К стальному валу приложены три известных момента м1 м2 м3 решение

Обновлено: 29.04.2024

Стальной стержень находится под воздействием продольной силы Р и собственного веса. Найти перемещение сечения I – I.

Решение: Перемещение сечения I – I зависит от удлинения участков а и в, которые находятся под действием собственного веса G_a и G_b и внешней силы (Р + G_a + G_b), где G_а – вес участка длиной а; G_b – вес участка длиной b:

Удлинением участка с пренебрегаем, т.к. оно не влияет на удлинение сечения I – I.

Ответ: Удлинение составит

Задача № 2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплён к двум стержням при помощи шарниров.

Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

Найти допускаемую нагрузку Q_доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ;

Найти предельную грузоподъёмность системы и допускаемую нагрузку Q_доп, если предел текучести и запас прочности k = 1,5;

Сравнить величины Q_доп, полученные при расчёте по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

10 5 β

Для определения усилий N₁ и N₂ воспользуемся уравнением равновесия бруса: ;

и условием совместности деформации:

Из уравнений (1) и (2) получим уравнение:

Подставим в уравнение цифровые значения:

Из уравнения находим: ,

тогда из уравнения (2) получим: (2 а )

определим напряжения в стержнях:

Приравниваем большее напряжение, т.е. допускаемому: , отсюда найдём:

Предельную грузоподъёмность системы найдем из уравнения (1) заменив усилия N₁ и N₂ их предельными выражениями:

При запасе прочности k = 1,5 допускаемая нагрузка составит:

Сравнивая значения допускаемой нагрузки Q полученные при расчёте по допускаемым нагрузкам и при расчёте по допускаемым напряжениям делаем вывод: для обеспечения прочности (надёжности) конструкции величина силы Q не должна превышать 927,5 кН.

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из тех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

главные напряжения и направление главных площадок;

максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений;

относительные деформации έ_х, έ_y, έ_z;

относительное изменение объёма;

удельную потенциальную энергию.

Для стали: Е = G = ; μ = 0,25 – коэффициент Пуассона.

Главные напряжения определим по формуле:

Между главными напряжениями существует зависимость поэтому:

Определим направление главных площадок: ; отсюда:

Определим максимальные касательные напряжения по формулам:

Определим максимальные деформации по формуле:

Удельная потенциальная энергия деформаций

Потенциальная энергия изменения формы определяется по формуле:

Потенциальная энергия изменения объёма определяется по формуле:

Полная удельная потенциальная энергия деформации:

К стальному валу приложены три известных момента: М₁, М₂, М₃. Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;

2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении определить диаметр вала на прочность и округлить его до ближайшего размера: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100мм;

4) построить эпюру углов закручивания;

5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 метр).

Решение: 1. Из условия задачи известно:

Составим условие того, что поворот правого концевого сечения равен нулю ,

где - жесткость при кручении вала, отсюда находим:

Подставим в уравнение цифровые значения и вычислим Х:

2. Вычислим значение крутящих моментов на участках вала и построим эпюру крутящих моментов. Крутящий момент находим методом сечений:

По найденным значениям строим эпюру.

3. Диаметр вала находим из условия прочности при:

Принимаем d = 40 мм.

Крутильная мощность вала

где G – модуль упругости второго рода J_P – полярный момент инерции

4. Определяем углы закручивания сечений относительно левого защемлённого конца и строим эпюру ψ:

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Статически определимые задачи. Кручение

Проверочный и проектный расчеты при кручении

Задача. Для заданного стального бруса d=50мм (материал – сталь Ст3) построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при . Сравнить сечения по расходу материала.

1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

Строим эпюру М_К

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φ_А=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·10 5 МПа = 0,8·10 8 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

Если требуется перейти к градусной мере, то:

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

3.Проверим прочность бруса по формуле

Максимальный крутящий момент с эпюры М_К = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

Тогда -прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с .

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см 2 , а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см 2 , что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии.

берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении , где - модуль сдвига, а (см 4 ) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK: М_L= М₄ = 5 кНм; М_К=М₄=5кНм.

Покажем эпюру крутящих моментов на рис.б.

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный внутренний крутящий момент:

Тогда из условия прочности:

А из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:

Рассчитаем касательные напряжения для участков:

Построим эпюру касательных напряжений на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В, в которой угол поворота равен 0):

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача

К стальному валу приложены три известных момента:

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига , - для стали

- полярный момент инерции

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

(1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где -максимальное касательное напряжение,

- максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

- полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины:

Кручение круглого стержня. Задача 2

Определить необходимый диаметр стального вала, передающего мощность N=1000 л.с. при скорости вращения n=250об/мин, если [τ]=60МПа . Модуль упругости стали при сдвиге G=8∙10 10 Па.

допускаемый угол закручивания

При известных мощности и скорости вращения крутящий момент вычисляется по формуле:

Условие прочности:

откуда требуемый диаметр вала:

Условие жесткости при кручении:

тогда требуемый диаметр вала из условия жесткости

Принимаем большее из двух значений, то есть d=0,17м.

Кручение бруса круглого сечения. Задача 1

К валу круглого сечения приложено 5 внешних скручивающих моментов

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов М_к.
2. Подобрать сечение (если [τ]=90МПа) и построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении (эп. τ).
3. Построить эпюру углов поворота (эп.α).
4. Найти наибольший относительный угол закручивания θ_max.

Контроль скачков в эпюре М_к: каждый скачок соответствует величине и направлению сосредоточенного внешнего момента (см.эпюру).

2. Подбор круглого сечения из условия прочности и построение эпюры τ в опасном сечении.

построение эпюры τ в опасном сечении.

3. Построение эпюры углов поворота α

Положим, что условно неподвижным является сечение «0», то есть α₀=0.

Тогда поворот сечения 1 на границе I и II участков будет равен углу закручивания I го участка:

Поворот сечения 2 на границе II и III участков будет равен сумме угла поворота сечения 1 и угла закручивания II участка:

Поворот сечения 3 на границе III и IV участков складывается из угла поворота сечения 2 и угла закручивания III участка:

Поворот сечения 4 на границе IV и V участков складывается из угла поворота сечения 3 и угла закручивания IV участка:

4. Определение наибольшего относительного угла закручивания θ_max

К стальному валу приложены три известных момента: M1, M2, M3 (рис. 3). Требуется: 1) установить при каком значении момента X угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения момента X построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110; 125; 140; 160; 180; 200 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м). Данные взять из табл. 2 Вариант 117Исходные данные: Схема – VII; а= 1,1 м; b=1,2 м; c=1,7 м; М1=1,1кНм; М2=1,2кНм; М3=1,7кНм; [τ]=35 МПа.

К стальному валу приложены три известных момента: M1, M2, M3 (рис. 3). Требуется: 1) установить при каком значении момента X угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения момента X построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110; 125; 140; 160; 180; 200 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м). Данные взять из табл. 2 Вариант 117Исходные данные: Схема – VII; а= 1,1 м; b=1,2 м; c=1,7 м; М1=1,1кНм; М2=1,2кНм; М3=1,7кНм; [τ]=35 МПа.

Подробное решение в WORD

Предварительный просмотр

Библиотека Ирины Эланс, основана как общедоступная библиотека в интернете. Онлайн-библиотеке академических ресурсов от Ирины Эланс доверяют студенты со всей России.
Библиотека Ирины Эланс

Полное или частичное копирование материалов разрешается только с указанием активной ссылки на сайт:

К стальному валу приложены три известных момента: M1, M2, M3 (рис. 3). Требуется: 1) установить при каком значении момента X угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения момента X построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110; 125; 140; 160; 180; 200 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м). Данные взять из табл. 2 Вариант 137Исходные данные: Схема – VII; а= 1,1 м; b=1,4 м; c=1,7 м; М1=1,1кНм; М2=1,4кНм; М3=1,7кНм; [τ]=35 МПа.

К стальному валу приложены три известных момента: M1, M2, M3 (рис. 3). Требуется: 1) установить при каком значении момента X угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения момента X построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110; 125; 140; 160; 180; 200 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м). Данные взять из табл. 2 Вариант 137Исходные данные: Схема – VII; а= 1,1 м; b=1,4 м; c=1,7 м; М1=1,1кНм; М2=1,4кНм; М3=1,7кНм; [τ]=35 МПа.

Читайте также: