход расчетов и построения эпюр для балки с тремя силовыми участками рассмотрен в следующих задачах.
Подробные примеры построения эпюр
При растяжении-сжатии
Примеры построения эпюр внутренних продольных сил, нормальных напряжений и линейных перемещений для стержней при их растяжении и сжатии.
При кручении
Примеры построения эпюр внутренних крутящих моментов и угловых перемещений сечений вала при кручении.
Построение эпюр при изгибе
Примеры построения эпюр внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, нормальных и касательных напряжений для балок и рам при изгибе.
Эпюры внутренних силовых факторов
Эпюры напряжений
Видеоурок расчетов для построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:
Порядок построения эпюр
В рассмотренных выше примерах для построения эпюр выполняется следующая последовательность действий:
После построения эпюр желательно выполнять их проверку.
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Задача на статически неопределимый брус с зазором
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м
Е – модуль упругости, Е=2·10 5 МПа=2·10 8 кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
Прочность обеспечена.
- Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.
Идем от стены А к зазору.
Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.
Архив рубрики: Статически определимые задачи. Р-С
Задача
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности
4. Определяем перемещение бруса.
Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.
Формула Гука для определения абсолютной деформации участка
Определяем перемещения:
Строим эпюру перемещений ω.
Для ступенчатого стального стержня требуется построить эпюры нормальных сил и напряжений, проверить прочность стержня по допускаемым напряжениям согласно условию прочности, построить эпюру линейных перемещений. Дано:Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений
Расчет нормальных (продольных) сил проводится с помощью метода сечений путем рассмотрения характерных сечений для силовых участков.
Участок ВС:
Участок СD:
Участок DK:
Эпюра нормальных сил — рис. б.
Расчет нормальных напряжений на участках:
Эпюра нормальных напряжений — рис. в.
Расчет перемещений характерных сечений.
Перемещения сечений вниз считаются положительными, а вверх – отрицательными. Расчет ведем от стены, в которой перемещение равно 0
Эпюра перемещений — рис. г.
Проверим прочность стержня. Согласно эпюре нормальных напряжений: Следовательно, условие прочности не выполняется. Перенапряжение в опасных сечениях составляет:
Задача на стальной ступенчатый брус
Ступенчатый стержень закреплен одним концом и нагружен сосредоточенными силами. Длины участков бруса равны ℓ1, ℓ2, ℓ3 площади их поперечных сечений А1, А2, А3. Материал бруса – сталь. Построить эпюры внутренних сил N, напряжений σ и основных перемещений ∆ℓ.
1) Определим продольные силы:
2) Определим напряжения на всех участках:
3) Строим эпюру перемещений: (нарастающим итогом, начиная от опоры, в которой перемещение равно нулю)
Задача 6
Определить усилия в стержнях, поддерживающих жесткую емкость.
Не останавливаясь на определении опорных реакций R1, R2 и R3, сразу используем метод сечений и рассматриваем равновесие верхней части сооружения:
Задача 5
Стальной ступенчатый брус нагружен силами. Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
1) Прежде всего брус «разбивается» на участки, границами которых являются:– точки приложения внешних сил (отмечены крестиком),– места резкого изменения размеров поперечных сечений,– места, где меняется вид материала.
1) Определяем опорную реакцию. С этой целью на схеме бруса следует обязательно задаться направлением реакции и принять для нее буквенное обозначение. Например, А (см.схему)
Чрезвычайно важно правильно отреагировать на отрицательный знак реакции. Он означает, что истинное направление реакции противоположно предполагаемому. Поэтому следует зачеркнуть (!) и вектор, и буквенное обозначение (двумя наклонными линиями), а затем показать противоположный вектор и рядом указать абсолютную величину реакции без всякого буквенного обозначения и в дальнейших выкладках «бывшая» отрицательная реакция нигде не должна появляться!
2) С целью построения эпюры продольных сил (N) необходимо определять ее не в конкретных сечениях, а в произвольных сечениях каждого участка (чтобы иметь функциональную зависимость). Для этого приходится применять метод сечений для произвольного сечения каждого участка:
— на I участке:
— на II участке:
— на III участке:
N.B.: неизвестное усилие всегда (!) следует предполагать положительным и направлять в соответствии с принятым правилом знаков. В частности положительная продольная сила растягивающая и потому должна направляться «от сечения».
3) Напряжения при растяжении-сжатии вычисляются по формуле:
причем знак напряжения повторяет знак продольной силы N.
4) При построении эпюры перемещений следует вспомнить, что любая ее ордината означает смещение сечения, расположенного под этой ординатой, по отношению к неподвижному сечению.
А поэтому построение и начинается с неподвижного сечения. В нашем случае неподвижным является нижнее сечение, расположенное в опоре. Обозначим его номером (0): δ(0)=0.
Перемещение сечения (1) на границе между III и II участками бруса будет равно абсолютной деформации III го участка:
Перемещение сечения (2) на границе II и I го участков складывается из смещения сечения (1) и абсолютной деформации участка II:
Перемещение верхнего сечения (3) сложится из смещения сечения (2) и абсолютной деформации I го участка:
Заметим: все эпюры штрихуются только перпендикулярно к оси, поскольку наклонные штрихи не имеют физического смысла!
Задача 4
Определить усилия в стержнях
Не задерживаясь на определении опорных реакций, сразу будем искать усилия в стержнях с помощью метода сечений. Пунктиром показан замкнутый разрез, посредством которого система распадается на три части: верхнюю, среднюю и нижнюю. Для решения задачи достаточно рассмотреть равновесие средней части и нижней части системы. Неизвестные усилия в перерезанных стержнях предполагаем положительными, то есть растягивающими:
Уравнения равновесия нижней части:
Из (3) находим
Уравнения равновесия средней части:
Из (3´):
Задача 3
Абсолютно жесткий брус прикреплен двумя стержнями к потолку и одним к полу. Определить усилия в стержнях.
В опорных точках возможно возникновение трех опорных реакций. Для их определения имеются три уравнения равновесия. Следовательно, задача статически определима.
Поскольку нас интересуют внутренние усилия в стержнях, то реакции можно и не определять, а сразу использовать метод сечений. Вырезаем замкнутым сечением среднюю часть системы и рассматриваем ее равновесие (неизвестные усилия предполагаем положительными, т.е. растягивающими):
Из (3):
α=45˚, и тогда:
Задача 2
Определить допускаемую нагрузку на кронштейн и опускание точки В, если [σ]=160МПа, Е=2·10 11 Па.
Сначала необходимо найти усилие в стержне CD, сохраняя нагрузку в общем (буквенном) виде. С этой целью используем метод сечений: мысленно перережем стержень CD в любом его сечении и рассмотрим равновесие нижней части:
Составим уравнения равновесия:
Уравнение (3) позволяет найти усилие в стержне:
Условие прочности:
Площадь круглого сечения
После подстановок в условие прочности имеем:
Допускаемая величина нагрузки соответствует случаю полного равенства в условии прочности, откуда:
Величину опускания точки В при действии найденной нагрузки найдем, рассмотрев картину деформации системы:
Из подобия треугольников АСС1 и АВВ1 вертикальное смещение точки В будет:
Читайте также: