Расчет напряжения в металле

Обновлено: 17.05.2024

В результате испытаний на растяжение (сжатие) можно получить основные данные о механических свойствах материала. Рассмотрим, как можно полученные результаты применить в практических расчетах инженерных конструкций на прочность.

Детали машин и других конструкций должны удовлетворять условиям прочности и жесткости. Размеры деталей необходимо подбирать такими, чтобы под действием приложенных нагрузок они не разрушались и не получали деформаций, превышающих допускаемые. В большинстве деталей машин остаточные деформации, как правило, не допускаются.

Заметные остаточные деформации появляются в пластичных материалах, когда напряжения достигают предела текучести . Разрушение наступает, когда напряжения достигают величины предела прочности ; при этом деформации хрупкого материала могут быть незначительными.

Итак, для деталей, изготовленных из пластичного материала, опасным напряжением можно считать предел текучести ; для деталей из хрупкого материала – предел прочности .

Естественно, что эти напряжения не могут быть приняты в качестве допускаемых. Их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения всегда были меньше предела пропорциональности.

Таким образом, допускаемое напряжение может быть определено по формуле:

где - опасное (предельное) напряжение

- нормативный коэффициент запаса прочности (т.е. предписываемый нормами проектирования и конструирования).

Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала (хрупкое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная) и некоторых общих факторов, имеющих место в той или иной степени во всех случаях.

К этим факторам относятся:

1. Неоднородность материала и, следовательно, различие его механических характеристик в образцах и реальных деталях.

2. Неточность задания величин внешних нагрузок.

3. Приближенность расчетных схем и некоторая приближенность расчетных формул.

4. Учет конкретных условий работы рассчитываемой конструкции.

5. Метод определения напряжений (степень точности этого метода).

6. Долговечность и значимость проектируемого сооружения или машины.

Эти факторы учитывает коэффициент запаса прочности , который иногда называют основным.

Коэффициент определяется опытным путем.

В каждой области техники уже сложились свои традиции, свои требования, свои методы и специфика расчетов, в соответствии с которыми и назначается коэффициент запаса прочности.

Величина нормативного коэффициента запаса прочности регламентируется для строительных конструкций - СНиП, для машиностроительных – внутриотраслевыми заводскими нормами.

Величина запаса прочности зависит от того, какое напряжение считается опасным.

Для пластичных материалов в случае статической нагрузки опасным напряжением, как уже сказано следует считать предел текучести, т.е.

где - коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести.

На основании данных длительной практики конструирования, расчета и эксплуатации машин и сооружений, величина коэффициента запаса прочности для сталей при статической нагрузке принимается равной .

Для хрупких материалов при статических нагрузках опасное напряжение – предел прочности, т.е.

где - коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности.

Величину коэффициента запаса прочности для хрупких материалов обычно принимают равной от . Допускаемые напряжения, получаемые по этой формуле, обычно называют основными допускаемыми напряжениями в связи с тем, что предел прочности определить проще, чем предел текучести.

Поэтому иногда и для пластичных материалов при определении допускаемых напряжений исходят из величины предела прочности, пользуясь формулой:

В этом случае, учитывая, что превышает на 50-70%, коэффициент запаса прочности для пластичных материалов принимают равным .

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям предполагает выбор нормативного коэффициента запаса прочности , который выбирается из таблиц, составляемых на основании большого числа экспериментальных исследований.

Однако иногда размеры конструкции или детали уже известны (заданы из эксплуатационных или других требований).

В этом случае расчетным путем определяют фактический коэффициент запаса прочности . Для этого рассчитывают в опасном сечении детали

и, зная для материала детали предельное напряжение или , определяют фактический коэффициент запаса:

- для хрупких материалов

- для пластичных материалов

Затем расчетный и нормативный коэффициенты сравнивают между собой, и дается заключение о работоспособности конструкции.

Выбор величины допускаемых напряжений очень важен, т.к. от правильного установления их значений зависят прочность и безопасность проектируемых конструкций, а также экономичность расчета.

Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений, принятые в настоящее время для наиболее распространенных материалов, приводятся в справочной литературе.

Конечной целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальных затратах материала.

Напряжения и прочность при изгибе

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент Mx

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:
где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
Ix — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y1=y2=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

WX — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
WX(1) и WX(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
Mmax — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре Mx;
[σ], [σ]р, [σ]с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).


Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [σ]с>[σ]р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.


Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
Sx отс — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
by — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.


Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Qmax:

где [τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

  1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
  2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
  3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда Mmax и Qmax действуют в одном и том же сечении балки).


При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.


Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Напряжения и деформации в металлах

Деформацией называется изменение размеров и формы тела под действием приложенных сил. Тело деформируется под действием приложенных к нему внешних сил или различными физико-механическими процессами, например, вследствие температурного воздействия или изменением объема отдельных кристаллитов при фазовых превращениях.
При этом в теле возникают внутренние напряжения. Напряжением называется отношение действующего усилия к площади поперечного сечения тела или образца σ = P/F.
Сила Р, действующая на некоторой площадке F, обычно не перпендикулярна к ней, а направлена под некоторым углом, поэтому в теле возникают не только нормальные, но и касательные напряжения (рисунок ниже, а). В зависимости от направления действия силы нормальные напряжения подразделяют на растягивающие исжимающие.
Наличие в испытуемом образце механических надрезов, трещин, внутренних дефектов металла, сквозных отверстий, резких переходов от толстого к тонкому сечению и т.д. приводит к неравномерному распределению напряжений, создавая у основания надреза пиковую концентрацию нормальных напряжений (рисунок ниже, б). Пик напряжений (σk) тем больше, чем меньше радиус концентратора напряжения. Различают временные иостаточные напряжения.
Временные напряжения возникают под действием внешней нагрузки и исчезают после ее снятия, остаточные - остаются в теле после прекращения действия нагрузки.



Образование нормальных (σ) и касательных (τ) напряжений при приложении силы Р к площади F (а) и эпюры растягивающих напряжений при различных концентраторах напряжений (б)
σн — номинальное (среднее) напряжение (штриховая линия); σк — максимальное напряжение;


Внутренние напряжения могут возникать при неравномерном нагреве изделия вследствие неоднородного расширения металла в различных зонах. Эти напряжения называют температурными. Кроме того, напряжения возникают вследствие неоднородного протекания структурных превращений по объему и т. д. Их называютфазовыми или структурными. В зависимости от взаимно уравновешенных объемов различают напряжения I, II и III рода. Напряжения I рода уравновешены в объеме всего тела, напряжения II рода — в пределах зерна, а напряжения III рода — в объемах кристаллической ячейки. Все эти виды напряжений взаимосвязаны между собой и изменение микронапряжений III рода вызывает образование макронапряжений I рода. Деформирование материала может быть упругим и пластическим. Если после прекращения действия внешних сил изменения формы, структуры и свойств тела полностью устраняются, то такая деформация называется упругой. Упругая деформация не вызывает заметных остаточных изменений в структуре и свойствах металла; под действием приложенной нагрузки происходит только незначительное относительное и полностью обратимое смещение атомов или поворот блоков кристалла.
При возрастании напряжений выше предела упругости деформация становится необратимой. При снятии нагрузки устраняется лишь упругая составляющая деформации, оставшаяся часть называется пластической деформацией. Пластическая деформация в кристаллах может осуществляться скольжением и двойникованием. Скольжение отдельных частей кристалла относительно друг друга происходит под действием касательных напряжений, когда эти напряжения в плоскости и в направлении скольжения достигают определенной критической величины. Схема упругой и пластической деформации металла с кубической структурой, подвергнутого действию касательных напряжений, показана на рисунке ниже. Скольжение в кристаллической решетке протекает по плоскостям и направлениям с наиболее плотной упаковкой атомов, где величина сопротивления сдвигу наименьшая Это объясняется тем, что расстояние между соседними атомными плоскостями наибольшее, т.е. связь между ними наименьшая.

Схема упругой и пластической деформации металла под действием напряжения сдвига
а - первоначальный кристалл; б - упругая деформация; в - увеличение упругой и возникновение пластической деформации; г - остаточная деформация; д - образование двойника; С - плоскость сдвига; D - плоскость двойникования;

Плоскости скольжения и направления скольжения, лежащие в этих плоскостях, образуют систему кольжения. В металлах могут действовать одна или несколько систем скольжения одновременно. Чем больше в металле возможных плоскостей и направлений скольжения, тем выше его способность к пластической деформации. Металлы, имеющие кубическую кристаллическую решетку, обладают высокой пластичностью, так как скольжение в них происходит во многих направлениях. Металлы с гексагональной плотноупакованной структурой менее пластичны и поэтому труднее чем металлы с кубической структурой, поддаются прокатке, штамповке и другим способам деформации. Процесс скольжения не следует, однако, представлять как одновременное передвижение одной части кристалла относительно другой. Такой жесткий, или синхронный, сдвиг (см. рисунок выше) потребовал бы напряжений, в сотни или даже тысячи раз превышающих те, при которых в действительности протекает процесс деформации. Скольжение осуществляется в результате перемещения в кристалле дислокаций. Перемещение дислокации в плоскости скольжения через весь кристалл приводит к сдвигу соответствующей части кристалла на одно межплоскостное расстояние, при этом на поверхности кристалла образуется ступенька. Обычно в одном месте выходит на поверхность кристалла группа дислокаций (~ 10. 100). Большие деформации возможны только вследствие того, что движение этих дислокаций вызывает появление или размножение большого количества новых дислокаций в процессе пластической деформации. Дислокации, движущиеся в деформированном металле, порождают большое количество дислоцированных атомов и вакансий.

Читайте также: