Для стального вала построить эпюру крутящих моментов

Обновлено: 06.05.2024

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов - графическое отображение величины крутящих моментов на каждом участке бруса.

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечения. Так как равномерно вращающийся или неподвижный вал находится в равновесии, очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Следует очень внимательно отнестись к определению знаков крутящего момента. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар сил, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот (это положение условно и принимается для облегчения проверки расчетов, выполненных несколькими исполнителями).

Рассматривая величины крутящих моментов, действующих в каждом конкретном сечении бруса, полагаем, что в сечении, где приложен вращающий (скручивающий) момент, значения крутящего момента изменяются скачкообразно (принцип смягченных граничных условий).

Пример построения эпюры крутящих моментов

Силовая передача (трансмиссия), изображенная на рис. 2 состоит из вала, на котором размещены три шестерни - одна ведущая ( А ) и две ведомые ( В и С ).
К шестерням приложены вращающие моменты: Р_А = 300 Нм, Р_В = 120 Нм, Р_С = 180 Нм.
Построим эпюру крутящих моментов для этой силовой передачи.

Решение

Очевидно, что свободные концы вала, (вращающиеся в подшипниках) не подвержены действию вращающих моментов, т. е. крутящие моменты на участках 1 и 4 равны нулю.
К шестерне А приложен вращающий момент 300 Н м, следовательно в сечении, расположенном под этой шестерней скачкообразно возникает крутящий момент, равный 300 Нм, и величина этого момента сохраняется неизменной по всем сечениям участка 2 (до шестерни В ).

К шестерне В приложен вращающий момент 120 Нм, который направлен в противоположную сторону от ведущего скручивающего момента, приложенного к шестерне А . Следовательно крутящий момент на участке 3 будет равен разности крутящих моментов, приложенных к шестерням А и В . На эпюре это отобразится в виде ступени величиной 120 Нм, расположенной напротив сечения, где размещена шестерня В .
На всем протяжении участка 3 величина этого крутящего момента будет сохраняться неизменной, до сечения, расположенного под шестерней С .

К шестерне С приложен вращающий момент 180 Нм, направление которого противоположно моменту, приложенному к ведущей шестерне А , поэтому, начиная с сечения под шестерней С , крутящий момент будет равен разнице между скручивающим моментом шестерни А и моментами, приложенными к шестерням В и С , т. е.
М_КРс = Т_А - Т_В - Т_С = 300 - 120 - 180 = 0 Нм, и величина этого момента будет распространяться на весь участок 4 , расположенный за шестерней С .

Построив эпюру крутящих моментов, действующих в сечениях вала данной силовой передачи как показано на рис. 2 , отмечаем, что максимальной величины - 300 Нм крутящий момент достигает на участке 2 , т. е. этот участок и является критическим (наименее надежным).

Теперь попробуем изменить расположение шестерен на валу, разместив ведущую шестерню А между ведомыми шестернями В и С , как показано на рис. 3 . Приложенные к шестерням вращающие моменты оставим без изменения и построим эпюру крутящих моментов для измененной конструкции ( рис. 3 ).

Из полученной эпюры видно, что на участке 2 (между шестернями В и А ) крутящий момент равен -120 Нм, на участке 3 — +180 Нм, а на участках 1 и 4 крутящие моменты равны нулю, как и в предыдущей конструкции. И если в рассмотренной ранее конструкции максимальный крутящий момент достигал 300 Нм, то теперь его величина снизилась до 180 Нм.
Рациональным размещением шестерен на валу силовой передачи мы смогли значительно уменьшить максимальный крутящий момент, возникающий в сечениях этого вала, повысив надежность передачи. При этом передаточные отношения и функционал самой передачи не изменились.

Техническая механика

На этой странице приведен пример решения задачи, по расчету вала на кручение.
Аналогичные задачи предлагаются для выполнения в качестве контрольной работы студентам технических специальностей средних специальных и высших учебных заведений, поэтому рассмотренный пример можно использовать в качестве методики.

А на этой страничке можно скачать готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике) для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

Задание № 2.1

Расчет вала на скручивание

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из четырех участков длиной l₁…l₄ приложено четыре сосредоточенных момента М₁…М₄ (см. рис. 1).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов М_кр , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τ_max , построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол Θ_max закручивания вала.

Исходные данные:

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными (рис. 1).
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z , минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z ). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [τ] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение задачи:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка IV:

Так как для круглого сечения полярный момент равен: W_P = πD 3 /16 , то можно записать:

D ≥ 3 √(16М_кр/π[τ]) ≥ 3√[(16×4,1×10 3 ) / (3,14×100×10 6 )] ≥ 0,0593 м
или D ≥ 59,3 мм.

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 60 мм.

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×10 10 Па;
I_Р – полярный момент инерции (для круглого сечения I_Р = πD 4 /32 ≈ 0,1D 4 , м 4 ).

Произведение G×I_Р = 8×10 10 ×0,1×0,064 ≈ 103680 Нм 2 – жесткость сечения данного вала при кручении.

Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:

φ_I = 2,7×10 3 ×1,2/103680 = 0,03125 рад;
φ_II = 0,1×10 3 ×0,7/103680 = 0,00067 рад;
φ_III = 4,1×10 3 ×0,3/103680 = 0,0118 рад;
φ_IV = 2,1×10 3 ×0,4/103680 = 0,0081 рад.

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

τ_maxIV = 5×2,7×10 3 /0,063 = 62 500 000 Па ≈ 62,5 МПа;
τ_maxIII = 5×0,1×10 3 /0,063 = 2 314 814 Па ≈ 2,31 МПа;
τ_maxII = 5×4,1×10 3 /0,063 = 94 907 407 Па ≈ 94,9 МПа;
τ_maxI = 5×2,1×10 3 /0,063 = 48 611 111 Па ≈ 48,6 МПа.

6. Наибольший относительный угол закручивания Θ_max определим по формуле:

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов М_кр , касательных напряжений τ_max и углов закручивания φ (рис. 1, а).

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Статически определимые задачи. Кручение

Проверочный и проектный расчеты при кручении

Задача. Для заданного стального бруса d=50мм (материал – сталь Ст3) построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при . Сравнить сечения по расходу материала.

1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

Строим эпюру М_К

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φ_А=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·10 5 МПа = 0,8·10 8 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

Если требуется перейти к градусной мере, то:

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

3.Проверим прочность бруса по формуле

Максимальный крутящий момент с эпюры М_К = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

Тогда -прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с .

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см 2 , а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см 2 , что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии.

берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении , где - модуль сдвига, а (см 4 ) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK: М_L= М₄ = 5 кНм; М_К=М₄=5кНм.

Покажем эпюру крутящих моментов на рис.б.

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный внутренний крутящий момент:

Тогда из условия прочности:

А из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:

Рассчитаем касательные напряжения для участков:

Построим эпюру касательных напряжений на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В, в которой угол поворота равен 0):

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача

К стальному валу приложены три известных момента:

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига , - для стали

- полярный момент инерции

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

(1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где -максимальное касательное напряжение,

- максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

- полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины:

Кручение круглого стержня. Задача 2

Определить необходимый диаметр стального вала, передающего мощность N=1000 л.с. при скорости вращения n=250об/мин, если [τ]=60МПа . Модуль упругости стали при сдвиге G=8∙10 10 Па.

допускаемый угол закручивания

При известных мощности и скорости вращения крутящий момент вычисляется по формуле:

Условие прочности:

откуда требуемый диаметр вала:

Условие жесткости при кручении:

тогда требуемый диаметр вала из условия жесткости

Принимаем большее из двух значений, то есть d=0,17м.

Кручение бруса круглого сечения. Задача 1

К валу круглого сечения приложено 5 внешних скручивающих моментов

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов М_к.
2. Подобрать сечение (если [τ]=90МПа) и построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении (эп. τ).
3. Построить эпюру углов поворота (эп.α).
4. Найти наибольший относительный угол закручивания θ_max.

Контроль скачков в эпюре М_к: каждый скачок соответствует величине и направлению сосредоточенного внешнего момента (см.эпюру).

2. Подбор круглого сечения из условия прочности и построение эпюры τ в опасном сечении.

построение эпюры τ в опасном сечении.

3. Построение эпюры углов поворота α

Положим, что условно неподвижным является сечение «0», то есть α₀=0.

Тогда поворот сечения 1 на границе I и II участков будет равен углу закручивания I го участка:

Поворот сечения 2 на границе II и III участков будет равен сумме угла поворота сечения 1 и угла закручивания II участка:

Поворот сечения 3 на границе III и IV участков складывается из угла поворота сечения 2 и угла закручивания III участка:

Поворот сечения 4 на границе IV и V участков складывается из угла поворота сечения 3 и угла закручивания IV участка:

4. Определение наибольшего относительного угла закручивания θ_max

Задача

Читайте также: