Необходимо как можно точнее провести измерения сторон стальной прямоугольной пластинки
Обновлено: 20.05.2024
Нужно решить, помогите пожалуйста))))))
Лабораторная работа № 2 по теме:
«ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ».
Цель работы: научиться измерять потенциальную энергию поднятого над землей тела и
упругодеформированной пружины; сравнить два значения потенциальной энергии
системы.
Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, динамометр лабораторный, линейка, груз
массой m на нити длиной около 25 см, набор картонок, толщиной порядка 2 мм, краска и
кисточка.
Эксперимент проводится с грузом, прикрепленным к одному концу нити длиной l.
Другой конец нити привязан к крючку динамометра. Если поднять груз, то пружина
динамометра становится недеформированной и стрелка динамометра показывает ноль,
при этом потенциальная энергия груза обусловлена только силой тяжести. Груз
отпускают, и он падает, вниз растягивая пружину. Если за нулевой уровень отсчета
потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей взять нижнюю точку, которую он
достигает при падении, то очевидно, что потенциальная энергия тела в поле силы
тяжести переходит в потенциальную энергию деформации пружины динамометра:
где Δl – максимальное удлинение пружины, k - ее жесткость.
Трудность эксперимента состоит в точном определении максимальной деформации
пружины, т.к. тело движется быстро.
1. Соберите установку, показанную на рисунке. Укрепите динамометр в лапке штатива.
2. Привяжите груз к нити, другой конец нити привяжите к крючку
динамометра и измерьте вес груза. В данном случае
P = F Т = mg. Р = ______________.
3. С помощью линейки измерьте длину нити l, на которой
привязан груз. l = _______________.
4. На нижний конец груза нанесите немного краски.
5. Поднимите груз до точки закрепления нити.
6. Отпустите груз и убедитесь по отсутствию краски на столе, что
груз не касается его при падении.
7. Повторяйте опыт, каждый раз подкладывая картонки до тех
пор. Пока на верхней картонке не появятся следы краски.
8. Взявшись за груз рукой, растяните пружину до его соприкосновения с верхней
картонкой и измерьте динамометром максимальную силу упругости F упр и линейкой
максимальное растяжение пружины Δl пр , отсчитывая его от нулевого деления
динамометра. F упр = ________________, Δl пр = ________________.
9. Вычислите высоту, с которой падает груз: h = l + Δl пр (это высота, на которую
смещается центр тяжести груза).
h = __________________________________________________________
10. Вычислите потенциальную энергию поднятого груза (т.е. перед началом падения):
__________________________________________________________________
11. Вычислите потенциальную энергию деформированной пружины :
Подставив выражение для k в формулу для энергии получим:
ОЦЕНКА ____________
__________________________________________________________________
12. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.
Вес
груза
P,
(Н)
Длина
нити
l ,
(м)
Максимальное
растяжение
пружины
Δl пр ,
(м)
Максимальная
сила
упругости
F упр ,
(Н)
Высота,
с
которой
падает
груз
h = l + Δl
(м)
Потенциальная
энергия
поднятого
груза
(Дж)
Энергия
деформированной
пружины :
,
(Дж)
1 0.2 0.06 16
13. Сравните значения потенциальной энергии в первом и во втором состояниях
системы: ____________________________________________________________________
ВЫВОД:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Дополнительно:
1. От чего зависит потенциальная энергия системы? ______________________________
2. От чего зависит кинетическая энергия тел? ____________________________________
3. В чем состоит закон сохранения полной механической энергии? __________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Отличия и сходства силы тяжести от силы упругости (определения, обозначения,
направление, единицы измерения в СИ).
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Вычислите относительные и абсолютные погрешности измерения энергии:
___________; __________;
_________; ________.
6. Решить задачу:
Мяч массой 100г брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Чему равна
потенциальная энергия его в высшей точке подъема? Сопротивление воздуха не
учитывать.
Дано: СИ: Решение:
Необходимо как можно точнее провести измерения сторон стальной прямоугольной пластинки
В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку. Ранее (стр. 70) было показано, что, используя тригонометрические ряды, можно удовлетворить граничным условиям на двух сторонах прямоугольной пластинки. Решения, полученные таким образом, могут представить практический интерес, если их использовать для пластинки, ширина которой мала по сравнению с длиной. Если оба размера пластинки имеют один и тот же порядок, следует рассматривать условия по всем четырем сторонам. При решении задач такого рода иногда может успешно применяться принцип минимальной работы.
Рассмотрим случай прямоугольной пластинки в условиях растяжения, когда растягивающие усилия на концах распределены по параболическому закону (рис. 132), Граничные условия в этом случае имеют вид: при
Энергия деформации для пластинки единичной толщины, согласно уравнению (133), выражается формулой
Следует отметить, что в случае односвязной границы, которую мы имеем в данном случае, распределение напряжений не зависит от упругих констант материала (см. стр. 148)], Поэтому дальнейшие вычисления можно упростить, положив коэффициент Пуассона равным нулю. Тогда, введя функцию напряжений и подставляя в (б) равенства
Корректное выражение функции напряжений удовлетворяет условиям (а) и доставляет минимум энергии деформации (в).
Если для определения минимума (в) использовать вариационное исчисление, то мы придем к уравнению (30) для функции напряжений Вместо этого используем следующую процедуру приближенного решения задачи. Представим функцию напряжений в виде ряда
такого, что удовлетворяются граничные условия (а). Здесь постоянные, которые подлежат определению. Значения этих постоянных можно найти из условий
которые являются линейными уравнениями относительно
С помощью надлежащего выбора функций мы можем получить удовлетворительное приближенное решение, удержав в ряду (г) лишь несколько членов. В рассматриваемом случае граничные условия (а) удовлетворяются, если положить
Остальные функции следует выбрать таким образом, чтобы соответствующие им напряжения на границе были равны нулю. Чтобы добиться этого, возьмем в качестве множителя во всех функциях выражение вторая производная по х от этого выражения на сторонах обращается в нуль, тогда как вторая производная по у обращается в нуль на сторонах . Вторая производная равна нулю по всем четырем сторонам пластинки. Отсюда функцию напряжений можно взять в виде
В этом ряду сохранены лишь четные степени х и у, поскольку распределение напряжений симметрично относительно осей х и у. Ограничиваясь одним членом в последних скобках, имеем
Первое из уравнений (д) тогда принимает вид
Для квадратной пластинки находим
и все компоненты напряжения определяются по формулам
Распределение по поперечному сечению представлено кривой (рис. 133).
Чтобы получить более точное приближение, возьмем теперь в ряду (е) три члена. Тогда уравнения (д) для определения постоянных будут такими:
Для квадратной пластинки эти уравнения дают
Распределение по поперечному сечению определяется зависимостью
На рис. 133 это распределение напряжений показано кривой
С увеличением длины пластинки распределение напряжения по поперечному сечению становится все более и более однородным. Если мы положим, например, то из уравнения (ж) найдем
Соответствующие значения по поперечному сечению характеризуются числами
Это распределение напряжений представлено на рис. 133 штриховой линией. Мы видим, что в этом случае отклонение от среднего значения очень мало.
Чтобы исследовать другие симметричные распределения напряжений по граням нам нужно лишь изменить форму функции в выражении (е). При этом в уравнениях (ж) потребуется изменить одни только правые части.
В качестве примера распределения напряжений, несимметричного относительно оси х, рассмотрим случай изгиба, показанный на рис. 1341), в котором приложенные по концам усилия изменяются по закону (кривая б на рис. 134, б). Очевидно, распределение напряжений будет несимметричным относительно оси х и симметричным относительно оси у.
Эти условия удовлетворяются, если принять функцию напряжений в форме
Первый член, как и раньше, удовлетворяет граничным условиям для . Подставляя равенство (и) с четырьмя коэффициентами в уравнении (д), для случая квадратной пластинки находим
где Распределение напряжения по среднему сечению близко к линейному. На рис. 134, б оно показано кривой а.
Уравнение в частных производных с переменными коэффициентами не удается проинтегрировать в общем виде, но для нескольких практически важных случаев уравнение (4.33) допускает точное решение.
Сначала рассмотрим простейший из таких случаев — устойчивость удлиненной пластины, равномерно сжатой в поперечном направлении (рис. 4.8, а). Граничные условия вдоль удлиненных сторон произвольны, но неизменны вдоль всей пластины. Размеры пластины в продольном направлении считаем настолько большими, что условия закрепления коротких сторон пластины не играют никакой роли (ниже дана оценка той длины пластины, начиная с которой можно пренебречь влиянием закреплений коротких сторон пластины).
Предварительно решим вспомогательную задачу по определению усилий в срединной плоскости пластины. Если считать, что на длинных кромках не накладывается никаких ограничений на перемещения , то решение этой задачи очевидно:
Тогда уравнение (4.33) принимает вид
Для рассматриваемой удлиненной пластины можно предположить, что при потере устойчивости изгиб происходит по цилиндрической поверхности . Тогда уравнение в частных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
С точностью до обозначений оно тождественно линеаризованному уравнению для прямого стержня постоянной изгибной жесткости , сжатого продольной силой Р (см. § 13):
Такое совпадение достаточно очевидно: задача об устойчивости пластины в рассматриваемом случае эквивалентна задаче об устойчивости полоски единичной ширины (рис. 4.8, б) с изгибной жесткостью , сжатой продольной силой .
Решения уравнения, полученные для стержня, можно перенести на рассматриваемую задачу устойчивости удлиненной пластины. В частности, если продольные края пластины свободно оперты, то можно записать . Наименьшее собственное значение, равное критическому значению нагрузки, получим при
При этом форма изогнутой поверхности пластины при потере устойчивости описывается (с точностью до масштаба) зависимостью .
При других условиях закрепления продольных сторон пластины, как и для стержня постоянной изгибной жесткости, получим
где С — коэффициент, который находят из решения соответствующей задачи для стержня (см. § 13). Первая собственная функция задачи устойчивости стержня дает форму изогнутой поверхности пластины при потере устойчивости.
В задачах устойчивости пластин результаты принято представлять в виде не критических нагрузок, а критических напряжений.
Так, в рассматриваемой задаче результат можно выразить через критические сжимающие напряжения
На эту формулу следует обратить особое внимание, так как из нее особенно хорошо видно, что потеря устойчивости тонких пластин при малых значениях отношения может происходить при низких напряжениях.
Переходя к другим случаям точного интегрирования основного линеаризованного уравнения, заметим, что решение, полученное для удлиненной пластины можно использовать и для пластины конечных размеров с двумя свободными краями (рис. 4.8, в). В этом случае с достаточной степенью точности можно принять . Однако граничные условия на свободных краях не будут точно удовлетворены. При это не повлияет на значения критических нагрузок.
Для прямоугольной пластины с конечным отношением сторон основное линеаризованное уравнение (4.33) допускает точное решение при следующих условиях.
1. Начальное напряженное состояние однородно:
2. Две противоположные стороны пластины (например, при ) свободно оперты, а граничные условия на двух других сторонах произвольны, но неизменны вдоль каждой из сторон.
В этом случае основное линеаризованное уравнение (4.33) принимает вид
Граничные условия при .
Поэтому решение уравнения (4.40) можно найти в следующей форме:
где — функции одной независимой переменной у. Подставив этот ряд в уравнение (4.40), после сокращения на получим систему обыкновенных независимых дифференциальных уравнений для функций
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по у.
Группируя соответствующие производные, можно записать
Решение этого однородного уравнения с постоянными коэффициентами не составляет принципиальных трудностей. Заметим, что аналогичное уравнение встречалось при исследовании устойчивости прямых стержней, связанных с упругим основанием (см. § 15).
Характеристическое уравнение имеет вид
откуда для каждого значения получаются четыре корня:
Общее решение уравнения (4.41) для каждого из значений будет
Подчиняя это решение четырем однородным граничным условиям (по два граничных условия на каждой из сторон пластины, параллельных оси ), получаем систему четырех однородных линейных уравнений относительно четырех неизвестных . Равенство нулю определителя этой системы приводит к уравнению, дающему возможность найти собственные значения задачи. Перебирая различные числа полуволн , находим то из них, которое приводит к наименьшему собственному значению задачи. Оно будет критическим. Рассмотрим подробнее несколько частных случаев.
Пластина равномерно сжата в одном направлении (рис. 4.9, а). В этом случае . Учитывая зависимость (4.38) и предполагая, что при закреплении краев пластины и повышается значение получаем неравенство
Тогда решение уравнения (4.41) для каждого можно представить в таком виде:
Заметим, что неравенство (4.42) может не выполняться только в тех редких случаях, когда края пластины, параллельные оси , соединены с более «слабыми» сжатыми элементами. Например, неравенство (4.42) может не выполняться для пластины, один край которой свободен, а другой соединен с более тонкой пластиной, сжатой в направлении оси х.
Рассмотрим устойчивость прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру. Граничные условия при и :
В данном случае нетрудно предугадать решение уравнения (4.41), удовлетворяющее граничным условиям опирания, как это сделано в § 15 для шарнирно-опертого стержня на упругом основании. Для всех других вариантов граничных условий такое угадывание невозможно. Поэтому получим решение задачи устойчивости свободно опертой пластины общим путем, справедливым для всех других пластин, сжатых в одном направлении и свободно опертых вдоль краев .
Подчинение общего решения (4.43) граничным условиям (4.44) приводит к системе четырех уравнений для каждого :
Для действительных значений два первых уравнения дают . Тогда оставшиеся два уравнения принимают вид
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем .
Поскольку — действительные величины, из этого равенства следует, что . Тогда . Таким образом, отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие всем граничным условиям решения возможны только при , т. е. при , и имеют вид (для каждого )
Используя формулу для , получаем собственные значения нагрузки :
и находим собственные функции задачи
На рис. 4.9, а и б показан вид функций .
Для определения критического значения нагрузки необходимо выяснить, при каких дияпо формуле (4.45) можно найти наименьшее значение .
Так как число полуволн входит только в числитель, то, очевидно, наименьшее значение может быть при . Учитывая это, перепишем формулу (4.45):
Дальнейший анализ удобно проводить с помощью графиков, аналогичных тем, которые использовались при исследовании задачи устойчивости стержня, связанного с упругим основанием (стр. 101). Последовательно принимая и т. д., получаем
На рис. 4.10, а приведены соответствующие графики. Участки кривых, лежащие ниже точек пересечения, будут давать наименьшие и, следовательно, критические значения . Приравнивая значения , нетрудно установить, что соответствующие им кривые пересекаются при .
Окончательный результат обычно представляют в виде
или через критические сжимающие напряжения
где — коэффициент, зависящий от отношения сторон пластины (рис. 4.10, а, сплошная линия).
В последних двух формулах в качестве характерного размера пластины принята ширина , а не длина а, как это сделано в формуле (4.38). Такая запись расчетных формул удобна при , когда размер b существенно влияет на критические значения нагрузки.
Если (пластина сжата вдоль сторон), то расчетные формулы удобнее представить в виде (при ):
Из последних зависимостей, в частности, видно, что если ограничиться точностью порядка 5%, то примерно при влиянием закреплений коротких сторон пластины можно пренебречь и расчет вести по формуле (4.38).
При коэффициент практически перестает изменяться с ростом отношения тогда можно принять .
В этом случае число полуволн , образующихся при потере устойчивости пластины на ее поверхности, примерно равно отношению . Таким образом, удлиненная пластина при потере устойчивости как бы делится на ряд квадратных свободно опертых по всему контуру пластин (рис. 4.10, б), для каждой из которых Тогда становится ясным, что увеличение размера путем «наращивания» квадратных пластин не приводит к изменению критической нагрузки.
В такой же последовательности с использованием зависимости (4.43) решают задачи устойчивости пластин при любых других вариантах закрепления краев том числе и при упругом закреплении, при условии, что по краям пластина свободно оперта, выполняется неравенство (4.42) и . Окончательные расчетные формулы имеют вид (4.46), но коэффициенты в этих формулах иные. На рис. 4.11 приведены зависимости коэффициентов Для основных вариантов закрепления краев пластины. Следует отметить, что при неподвижно закрепленных относительно поперечного прогиба w краях пластины коэффициент Пуассона не входит в граничные условия. Поэтому коэффициенты не зависят от . Но для пластин с одним свободным краем (две нижние кривые на рис. 4.11) коэффициент Пуассона непосредственно фигурирует в граничных условиях. Поэтому для пластин со свободным краем коэффициенты зависят от и, приводя конкретные числовые значения этих коэффициентов, следует указывать, для каких значений они получены.
В заключение заметим, что при выполнении граничных условий свободного опирания по краям аналогичное решение можно получить и в случае ; только вместо представления решения в виде (4.43) нужно пользоваться общим решением уравнения (4.41).
Рассмотрим прямоугольную пластину, равномерно сжатую в двух направлениях (рис. 4.12, а). В том случае, когда и выполняются граничные условия рассмотренной сейчас задачи, можно применять намеченную выше общую схему решения. Для упрощения расчетов ограничимся решением задачи устойчивости прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру. Для такой пластины, равномерно сжатой в одном направлении, выше найдена система собственных функций. В рассматриваемом случае решение уравнения (4.40) можно искать в виде
Система найденных собственных функций полная, поэтому, разыскивая решение в таком виде, можем быть уверены в том, что получим все собственные функции решаемой задачи.
Подставив в уравнение (4.40) и сократив произведение , входящее во все слагаемые, получим уравнение
Для возможности существования , не равного нулю, выражение в фигурных скобках должно быть равно нулю. Это условие дает выражение, определяющее собственные значения задачи
Рассмотрим несколько частных случаев. Например, при из (4.47) получим собственные значения
Очевидно, наименьшее собственное значение, равное критическому, будет при следовательно,
Независимо от отношения сторон пластины она будет терять устойчивость по форме
В частности, для квадратной пластины при
При сжатии квадратной пластины равными усилиями в двух направлениях оказывается в 2 раза меньше по сравнению с в случае сжатия пластины в одном направлении.
Если сжимающие нагрузки считать возрастающими пропорционально одному параметру и обозначить , где — фиксированная величина, то из выражения (4.47) можно получить следующие собственные значения задачи:
При наименьшее значение может быть только при . Следовательно,
Для каждого отношения сторон и каждого значения число полуволн следует подбирать из условия минимума , подобно тому, как это делалось для пластины, сжатой в одном направлении. Для удлиненной пластины при сжатие в направлении у не будет влиять на устойчивость пластины. В этом случае, как при сжатии в одном направлении, получаем .
При других граничных условиях решение получается значительно более громоздким, но результаты качественно аналогичны полученным выше: для пластины с конечным отношением сторон при сжатии в одном направлении уменьшаются критические усилия в другом направлении, а для удлиненных пластин сжатие в продольном направлении не влияет на критические усилия сжатия в поперечном направлении.
Если прямоугольная пластина равномерно сжата в одном направлении и равномерно растянута в другом направлении, т. е. если , то для пластины со свободно опертым контуром можно воспользоваться результатами решения предыдущей задачи. Для этого достаточно изменить знак в выражении (4.47):
При получаем собственные значения
Наименьшее значение может быть только при . Далее необходимо подобрать значение , обеспечивающее наименьшее собственное значение нагрузки. Последовательно принимая , получаем .
Следовательно, для квадратной пластины, сжатой в одном направлении и растянутой в другом равными по абсолютной величине усилиями ,
Потеря устойчивости происходит по форме
Подобный анализ нетрудно провести и для любого другого отношения сторон пластины и при любых соотношениях между сжимающей и растягивающей нагрузками. Во всех случаях для пластин с конечным отношением сторон при растяжении в направлении одной оси увеличиваются критические значения сжимающей нагрузки в направлении другой оси. Исключение составляет случай потери устойчивости пластины по развертывающейся поверхности (удлиненная пластина и пластина с двумя свободными краями). При этом растягивающие усилия не влияют на критические сжимающие усилия и при любых растягивающих усилиях можно пользоваться формулой (4.38).
Результаты решения двух последних задач можно объединить одним графиком, дающим критические сочетания как сжимающих, так и растягивающих усилий . Для квадратной пластины такой график приведен на рис. 4.12, б. Участки прямых, показанные сплошной линией характеризуют критическое сочетание безразмерных усилий ломаная линия, состоящая из этих участков, ограничивает область устойчивости рассматриваемой пластины при комбинированном нагружении усилиями (см. § 6). Величины равны критическим нагрузкам при сжатии в направлении оси или у и определяются формулой (4.46) при .
Аналогичный график нетрудно построить при любых других отношениях сторон прямоугольной пластины. В результате получится ломаная линия, дающая критические сочетания и, следовательно, отделяющая область устойчивости пластины от области неустойчивости. Начало координат принадлежит, конечно, к первой из этих областей.
Пусть длины сторон прямоугольной пластинки (рис. 102). Поместим начало координат в одной из вершин прямоугольного контура и направим оси по сторонам пластинки. Интенсивность сплошной изгибающей нагрузки в общем случае будет переменной, и мы ее определим некоторой функцией Тогда дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки напишется так:
Так как края пластинки оперты, то на контуре прогиб и изгибающие моменты должны равняться нулю. Следовательно, при
Мы удовлетворим всем условиям на контуре пластинки, если возьмем для прогиба пластинки выражение
где — целые числа. Подставив выражение (b) в левую часть уравнения (а), получим выражение
и уравнение будет удовлетворено лишь в том случае, если интенсивность изгибающей нагрузки в каждой точке пропорциональна принятому прогибу Чтобы получить решение для любого распределения сплошной нагрузки, воспользуемся тем обстоятельством, что любую форму искривленной поверхности нашей пластинки можно представить в виде двойного бесконечного ряда, члены которого будут иметь вид В таком случае можно положить
Подставляя это выражение в уравнение (а), находим, что коэффициенты ряда (с) должны быть подобраны так, чтобы было выполнено условие
Для определения этих коэффициентов воспользуемся известным приемом. Помножим обе части равенства (d) на и потом проинтегрируем в пределах от до Принимая во внимание, что
перепишем равенство (d) таким образом:
В левой части суммирование выполняется по число остается постоянным и равным Чтобы привести полученный ряд к одному члену, помножим обе части равенства (d) на и проинтегрируем в пределах от до а.
При этом пропадут все члены ряда, кроме того, для которого мы
в заключение получим
Если закон распределения изгибающей нагрузки задан, мы вставляем соответствующую функцию в равенство выполняя интегрирование, получаем иекомое значение коэффициента Например, в случае равномерной нагрузки интенсивности будем иметь
Уравнение дает нам
при тип нечетных,
при четных. Подставляя найденные выражения для в общую формулу (с) получаем для прогиба пластинки под действием равномерной нагрузки такое выражение:
Если пластинка изгибается сосредоточенной силой приложенной в точке то функция равна нулю по всей поверхности пластинки, кроме точки приложения силы, и мы найдем из
В этом случае получаем для прогиба выражение
Подобным же образом легко может быть получено выражение для при всякой другой нагрузке.
Остановимся теперь подробнее на случае действия равномерно распределенной нагрузки, с которым часто приходится встречаться при технических расчетах.
Имея общее выражение (221) для прогиба и полагая в нем получаем значение стрелки прогиба в центре пластинки
Подставляя вместо его выражение и вычисляя значение двойной суммы при заданном соотношении между сторонами пластинки, можем представить максимальный прогиб так:
Ряд значений коэффициента а приводим в табл. 26 Из нее видно, что с увеличением отношения величина прогиба прямоугольной пластинки быстро приближается к прогибу пластинки, изгибаемой по цилиндрической поверхности (этот изгиб будем иметь при При разность в прогибах составляет примерно 6,5% прогиба пластинки. При эта разность меньше 0,5%.
Для изгибающих моментов на основании (198) будем иметь
Здесь через обозначено отношение
На основании полученных выражений заключаем, что для двух пластинок с одинаковым отношением сторон напряжения в соответствующих точках будут одинаковы, если только равны полные нагрузки, лежащие на пластинках. В силу симметрии заключаем, что наибольшие напряжения имеют место
в центре пластинки. Полагая находим
Значения коэффициентов и при разных соотношениях между сторонами приведены в табл. 26. С увеличением длины пластинки значение максимального изгибающего момента приближается к величине, соответствующей изгибу пластинки по цилиндрической поверхности. Если при расчет пластинки заменить расчетом балки-полоски длины а, то в величине максимального момента получим погрешность, составляющую около 5%.
При погрешность эта составит лишь
Для определения перерезывающих сил воспользуемся формулами (207)
Подставив в эти формулы вместо его значение и произведя соответствующие вычисления, убедимся, что наибольшие значения перерезывающих сил имеют место в средних точках сторон пластинки. Эти максимальные значения могут быть представлены в таком виде:
значения коэффициентов приведены в табл. 26.
Для получения давлений, передаваемых пластинкой на контур, нужно к присоединить еще дополнительные усилия и (см. § 51), обусловленные скручивающим моментом Давления в средних точках сторон контура пластинки представятся так:
Коэффициенты вычисленные для различных значений приведены в табл. 26. Кроме того, на рис. 103 представлено изменение полных давлений и давлений, соответствующих скручивающим моментам вдоль стороны квадратной пластинки. На рис. 104 представлено изменение вдоль контура перерезывающих сил для пластинки с отношением сторон Вычисления показывают, что опорные реакции, соответствующие уравновешивают нагрузку, лежащую на пластинке. Дополнительные реакции от скручивающих моментов уравновешивают сосредоточенные реактивные силы действующие в вершинах пластинки.
Полное давление, соответствующее перерезывающим силам и передающееся на короткую сторону пластинки, медленнно возрастает с увеличением длинной стороны и в предельном случае превосходит то давление, которое мы имеем для квадратной пластинки (т. е. величину примерно на 8,5%.
Таблица 26 (см. скан)
Полное давление на ту же сторону контура от скручивающих пар составляет в случае квадратной пластинки 26% и в случае весьма длинной пластинки 35% того давления, которое обусловлено усилиями
На длинных сторонах контура давление, соответствующее скручивающим парам играет меньшую роль. Его значение убывает с возрастанием длины пластинки, и, например, при оно составляет лишь около 8% давления, обусловленного силами Из рис. 104 видно, что при давление в средней части длинных сторон контура остается почти постоянным и близким к давлению, соответствующему бесконечно длинной пластинке.
Реактивные силы сосредоточенные в вершинах пластинки, определятся из формулы
Подставляя сюда вместо выражение (221), получаем для значения, приведенные в последней строке табл. 26.
Решение Навье можно применить при исследовании колебаний прямоугольной пластинки. Чтобы получить соответствующее дифференциальное уравнение, нужно в правую часть уравнения (а) вместо изгибающей нагрузки подставить силы инерции. Если через мы обозначим вес пластинки, приходящийся на единицу поверхности, то уравнение для колебаний напишется так:
Мы удовлетворим условиям на контуре пластинки, если положим
Подставляя это выражение для прогиба в уравнение (е), получаем для частоты выбранного типа колебаний значение
Исследование собственных и вынужденных колебаний пластинок может быть выполнено в рассматриваемом случае так же, как это было сделано при рассмотрении колебаний балок с опертыми концами.
Изгиб прямоугольных пластинок
Прямоугольный изгиб пластины Теория изгиба прямоугольных пластин более совершенна, чем теория круглых пластин. Поэтому показана только окончательная формула изгибающего момента и прогиба below. In выводя эти формулы, отклонение мало по сравнению с толщиной пластины、
- Что конец пластины при изгибе может свободно перемещаться в плоскости пластины, то есть, сила не действует на центральной плоскости пластины. Пластины свободно опертой по краям. Если нагрузка распределена равномерно, то максимальное отклонение происходит в середине пластины (рис. 73) и может быть выражено следующим уравнением: aa4 (116 )） В * Где a-короткая сторона пластины, h-толщина пластины, а A-числовой коэффициент, зависящий от соотношения b / A.
- Со стола. 6 > > > > для 3 Вы можете видеть, что максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент не отличаются существенно от того же значения, вычисленного с помощью b / a = co. Это означает, что в случае длинной прямоугольной пластины (b / a> 3) вспомогательным влиянием короткой стороны можно пренебречь и с достаточной точностью»использовать»формулу, выведенную в пунктах.
Несколько значений коэффициентов а и Р приведены в таблице. 7. Значения приведены в таблице. 7. защемление краев пластины указывает на то, что максимальное отклонение пластины значительно уменьшается.
В этой таблице также показано максимальное отклонение при защемлении кромки и максимальный изгибающий момент при k / o = 2 практически совпадает с таким же значением, полученным при. Б / ко. Такая ситуация вполне оправданна Модификация уравнения, полученного в разделе 14 для изгиба вдоль цилиндрической грани при расчете относительно длинной прямоугольной пластины (b / a> 2) с защемленными краями.
Коэффициент равномерно нагруженных прямоугольных пластин с защемленными краями Б / у » 1.00 1.26 1.75 1.60 на 2.00 с Р = 0.0138 0.0513•0.0199 0.0665 ОО ФФ се 0.0264 0.0806 0.0277 0.0829 0.0284 0.0833 2 противоположные пластины свободно поддерживаются, 3-я сторона зажата, а 4-я сторона свободна(рис. 74).Если нагрузка распределена равномерно, то максимальное отклонение находится в центре На свободной стороне, то есть в точке А.
Это отклонение может быть выражено следующим уравнением: Исправлено Диаграмма 74. Ф-и F-аев (119 )） Значение числовой модуль вывода этого уравнения МНС Результаты приведены в таблице. 8.Максимальный изгибающий момент M%также возникает в точке а, величина которой определяется по формуле. (А ^ Макс ^ п!^ *- * Численно максимальный изгибающий момент M%возникает в точке B, то есть в середине герметизируемой стороны, и его значение выражается формулой (Пик » = М*.(121） Рисунок 75.
Несколько значений коэффициентов P и P приведены в таблице. 8. Таблица 8 Коэффициент равномерно нагруженной прямоугольной пластины показан на рисунке 74 «Л» -! 1 3 1 2 2 3 i а = 1,37 1,03 0,635 0,36 0,123 0 0.0078 0.0293•0.0558 0.0972 0.500 0.428 0.319 сек, 227 0.119 Из этой таблицы видно, что если a больше b, то промежуточная полоса AB приближается к состоянию консоли, фиксируется в точке B и равномерно нагружается.
Равномерно нагруженные, свободно размещенные на ряде равномерно расположенных опор (рис. 75) в этом случае можно получить соответствующую аппроксимацию закона наибольшего напряжения и распределения напряжений вблизи опоры следующим образом: рассмотрим участок пластины, находящийся близко к опоре, ограниченный радиусом окружности d = 0,22 С.
Где с-расстояние между опорами), так как круглая пластина, свободно опирающаяся по внешнему контуру, с силой P = ^c ® к центру, действующей вверх, равномерно распределенная нагрузка на прочность уменьшается. Эти нагрузки показаны на рисунке. 75, б). Вы можете решить эту проблему с помощью метода, описанного в пункте 23. Н. м. Вестер-гаард а) исследовал изгиб прямоугольных пластин на упругом основании, связанный с измерением напряжений бетонных дорог.
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Читайте также: