Металлические конструкции основные формулы
Обновлено: 17.05.2024
Элементы металлических конструкций в процессе эксплуатации подвергаются действию растяжения, сжатия, изгиба, кручении и различных комбинаций этих воздействий. Рассмотрим методы расчета на прочность элементов металлических конструкций т.е. методы расчета по первому предельному состоянию.
Центрально-сжатые и центрально - растянутые элементы. Ранее для вычисления напряжений в этом случае была выведена формула ( 3.1 ). Эту формулу легко превратить в соотношение для проверки прочности.
где Аn - площадь поперечного сечения элемента за вычетом ослаблений; N - усилие от действия расчетных нагрузок; γc - коэффициент условий работы; R - расчетное сопротивление. Если расчет ведется по упругой стадии, R = Ry. Если расчет ведется для условий, когда возможна эксплуатация конструкции и после достижения материалом напряжений текучести, в качестве расчетного сопротивления выбирается максимальное значение из величин Ry и Ru / γu . Здесь Ry и R u - расчетные сопротивления материала, соотвественно, по пределу текучести и по временному сопротивлению;
γu = 1,3 - коэффициент надежности по материалу при расчете конструкций по временному сопротивлению.
Относительно разницы между растяжением и сжатием. Формула (4.1) для растяжения абсолютно корректна. Что же касается сжатия, то это соотношение справедливо только для коротких стержней. Известно, что стержни при сжатии, до исчерпания прочности самого сечения, могут потерять устойчивость, см. рис.4.1. Следует заметить, что хотя это напряженное состояние называется «центральным сжатием» на практике оно никогда не реализуется. Происходит это по многим причинам. Во-первых, нагрузка никогда не может быть приложена точно в центре сечения, так как все конструктивные элементы выполняются с допусками. Во-вторых, материал в сечении и по длине стержня всегда неоднороден. Эти и другие причины приводят к тому, что сжимающая сила оказывается всегда приложенной с некоторым эксцентриситетом к центру тяжести поперечного сечения и этот эксцентриситет создает дополнительный изгибающий момент, приводящий в итоге к потере устойчивости.
Рис. 4.1. Работа центрально сжатого стержня:
а - стержень и его расчетная схема, б – зависимость между нагрузкой и прогибом стержня,
в - сжатие короткого стержня.
Такое напряженное состояние стержня при действии сжимающей силы называется продольным изгибом. Поэтому формула проверки прочности стержня при сжатии будет
выглядеть так: σ = N / ( φ A ) ≤ Ry γc , ( 4.2 )
где: φ - коэффициент продольного изгиба; A – площадь поперечного сечения стержня. Коэффициент φ всегда меньше 1 и зависит от гибкости стержня λ. Гибкость стержня зависит от способа его закрепления по концам и от геометрических характеристик сечения: λ =где - расчетная длина стержня; μ - коэффициент расчетной длины;
i =При действии изгиба производится проверка по нормальным и касательным напряжениям. При расчете по упругой стадии проверка нормальных напряжений производится по соотношению преобразованному из соотношения ( 3.2 ):
где M - расчетный изгибающий момент; Wn,min - момент сопротивления сечения
с учетом ослаблений; σmax - напряжение в крайних волокнах поперечного сечения.
Касательные напряжения проверяются на основании формулы Н.Г. Журавского:
τ = Q S / ( J t ) ≤ Rs γc , ( 4.5 )
где Q - поперечная сила от действия расчетных нагрузок; S - статический момент сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси; J - момент инерции сечения относительно нейтральной оси; t - толщина стенки в плоскости сдвига; Rs - расчетное сопротивление металла сдвигу.
При действии изгибающих моментов в двух плоскостях ( случай косого изгиба) проверка нормальных напряжений выполняется по соотношению:
где Mx , My, Wnx, Wny - изгибающие моменты и моменты сопротивления сечения относительно осей изгиба X и Y.
По мере роста нагрузки в сечении изгибаемого элемента могут развиваться пластические деформации. Развитие пластических деформаций в сечении изгибаемого элемента иллюстрируется эпюрами на рис. 4.2.
Рис.4.2. Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии
пластических деформацйий в материале
а – в упругой стадии, б – в упруго-пластической, в – шарнир пластичности, г – при ограниченной пластичности
При проверке прочности с учетом пластических деформаций, формула получается из соотношения ( 4.4 ) заменой величины Wn на величину Wn,пл = C Wn .
где коэффициент c учитывает увеличение момента сопротивления и определяется по нормам. Кроме того это соотношение разрешается применять только для случаев
когда τ ≤ 0,9 Rs . А проверка прочности на сдвиг в этом случае производится только в опорных сечениях разрезных балок, там где изгибающие моменты равны нулю. Для тавровых балок проверка производится при τ ≤ 0,5 Rs по соотношению
где t - толщина стенки; h - высота балки.
Для случая косого изгиба при τ ≤ 0,5 Rs проверка производится по соотношению:
где Сx и Сy коэффициенты зависящие от формы сечения; β - коэффициент меньший единицы и зависит от величины касательного напряжения τ. При работе элементов металлических конструкций возможны случаи сложного напряженного состояния когда совместно действуют изгиб и усилия растяжения или сжатия. В общем случае, когда действует осевая сила N и моменты в двух направлениях Mx и My предельную несущую способность проверяют по формуле:
где An , Wnx , Wny - площадь и соответстующие моменты сопротивления нетто поперечного сечения стержня; Сx и Сy - коэффициенты, учитывающие увеличение несущей способности материала при развитии пластических деформаций; n - показатель степени. Три последние величины принимаются в соответстии с действующими нормами. Для конструкций работающих в упругой стадии и в случаях когда развитие пластических деформаций недопустимо, в проверочной формуле следует положить n = Сx = Сy= 1 и соотношение ( 4.10 a ) перейдет в соотношение для проверки по упругой стадии работы материала при действии нормальной силы и изгиба в двух плоскостях:
В случае действия сжимающей силы и изгиба в двух направлениях может также произойти потеря устойчивости и при этом необходимо произвести соответствующие проверки. Потеря устойчивости может произойти как в плоскости действия момента, так и из плоскости, это зависит от соотношения гибкостей стержня в этих плоскостях. Формула проверки устойчивости в этом случае аналогична формуле проверки для случая продольного изгиба: N / ( φe A ) ≤ Ry γc , ( 4.11 )
Однако коэффициент потери устойчивости φe зависит в данном соотношении от приведенной гибкости ef . Способ вычисления этих величин приведен в нормах. Проверка на устойчивость из плоскости действия момента производится по формуле:
Основы расчета металлических конструкци по предельным состояниям. Виды предельных состояний. Нагрузки и воздействия
1.Метод расчета по предельным состояниям.При расчете по этому методу конструкция рассматривается в своем расчетном предельном состоянии. За расчетное предельное состояние принимается такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям, т. е. либо теряет способность сопротивляться внешним воздействиям, либо получает недопустимую деформацию или местное повреждение.
Для стальных конструкций установлено два расчетных предельных состояния:
первое расчетное предельное состояние, определяемое несущей способностью (прочностью, устойчивостью или выносливостью); этому предельному состоянию должны удовлетворять все стальные конструкции;
второе расчетное предельное состояние, определяемое развитием чрезмерных деформаций (прогибов и перемещений); этому предельному состоянию должны удовлетворять конструкции, в которых величина деформаций может ограничить возможность их эксплуатации.
Первое расчетное предельное состояние выражается неравенством
Установленные нормами (СНиП) наибольшие величины нагрузок, допускаемые при нормальной эксплуатации конструкций, называются нормативными нагрузками Рн (смотрите приложение I, Нагрузки и коэффициенты прегрузки).
Расчетные нагрузки Р, на которые рассчитывается конструкция (по предельному состоянию), принимаются несколько больше нормативные. Расчетная нагрузка определяется, как произведение нормативной нагрузки на коэффициент перегрузки n (больший единицы), учитывающий опасность превышения нагрузки по сравнению с ее нормативным значением вследствие возможной изменчивости нагрузки:
Правая часть основного уравнения (1.I) — несущая способность конструкции Ф — зависит от предельного сопротивления материала силовым воздействиям, характеризуемого механическими свойствами материала и называемого нормативным сопротивлением Rн, а также от геометрических характеристик сечения (площади сечения F, момента сопротивления W и т. п.).
Для строительной стали нормативное сопротивление принято равным пределу текучести,
За расчетное сопротивление стали R принимают напряжение, равное нормативному сопротивлению, умноженному на коэффициент однородности k (меньший единицы), учитывающий опасность снижения сопротивления материала по сравнению с нормативным его значением вследствие изменчивости механических свойств материала
Для обычных малоуглеродистых сталей k = 0,9, а для сталей повышенного качества (низколегированные) k = 0,85.
Таким образом, расчетное сопротивление R — это напряжение, равное наименьшему возможному значению предела текучести материала, которое и принимается для конструкции как предельное.
Кроме того, для безопасности сооружения должны быть учтены все возможные отклонения от нормальных условий, вызванные особенностями работы конструкции (например, условия, способствующие появлению повышенной коррозии и т. п.). Для этого вводится коэффициент условий работы m, который для большинства конструкций и соединений принимается равным единице (смотрите Коэффициенты условий работы mприложение).
Таким образом, основное расчетное уравнение (1.I) будет иметь следующий вид:
при проверке конструкции на прочность при действии осевых сил или моментов
где N и M — расчетные осевые силы или моменты от расчетных нагрузок (с учетом коэффициентов перегрузки); Fнт — площадь сечения нетто (за вычетом отверстий); Wнт — момент сопротивления сечения нетто (за вычетом, отверстий);
при проверке конструкции на устойчивость
Обычно при расчете намеченной конструкции сначала подбирают сечение элемента и потом проверяют напряжение от расчетных усилий, которое не должно превышать расчетного сопротивления, умноженного на кoэффициeнт условий работы.
Поэтому наряду с формулами вида (4.I) и (5.I) будем записывать эти формулы в рабочем виде через расчетные напряжения, например:
при проверке на прочность
при проверке на устойчивость
где σ — расчетное напряжение в конструкции (от расчетных нагрузок).
Коэффициенты φ и φб в формулах (8.I) и (9.I) правильнее записывать в правой части неравенства, как коэффициенты, снижающие расчетные сопротивления до критических напряжений. И только в целях удобства ведения расчета и сравнения результатов они записываются в знаменателе левой части этих формул.
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ
Под предельным состоянием конструкции понимают такое ее состояние, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям.
Различают три вида предельных состояний: а) по несущей способности (прочности, устойчивости и усталости). При достижении этого состояния конструкция теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или получает такие остаточные изменения, при которых она перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям; б) по развитию чрезмерных деформаций от статических или динамических нагрузок, при которых в конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость, появляются необратимые деформации или колебания чрезмерной амплитуды, так что конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям; в) по образованию и развитию трещины, когда в конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость, появляются крупные трещины, вследствие чего дальнейшая эксплуатация конструкции становится невозможной (потеря требуемой водонепроницаемости, опасность коррозии из-за повреждения отделочного слоя и т. п.).
3. Нагрузки и воздействия.
Классификация и характеристика нагрузок и воздействий.
По времени действия нагрузки и воздействия относятся к постоянным (когда направление,место и время их приложения можно считать неизменными), временным длительным и кратковременным (нагрузки, которые в отдельные периоды строительства и эксплуатации могут отсутствовать) и особым.
К постоянным нагрузкам и воздействиям относятся: вес постоянных частей зданий и сооружений, вес и давление грунтов, воздействие предварительного напряжения.
К временным длительным нагрузкам и воздействиям относятся: вес стационарного оборудования; вес жидкостей и сыпучих материалов в емкостях; давление газов и жидкостей в резервуарах, газгольдерах и трубопроводах; нагрузка на перекрытия складов, библиотек, архивов и подобных помещений, длительные температурные технологические воздействия и т. п.
К кратковременным нагрузкам и воздействиям относятся: атмосферные - снеговые, ветровые, гололедные нагрузки и температурные климатические воздействия; нагрузки от подъемно-транспортного оборудования; нагрузки на перекрытия жилых и промышленных зданий от массы людей, мебели и подобного легкого оборудования; ремонтных материалов в зонах обслуживания и ремонта оборудования; нагрузки и воздействия, возникающие при перевозке строительных конструкций, монтаже и перестановке оборудования и т. п.
К особым нагрузкам и воздействиям относятся: сейсмические и взрывные воздействия; нагрузки и воздействия, вызываемые неисправностью или поломкой оборудования и резкими нарушениями технологического процесса; воздействия просадок основания, обусловленных коренным изменением структуры грунтов (деформаций просадочных грунтов при замачивании или вечномерзлых грунтов при оттаивании, просадка грунтов в районах горных выработок и карстовых районах).
1) Нормативные нагрузки.
Характеристиками нагрузок являются их нормативные значения, принимаемые на основе статистических данных или по номинальному значению.
Постоянные нагрузки и воздействия. Нормативные значения нагрузок от массы конструкций определяются по данным стандартов и заводов-изготовителей или по размерам, устанавливаемым в процессе проектирования на основе опыта предыдущих проектировок и справочных материалов. Нагрузка от грунтов устанавливается в зависимости от вида грунта и его плотности. Нормативные воздействия предварительного напряжения конструкций устанавливают в процессе проектирования.
Временные длительные нагрузки и воздействия на перекрытия складских помещений, архивов, библиотек и т. п. принимают по СНиП; вес оборудования - по стандартам, каталогам или по проектному заданию; данные по газам, длительные температурные и другие впялей-ствия на конструкции устанавливают в зависимости от работы оборудования и указывают в проектных заданиях.
Кратковременные нагрузки и воздействия на перекрытия жилых и общественных зданий от массы людей, мебели и т. п., а также на перекрытия производственных площадок устанавливают в соответствии с действующими инструктивно - нормативными документами. Нагрузки от серийного подъемно-транспортного оборудования принимают по соответствующим стандартам, для индивидуального - по данным заводских паспортов.
2)Расчетные нагрузки и коэффициенты перегрузки (надежности по нагрузке).
Коэффициент п учитывает изменчивость нагрузок, зависящую от ряда факторов, вследствие случайных отступлений от заданных условий нормальной эксплуатации. Коэффициенты надежности по нагрузке устанавливают после обработки статистических данных наблюдений за фактическими нагрузками,- которые отмечены во время эксплуатации сооружений. Эти коэффициенты зависят от вида нагрузки, вследствие чего каждая нагрузка имеет свое значение коэффициента.
Коэффициенты перегрузки характеризуют только изменчивость нагрузок. Они не учитывают динамического воздействия нагрузки, которое характеризуется специальным коэффициентом динамичности, представляющим собой отношение наибольшего напряжения (прогиба) при динамическом воздействии к напряжению (прогибу) при статическом воздействии той же нагрузки. Коэффициенты не учитывают и перспективного возрастания нагрузки с течением времени, например возрастания временной нагрузки на подкрановые балки при изменении грузоподъемности кранов и т. п.
Нагрузки воздействуют на конструкции не раздельно, а в сочетании друг с другом.
Различают следующие сочетания нагрузок:
а) основные сочетания, состоящие из постоянных и временных длительных и кратковременных нагрузок и воздействий;
б) особые сочетания, состоящие из постоянных, временных длительных, кратковременных и одной из особых нагрузок и воздействий.
Согласно главе СНиП П-6-74 "Нагрузки и воздействия", при расчете конструкций на основные сочетания, включающие только одну кратковременную нагрузку, коэффициент сочетания nc принимают равным единице. При расчете на основные сочетания, включающие не менее двух кратковременных нагрузок (воздействий), значения кратковременных нагрузок (воздействий) умножают на коэффициент сочетаний, равный 0,9.
При расчете конструкций и оснований на особые сочетания нагрузок и воздействий значения кратковременных нагрузок и воздействий или соответствующие им усилия умножают на коэффициент сочетания, равный 0,8 (кроме случаев, оговоренных в нормах проектирования зданий и сооружений в сейсмических районах).
Основные формулы для расчета элементов металлических конструкций по первой группе предельных состояний
Для расчета элементов металлических конструкций при действии статических нагрузок различного вида используют следующие зависимости:
1. Расчет на прочность элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию следует выполнять по формуле
где σ – нормальные напряжения в элементе, МПа;
N – расчетное усилие, действующее в стержне, кН;
– площадь сечения стержня нетто (за вычетом ослаблений сечения стержня, например – отверстиями), м 2 ;
– расчетное сопротивление материала, МПа;
– коэффициент условий работы конструкции, характеризующий особенности нагрузки, изменчивости среды и др.
Условие (3.8) позволяет решать три задачи:
– выполнять проверочный расчет – непосредственно по формуле (3.8);
– подбирать требуемое сечение (проектный расчет)
– определять предельную силу
2. Расчет на прочность элементов при поперечном изгибе выполняется по зависимостям:
где , – расчетный изгибающий момент и поперечная сила, кН и кН∙м соответственно;
– момент сопротивления поперечного сечения элемента, м 3 ;
– максимальные касательные напряжения в элементе конструкции от расчетных силовых воздействий, МПа;
– статический момент сдвигающейся части сечения относительно нейтральной оси, м 3 ;
– момент инерции сечения относительно нейтральной оси, м 4 ;
– толщина сечения, в котором определяются напряжения, м.
– расчетное сопротивление материала при сдвиге, МПа.
3. При проверке на устойчивость центрально-сжатых элементов расчет сплошностенчатых элементов, подверженных центральному сжатию расчетной силой N, выполняется по формуле
где – коэффициент продольного изгиба (коэффициент уменьшения расчетного сопротивления сжатию).
Значения j можно вычислить по формулам:
В приведенных формулах – условная гибкость стержня, определяемая через гибкость стержня (подробнее см. в разделе по расчету колонн) так
здесь – модуль упругости стали (МПа).
Численные значения j для стали приведены в табл. А8 приложения А.
4. При проверке на прочность элементов, работающих на срез (сдвиг), используется формула (3.10)
5. При проверке на прочность элементов, находящихся в сложнонапряженном состоянии, одновременно подверженных действию нормальных и касательных (тангенциальных) напряжений,
где – эквивалентное (приведенное) напряжение, МПа.
6. При проверке на прочность оболочек, находящихся в двухосном напряженном состоянии,
где и – соответственно меридиональные и кольцевые напряжения.
Второе расчетное предельное состояние требует надлежащей жесткости конструкции с тем, чтобы величина относительной деформации не превышала допустимой.
Для элементов, воспринимающих действие осевой силы, это условие состоит в том, чтобы гибкость конструкции не превышала допустимой, т.е.
где – расчетная длина элемента, м;
– наименьший радиус инерции его сечения, м;
– допустимая гибкость элемента (см. таблицу А16).
При определении деформации возможная перегрузка не учитывается, т.е. принимается = 1.
ОСНОВЫ РАСЧЕТА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
Цель расчета строительных конструкций - обеспечить заданные условия эксплуатации и необходимую прочность при минимальном расходе материалов и минимальной затрате труда на изготовление и монтаж.
Строительные конструкции и основания рассчитывают на силовые и другие воздействия, определяющие их напряженное состояние и деформации по предельным состояниям.
Под предельными состояниями подразумевают такие состояния, при которых конструкции или основания перестают удовлетворять предъявляемым к ним в процессе эксплуатации или возведении требованиям, заданным в соответствии с назначением и ответственностью сооружений.
I группа предельных состояний - по потере несущей способности или полной непригодности к эксплуатации.
II группа предельных состояний - по непригодности к нормальной эксплуатации.
К I группе предельных состояний относятся:
1) потеря общей устойчивости формы;
2) потеря устойчивости положения;
3) вязкое, хрупкое, усталостное или иного характера разрушение;
4) разрушение под совместным воздействием силовых факторов и внешней среды;
5) качественное изменение конфигурации;
6) резонансные колебания;
7) текучесть материала, сдвиги в соединениях.
К предельным состояниям II группы относятся состояния, затрудняющие нормальную эксплуатацию или снижающие долговечность вследствие появления недопустимых перемещений (прогибов, осадок, углов поворота).
Для предельных состояний I группы предельное условие имеет вид:
где N - усилие в рассчитываемом элементе конструкции (функция нагрузок и воздействий);
Ф - предельное усилие, которое может воспринять рассчитываемый элемент (функция свойств материала и размеров элементов).
где ψ - коэффициент сочетаний;
γf - коэффициент надежности по нагрузке, учитывает возможное отклонение
нагрузок в неблагоприятную сторону (большую или меньшую);
γn - коэффициент надежности по назначению;
F H i- основная нормативная нагрузка, отвечающая условиям нормальной эксплуатации;
Ni - усилие при Fi = 1;
Fi - расчетная нагрузка.
где γс- коэффициент условий работы;
А- геометрическая характеристика сечения (площадь, момент сопротивления);
Rn- нормативное сопротивление:
Ryn- предел текучести стали, принимаемый равным значению предела текучести по ГОСТ и ТУ,
Run- временное сопротивление стали разрыву, принимаемое равным минимальному значению по ГОСТ и ТУ;
γm- коэффициент надежности по материалу, учитывает отличие сопротивления материала в конструкции от сопротивлений, определяемых испытанием контрольных образцов;
R - расчетное сопротивление:
Ry - по пределу текучести;
Ru - по временному сопротивлению.
Для предельных состояний II группы предельное условие может быть записано в виде:
где f - деформация или перемещение конструкции, возникающие в результате внешних нормативных воздействий на нее (функция нагрузок, материала и системы конструкций);
γn - коэффициент надежности по назначению, для большинства конструкций, γn =1;
fnp - предельные деформации или перемещения, ограничивающие нормальную эксплуатацию (функция назначения конструкции).
Читайте также: