Для заданного стального бруса требуется
Обновлено: 17.05.2024
Для заданного статически определимого стального бруса требуется:
1) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ, записав в общем виде для каждого участка выражения N и σ и указав на эпюрах их значения в характерных сечениях;
2) определить общее перемещение бруса и построить эпюру перемещений δ поперечных сечений, приняв модуль упругости Е = 2·10 МПа.
Цель работы– научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, и определять перемещения.
Теоретическое обоснование
Виды нагружения бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – , называемый растяжением или сжатием. Равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси. Внутренние силы определяются с помощью метода сечений. Нормальная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения
N = ∑F (5.1).
Величина продольных сил в разных сечениях бруса неодинакова. График, показывающий изменение величины продольных сил в сечении бруса по его длине, называется эпюрой продольных сил.
Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций, а на основании закона Гука (σ = Eε) и нормальных напряжений S = const. Тогда N = S· F , откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении
A – площадь около рассматриваемого участка бруса;
N– равнодействующая внутренних сил в пределах этой площадки (согласно метода сечений).
Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности - конструкция будет прочной, если максимальное напряжение ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины, определяемой свойствами данного материала и условиями работы конструкции, то есть
При деформации бруса меняется его длина на и поперечный размер – на . Эти величины зависят и от начальных размеров бруса.
– продольная деформация; (5.4)
– поперечная деформация. (5.5)
Экспериментально показано, что , где μ = 0, …, 0,5 – коэффициент Пуассона. Примеры: μ=0 – пробка, μ=0,5 – резина, – сталь.
В пределах упругой деформации выполняется закон Гука: , где E – модуль упругости, или модуль Юнга.
Порядок выполнения работы
1. Разбиваем брус на участки, ограниченные точками приложения сил (нумерацию участков ведем от незакрепленного конца);
2. Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка: N = ∑F ;
3. Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением бруса (или рядом) проводим прямую, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответствующие в выбранном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем вверх (или вправо), отрицательное – вниз (или влево).
4. Определяем общее перемещение бруса и строим эпюру перемещений δ поперечных сечений.
5. Ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. Что называется стержнем?
2. Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?
3. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?
4. Что такое эпюра продольных сил и как она строится?
5. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого стержня, и по какой формуле они определяются?
6. Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?
7. Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?
8. Сформулируйте закон Гука. Напишите формулы для абсолютной и относительной продольных деформаций стержня.
9. Что происходит с поперечными размерами стержня при его растяжении (сжатии)?
10. Что такое коэффициент Пуассона? В каких пределах он изменяется?
11. С какой целью проводятся механические испытания материалов? Какие напряжения являются опасными для пластичных и хрупких материалов?
Пример выполнения
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для нагруженного стального бруса (рис. 5.1). Определить удлинение (укорочение) бруса, если E
Рис.5.1
Дано: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 см , А , l = 100 мм, l = 50 мм, l = 200 мм,
Решение. Определяем продольные силы и строим их эпюру:
N = - F + F = -2 + 5 = 3 kH;
N = - F + F + F = -2 +5 + 2 = 5 kH
Определяем величину нормальных напряжений и строим их эпюру:
Используя видоизмененный закон Гука, определяем удлинение бруса:
Практическая работа № 6
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Архив рубрики: Статически определимые задачи. Кручение
Проверочный и проектный расчеты при кручении
Задача. Для заданного стального бруса d=50мм (материал – сталь Ст3) построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при . Сравнить сечения по расходу материала.
1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.
Строим эпюру МК
2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле
Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φА=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.
Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·10 5 МПа = 0,8·10 8 кПа.
Определим полярный момент инерции для круглого сечения:
Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.
Если требуется перейти к градусной мере, то:
Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:
3.Проверим прочность бруса по формуле
Максимальный крутящий момент с эпюры МК = 0,75 кНм.
Определим полярный момент сопротивления сечения:
Тогда -прочность обеспечена.
4.Подбираем кольцевое сечение для вала с .
Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:
Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.
Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:
5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала
В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см 2 , а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см 2 , что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.
Задача на кручение
Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.
1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.
Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:
Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии.
берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.
3) Производим расчет жесткости вала при кручении , где - модуль сдвига, а (см 4 ) – полярный момент инерции сечения.
4) Производим расчет – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.
Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении
Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.
Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.
Участок LK: МL= М4 = 5 кНм; МК=М4=5кНм.
Покажем эпюру крутящих моментов на рис.б.
Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный внутренний крутящий момент:
Тогда из условия прочности:
А из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.
Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:
Рассчитаем касательные напряжения для участков:
Построим эпюру касательных напряжений на рис.в.
Расчет относительных углов поворота на участках:
Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:
Эпюра θ показана на рис. г.
Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В, в которой угол поворота равен 0):
Эпюра φ представлена на рис.д.
Задача
К стальному валу приложены три известных момента:
Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.
I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.
Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:
Угол поворота на участке определяется по формуле:
, где М к - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,
G — модуль сдвига , - для стали
- полярный момент инерции
Таким образом, , и с учетом условия задачи:
Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то
(1)
Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:
Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :
2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.
Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре
3.Определяем диаметр вала из условия прочности:
, где -максимальное касательное напряжение,
- максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),
- полярный момент сопротивления сечения
[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение
Определяем диаметр:
Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см
4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:
Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:
В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.
5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:
Полученный результат переведем в градусы на метр длины:
Кручение круглого стержня. Задача 2
Определить необходимый диаметр стального вала, передающего мощность N=1000 л.с. при скорости вращения n=250об/мин, если [τ]=60МПа . Модуль упругости стали при сдвиге G=8∙10 10 Па.
допускаемый угол закручивания
При известных мощности и скорости вращения крутящий момент вычисляется по формуле:
Условие прочности:
откуда требуемый диаметр вала:
Условие жесткости при кручении:
тогда требуемый диаметр вала из условия жесткости
Принимаем большее из двух значений, то есть d=0,17м.
Кручение бруса круглого сечения. Задача 1
К валу круглого сечения приложено 5 внешних скручивающих моментов
Требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов Мк.
2. Подобрать сечение (если [τ]=90МПа) и построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении (эп. τ).
3. Построить эпюру углов поворота (эп.α).
4. Найти наибольший относительный угол закручивания θmax.
Контроль скачков в эпюре Мк: каждый скачок соответствует величине и направлению сосредоточенного внешнего момента (см.эпюру).
2. Подбор круглого сечения из условия прочности и построение эпюры τ в опасном сечении.
построение эпюры τ в опасном сечении.
3. Построение эпюры углов поворота α
Положим, что условно неподвижным является сечение «0», то есть α0=0.
Тогда поворот сечения 1 на границе I и II участков будет равен углу закручивания I го участка:
Поворот сечения 2 на границе II и III участков будет равен сумме угла поворота сечения 1 и угла закручивания II участка:
Поворот сечения 3 на границе III и IV участков складывается из угла поворота сечения 2 и угла закручивания III участка:
Поворот сечения 4 на границе IV и V участков складывается из угла поворота сечения 3 и угла закручивания IV участка:
4. Определение наибольшего относительного угла закручивания θmax
Тема. Центральное растяжение (сжатие)
Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения (имеется в виду, что все силы направлены вдоль оси бруса).
Растягивающие (направленные от сечения) продольные силы считаются положительными, а сжимающие (направленные к сечению) – отрицательными.
При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле
где N − продольная сила; F − площадь поперечного сечения.
Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса
продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами.
Деформацией при растяжении участка бруса является его удлинение. Абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине участка бруса и обратно пропорционально
где EF − жесткость сечения.
Коэффициент E характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия и называется модулем упругости первого рода; для стали
E = (1,96…2,16)·105Па.
1.2 Пример.Построить эпюры продольных сил, нормальных
напряжений и перемещений поперечных сечений по длине ступенчатого
бруса (рис. 1). Материал бруса – сталь Ст.3; E = 2 ⋅105МПа; P = 60 кН;
F1 = 5 см2; F2= 12 см2; a = 1м.
Решение. Разбиваем брус на участки 1(АВ), 2(ВС) и 3(CD).
Применяя метод сечений, рассматриваем равновесие левой части, отбрасывая при этом отсеченную правую часть
Для участка 1 N1= P= 60кН;
Для участка 2 N2= P= 60кН;
Для участка 3 N3= P+2P=3P=180кН.
Эпюра, показывающая, как меняется N по длине бруса, изображена на рис. 1.
Для построения эпюры нормальных напряжений, находим напряжения на каждом участке:
Эпюру перемещений строим, начиная от защемленного конца D. Перемещение поперечного сечения, где проложена сила 2P (точка С), равное удлинению участка CD.
Перемещение сечения В относительно сечения С равно удлинению участка ВС.
Абсолютное перемещение сечения В:
ΔB = ΔC + ΔBC = 0,75 + 0,25 =1,0мм .
Перемещение сечения А относительно В, равное удлинению
участка АВ:
Абсолютное перемещение сечения А:
Δ A = ΔB+ Δ AB = 1,0 + 1,2 = 2,2мм .
Построенная по полученным данным эпюра перемещений
показана на рис. 1.
1.3 Задание 1. Вариант 1. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине ступенчатого бруса по данным одной из схем, приведенных на рисунках 1.2.
Вариант 1
Исходные данные: P = 50 кН; F = 5 см2; l = 1 м.
Вариант 2
Для стального бруса, нагруженного продольными силами Р, с учетом собственного веса (рис.1.3) требуется:
1. Определить внутренние силы, напряжения и перемещения по длине бруса.
2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений по длине бруса.
3. Указать положение наиболее опасного сечения и величину нормального напряжения в этом сечении.
Принять, что материал бруса имеет плотность γ = 7,8 г/см 3 и модуль продольной упругости Е = 2•10 5 МПа.
Таблица 1.1 – Исходные данные
| № варианта | Р, кН | F, м 2 | a, м | b, м | c, м |
| 1,2 | 16•10 - 4 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | |
| 1,9 | 13•10 - 4 | 1,4 | 1,7 | 1,5 | |
| 1,7 | 11•10 - 4 | 1,7 | 1,5 | 1,7 | |
| 1,3 | 15•10 - 4 | 2,0 | 1,9 | 1,8 | |
| 1,5 | 17•10 - 4 | 2,3 | 2,2 | 2,0 | |
| 2,0 | 19•10 - 4 | 2,6 | 2,5 | 2,4 | |
| 1,1 | 18•10 - 4 | 2,9 | 2,8 | 2,7 | |
| 1,6 | 14•10 - 4 | 1,5 | 1,6 | 1,6 | |
| 1,8 | 12•10 - 4 | 1,8 | 1,8 | 1,9 | |
| 2,2 | 10•10 - 4 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |
Литература:
1. Волков А. Н. Сопротивление материалов. — М.: КолосС, 2004. —
2. Кривошапко С. Н. Сопротивление материалов: лекции, семинары, расчетно-графические работы. — М.: Издательство Юрайт, 2013. — С.187…194.
Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса
Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана конфигурация и известна внешняя нагрузка.
1. Построить эпюру продольных сил .
2. Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .
3. Установить , составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение при МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.
4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений , считая модуль упругости МПа. Указать и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.
5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом =45° к оси бруса.
6. Какую силу нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение?
Исходные значения: м; кН/м; .
1. Построим эпюру продольных сил .
Вычислим значения продольных силметодом сечений. Данный брус состоит из 3-х участков. Будем рассматривать отсечённые участки для каждого участка, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.
Уравнение равновесия для отсечённой части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось (1.1), т. е. .
Записывая это уравнение последовательно для всех участков получим продольные силы для каждого участка:
По этим значениям построим эпюру (рис. 1.6, д).
2. Выражения для нормальных напряжений
Составим выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .
| а б в г д е ж |  |
Нормальное напряжение вычисляем для каждого участка бруса по формуле (1.3) как
3. Нахождение и условие прочности
Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид (1.5), согласно которому
Значит, нужно выбрать из полученных значений нормальных напряжений наибольшее по модулю значение, здесь имеем
. Тогда по (по1.15) получаем .
Из этого условия вычислим требуемое значение и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.
Принимаем . Назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанные на схеме бруса соотношения между ними:
4. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений.
Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.
Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.6, е).
Построим эпюры продольных перемещений .
Перемещения поперечных сечений бруса вычисляют по (1.7) через продольные деформации участков бруса .Сначала найдём деформации участков бруса.
Согласно формуле (1.6) ,
где – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; – площадь поперечного сечения; – длина участка бруса. Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы имеем .
Теперь определим продольные перемещения δi характерных сечений, обозначив сечения буквами , , , . Так как точка находится в заделке, то перемещение ; Перемещения сечений , , определяем с помощью (1.7):
На участке 2 эпюра продольных сил пересекает нулевую линию в точке (рис. 1.6, д), в этом сечении будет перегиб на эпюре перемещений, поэтому определим координату из условия :
Вычислим продольную деформацию участка CK:
Тогда продольное перемещение сечения K согласно (1.7) равно
По полученным значениям построим эпюру продольных перемещений (рис. 1.6, ж).
Укажем и проверим жёсткость при допускаемом продольном перемещении.
Используем условие жёсткости (1.9), для которого выбираем из полученных значений наибольшее по модулю: . Тогда условие жёсткости принимает вид
Как видим, условие жёсткости не выполняется. Необходимо назначить новые площади сечений, чтобы соблюдалось условие жёсткости, которое в нашем примере должно иметь вид
Запишем через нагрузку и жёсткость сечения :
Тогда условие жёсткости получает выражение
Принимаем и окончательно назначаем площади участков бруса:
5. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке
Для опасного сечения бруса вычислим касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом к оси бруса.
Напряжения подсчитаем по формулам (1.10), подставляя значения нормальных напряжений в опасном сечении C :
6. Определение силы
Определим, какую силу нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение. Сечение Д получило отрицательное перемещение . Чтобы вернуть сечение в первоначальное положение, нужно, очевидно, приложить растягивающую силу Р0, которая растянет брус на , т. е. деформация всего бруса от силы Р0 составляет . Записывая эту деформацию как сумму деформаций участков, получим уравнение
Задача 4. Проектный расчёт ступенчатого
статически неопределимого бруса
Стальной ступенчатый брус (рис. 1.7, а) жёстко закреплён с торцов. Задана конфигурация бруса и известна внешняя нагрузка: м; ; кН/м.
1. Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жёстких заделках.
2. Построить эпюру продольных сил N .
3. Составить выражения для нормальных напряжений s по всем участкам бруса, используя указанные на чертеже бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F.
4. Установить smax., составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F при [s]=200МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.
5. Построить эпюры нормальных напряжений s и продольных перемещений δ, считая модуль упругости E=2∙10 5 МПа. Указать δmax и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.
6. Для опасного сечения бруса вычислить касательныеτα и нормальные sα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса.
7. Вычислить температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Принять коэффициент линейного удлиненияa=1,25∙10 -5 1/град.
8. Как изменятся величины реактивных сил, если между правой заделкой и торцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L?
1. Вычисление реактивных сил
Обозначим реактивные силы, возникающие в жёстких заделках под нагрузкой, как и (рис. 1.7, а). Их величины должны удовлетворять уравнению равновесия всего бруса при растяжении-сжатии (1.1), т. е. , которое принимает вид
Как видно, это уравнение содержит два неизвестных и , поэтому брус является статически неопределимым. Для нахождения и необходимо составить еще одно уравнение – уравнение перемещений.
При растяжении-сжатии ступенчатого бруса уравнение перемещений записывают через продольные деформации участков . Данный брус состоит из трёх участков, поэтому
| а б в г д е ж |  |
где выражения деформаций участков бруса , и составляем по (1.6) как , где – продольное усилие на рассматриваемом участке; где – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; – площадь поперечного сечения; – длина участка бруса. Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы имеем .
Сначала запишем для каждого участка бруса продольные усилия и абсолютные деформации. Продольные силыопределяем методом сечений, рассматривая отсечённые части каждого участка (рис. 1.7, б, в, г), начиная со свободного конца. При этом продольную силу изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.
Используя уравнение равновесия отсечённой части , записываем последовательно продольные силы для каждого участка:
Составим выражения деформаций участков бруса , и , причём площади сечения возьмём по конфигурации бруса через неизвестное значение F:
Подставляя в (1.17) эти величины, получим уравнение перемещений, записанное через :
Уравнение равновесия (1.16) и уравнение перемещений (1.18) составляют систему 2-х урвнений с двумя неизвестными и , решая эту систему найдём величины этих реактивных сил. Уравнение (1.18) есть уравнение с одним неизвестным . Тогда, умножая его на EF, получаем
Из уравнения (1.16) .
2. Построим эпюру продольных сил N .
Подставив найденную реакцию в выражения продольных усилий по участкам, получим их значения:
Откладывая от базисной линии эти значения, построим эпюру (рис. 1.7, в).
3. Выражения нормальных напряжений
Составим выражения нормальных напряжений для каждого участка вала по формуле (1.3) как :
4. Условие прочности бруса
Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям запишем по (1.5):
Выбираем smax из полученных выше значений нормальных напряжений как наибольшее по модулю,
Теперь условие прочности получаем в виде
Найдём из этого условия требуемое значение и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.
Принимаем и назначаем площади всех участков бруса:
5. Эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений
Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.7, е).
Построим эпюры продольных перемещений .
Сначала подставляем в полученные ранее выражения деформаций участков бруса найденные величины площадей и получаем значения деформаций.
Определим продольные перемещения характерных сечений, обозначив сечения буквами , , , D.
, т.к. точка находится в заделке; перемещения сечений , , определяем с помощью (1.7):
Продольное перемещение в сечении D оказался равным нулю, т.к. это сечение находится в заделке.
По полученным значениям построим эпюры продольных перемещений (рис. 1.7, ж). Уточним линию на первом участке, где имеем линейный характер силы N1и пересечение её эпюры с базисной линией в сечении K при :
Вычислим координату . Перемещение этого сечения равно деформации участка AK, поэтому
Отложив это значение, проводим кривую с перегибом в точке K.
Проверим условие жёсткости, для этого из эпюры перемещений возьмём и запишем , значит условие жёсткости выполняется.
6. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке
Для опасного сечения бруса вычислим касательные τα и нормальные sα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса. Напряжения на наклонных площадках вычисляют по известным формулам (1.10):
7. Температурные напряжения
Вычислим температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Для этого составим уравнение перемещений (1.17), учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках. При этом удлинение определяем по формуле
Вычислим наибольшие температурные напряжения , которые будут возникать в более тонком месте − на 1-м участке:
8. Влияние зазора на величину реакций
В случае зазора при действии температуры торец бруса переместиться за счёт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна 0,0001∙L1:
Как видим, значение температурных реакций при наличии зазора уменьшается.
Читайте также: